Блок заданий III. Статистическая проверка гипотез (стр. 7 )

В соответствии с молекулярной теорией при термической обработке металла должно происходить изменение его прочности (увеличение или уменьшение). Для проверки этого предположения были произведены измерения прочности до и после обработки металлических прутков, изготовленных из одной плавки металла. По соображениям физики процесса можно предположить, что измерения представляют собой реализации нормальной случайной величины , где – среднее значение показателя прочности в образцах, – дисперсия, характеризующая степень изменчивости этого показателя от образца к образцу, а также точность соответствующего метода измерения. До проведения обработки , ; после проведения обработки . Ожидается, что , т. е. в среднем прочность металла изменяется.

2. Статистическая задача.

Проверить нулевую гипотезу (об отсутствии эффекта обработки) о разности математических ожиданий нормально распределённых наблюдений на уровне значимости . Граничная «точка» между нулевой гипотезой и альтернативой .

3. Применяемый критерий.

Ввиду предположения нормальности наблюдений следует применить одновыборочный (разностный) критерий Стьюдента, основанный на разности выборочных средних значений до и после обработки. Если теоретические предпосылки верны (т. е. справедлива альтернатива к нулевой гипотезе), то абсолютное значение статистики Стьюдента будет  принимать большие положительные значения.

4. Вид критической области.

Нулевая гипотеза должна быть отвергнута, если абсолютное значение статистики Стьюдента

Критическая константа выбирается из условия на вероятность ошибки I-ого рода:

5. Распределение тестовой статистики, способ отыскания критической константы.

Статистика Стьюдента при справедливости нулевой гипотезы (точнее в граничной точке между гипотезами) имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Раскрыв модуль в предыдущем выражении, запишем уравнение в виде

Так как распределение Стьюдента симметрично около нуля, т. е. , то критическая константа находится из уравнения

Таким образом, критическая константа есть верхняя -квантиль (верхняя квантиль порядка ) распределения Стьюдента с степенями свободы.

6. Точный вид критической области.

По таблице (или в каком-либо пакете программ) находим критическую константу . Итак, нулевая гипотеза должна отвергаться если модуль статистики Стьюдента

7. Применение критерия к данным.

До	После	По разностям
Объём выборки		74	74	74
Среднее		163.66	163.23	–0.429
Станд. отклонение		9.516	7.996	6.473
Станд. ошибка среднего		1.113	0.936	0.758
Статистика Стьюдента
6%-ая  критическая область
Гипотеза отсутствия эффекта	принимается
с критичес­ким  уровнем значимости	бcrit = 0.57
8. Вывод. Данные не подтверждают предположение об изменении прочности после обработки.

8. Вывод.

Нулевая гипотеза не отвергается – наблюдённое изменение прочности статистически не значимо.

9. Критический уровень значимости (p-value, p-значение)

– вычисляется как удвоенное значение функции надежности (т. е., удвоенное значение правого хвоста – ПХ) распределения Стьюдента с  степенями свободы. По таблице (или в каком-либо пакете программ) находим .

10. Вывод на основе p-значения.

Поскольку , то нулевую гипотезу не следует отвергать – нулевая гипотез принимается с критическим уровнем . Теоретические рассуждения можно признать ошибочными (или же изменение слишком мало, чтобы его можно было обнаружить по 74 наблюдениям).