правительство Российской Федерации

Санкт – Петербургский государственный университет

МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ факультет



Принята на заседании

кафедры высшей алгебры и теории чисел

Зав. кафедрой,

профессор

УТВЕРЖДАЮ

Декан факультета,

профессор


ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

" Алгебраическая К - теория "

Специальность – 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»

Санкт – Петербург

2012 г.

1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ Раздел

Основная задача курса — дать аспиранту общее представление об основах K-теории и взаимосвязях с топологией и алгебраической геометрией.

Целью курса является понимание фундаментального значения пионерских работ Квиллена, неразрывно связавших топологические и алгебро-геометрические методы, и формирование базовых навыков вычислений в К-теории и теории пересечений.

Слушатели курса должны овладеть теоретическими основами современной алгебраической K-теории и навыками в применении топологических методов в алгебраической геометрии.

Построение курса подразумевает постоянное акцентирование внимания аспирантов на общематематическом и  историческом контексте формирования и использования изучаемых математических понятий и методов.

2. ОБЪЕМ КУРСА


Продолжительность обучения

1-2 года

Общая трудоемкость

108 часов

из них: лекций

50 часов

самостоятельная работа

58 часов


Изучение дисциплины, формы контроля:

1 год:

Лекции – 34ч., самостоятельная работа - 2ч.

2 год:

Лекции – 16ч., самостоятельная работа - 56ч., зачёт

экзамен

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

РАЗДЕЛ 1. Младшая K-теория

Проективные модули и векторные расслоения. Примеры вычисления функтора K0 от некоторых типов колец. Относительные группы K0 и вырезание. Теорема Суслина-Квиллена о проективных модулях над кольцом многочленов. Гомотопическая инвариантность функтора K’0.  Функтор K1, граничный гомоморфизм, связывающий K0 и K1. Универсальные центральные расширения и группа Стейнберга. Милноровское определение K2. Символ Стейнберга и формулировка теоремы Мацумото.

РАЗДЕЛ 2. Старшая K-теория

Классифицирующие пространства. Плюс-конструкция Квиллена. Точные категории. Q-конструкция Квиллена, К-теория точных категорий. Вычисление младшей K-теории при помощи Q-конструкции. Теорема отвинчивания и теорема о резольвенте. Теорема локализации. Вычисление Квиллена K-теории конечного поля.

РАЗДЕЛ 3. K-теория алгебраических многообразий

K0 и K’0 теории, их совпадение для гладких алгебраических многообразий. Вычисление K-теории для проективного пространства и для многообразий Севери-Брауэра.  Вычисление K-теории квадрики. K-теория как ориентированная теория когомологий. Подход к теории пересечений, основанный на K-теории. Характер Черна. Теорема Римана-Роха-Гротендика. Теорема жесткости Суслина.

Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу


Теорема Суона. K0 от дедекиндова кольца. Кольцо Витта квадратичных форм и гомоморфизм Минора. Универсальные центральные расширения и вторые гомологии групп. Символ Гильберта. Вычисление младшей K-теории при помощи плюс-конструкции. Вычисление Квиллена-Герстена K3 от произвольного коммутативного кольца. Нерв категории, теоремы Квиллена A и B. Q-конструкция, сравнение плюс и Q-конструкции. Вычисление старшей К-теории дедекндова кольца. Вырезание в старшей K-теории. Примеры вычисления K-теории однородных многообразий. Характер Черна. K-теория алгебраически замкнутого поля с конечными коэффициентами. Формулировка и подходы к доказательству теоремы Меркурьева-Суслина.

4. ЛИТЕРАТУРА

Основная

J. Rosenberg. Algebraic K-theory and its applications. Springer, 1994 Дж. Милнор. Алгебраическая К-теория. М., Мир, 1974 V. Srinivas. Algebraic K-theory. Second edition. Birkhauser, 1996 R. G. Swan. Higher Algebraic K-theory  in  K-Theory and Algebraic Geometry: Connections With Quadratic Forms and Division Algebras: Proc. Symp. Pure Math., vol. 58, Providence, AMS, 1995, pp. 247-303

Дополнительная

1. Quillen, D. "Higher algebraic K-theory: I" in Springer LNM v.341, 1973, pp 85-147

2. Quillen, D.  "On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field", Ann. of Math. 96, 1972, pp 552-586

3. slin, On the K-theory of algebraically closed fields, Invent Math  73, 1983, pp. 241-245.

4. Henri Gillet. K-theory and intersection theory revisited. K-Theory, 1(4):405–

415, 1987.

5. Jean-Louis Verdier. Le theoreme de Riemann–Roch pour les intersections

completes. In Seminaire de geometrie analytique (Ecole p., Paris,

1974–75), pages 189–228. Asterisque, No. 36–37. Soc. Math. France, Paris,

1976

СОСТАВИТЕЛЬ:

, канд. физ.-мат. наук

РЕЦЕНЗЕНТЫ: