Блок заданий III. Статистическая проверка гипотез (стр. 4 )

При статистика Стьюдента имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Функция распределения Стьюдента симметрична около нуля, т. е.

Поэтому при   верхняя - квантиль этого распределения  всегда положительна, а (нижняя) -квантиль отличается от верхней только знаком: .

       Замечание. Критерий называется одновыборочным, поскольку его можно применять при сравнении распределения наблюдений в одной выборке с некоторой нормой . В этом случае статистика Стьюдента вычисляется на основе разностей .

III.2. (HT стр. 46-47) Критерий Фишера

предназначен для сравнения дисперсий двух совокупностей (не совокупностей данных, а дисперсий генеральных совокупностей, из которых эти данные извлечены). Напомним, что дисперсия есть показатель разброса (изменчивости, вариабельности) случайной величины около её среднего значения. Поэтому наиболее естественно этот критерий применять в случае сравнения точности измерений двух приборов, не имеющих систематической ошибки. Часто в таких случаях можно считать, что измерения есть реализации нормальной (или приближённо нормальной) случайной величины с одинаковым математическим ожиданием для обоих приборов и соответствующими дисперсиями и .

Для вычисления статистики Фишера проводятся измерений с помощью 1-го прибора (в 1-й группе) и  измерений с помощью 2-го прибора (во 2-й группе). Статистика Фишера равна

где – несмещённая оценка дисперсии в j-й группе (j-го прибора), . (В пособии HT, стр. 47 при определении статистики допущена ошибка)

Легко понять, что распределение статистики Фишера монотонно зависит от отношения дисперсий :

если . Поэтому достаточно знать точное распределение этой статистики только при . Известно, что если выборки в двух группах независимы между собой и имеют нормальное распределение с одинаковыми математическими ожиданиями, то при статистика Фишера имеет распределение Фишера с степенями свободы.

       Замечание (которое можно проигнорировать). Иногда с вычислительной точки зрения в числителе статистики Фишера удобнее поставить оценку дисперсии той совокупности, которая в соответствии с альтернативой (по предположению исследователя) должна быть больше. В этом случае критическая область будет всегда иметь вид и для нахождения критической константы нужно уметь вычислять только верхнюю квантиль распределения Фишера, а для нахождения p-значения – правый хвост этого распределения. При двусторонней альтернативе (т. е. в ситуации, когда исследователь уверен, что дисперсии разные, но не уверен какая из них больше) статистику Фишера лучше вычислять как отношение наибольшей выборочной дисперсии к наименьшей выборочной дисперсии:

Правый хвост ф. р. такого варианта статистики Фишера вычисляется по формуле

Для нахождения критической константы придётся применить какой-либо приближённый способ решения уравнения относительно . Заметим, что Excel обладает такими способностями.

III.3. (HT стр. 40-41) Проверка гипотезы о вероятности «успеха» (критерий знаков).

В эксперименте наблюдается бинарная случайная величина, принимающая два значения 1 и 0 (A и B). Если значение 1 (А) трактовать как успех воздействия (– лекарство привело к понижению давления у пациента, термическая обработка повысила прочность металлического прутка, вакцина позволила избежать ОРЗ и т. п.), то статистическую задачу можно связать с вероятностью этого успеха. Например: вероятность подхватить ОРЗ в группе принимавших новую вакцину меньше нормы, принятой для данного региона, или – вероятность того, что после приёма лекарства у пациента понижается давление, больше Ѕ. Классический пример: эксперименты Менделя по скрещиванию двух чистых линий гороха. В соответствии с генной теорией вероятность появления во втором поколении гороха с рецессивным признаком равна ј.

Проводится испытаний и подсчитывается количество успешных исходов. Если действительная (неизвестная) вероятность успеха равна , то статистика имеет биномиальное распределение с параметрами :