Преподаватель математики
ГБОУ СПО «Трубчевский
политехнический техникум»
СИММЕТРИЯ В АЛГЕБРЕ.
СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ.
В окружающем нас мире господствует симметрия. Живая природа представляет нам многочисленные примеры симметрии. Способ существования живого организма и принцип минимальности (экономичности) определяет его вид симметрии (зеркальную, осевую, поворотную).
Образы симметрии встречаются и в неживой природе - это устройство небесных тел, кристаллов, молекул и других тел, и обусловлено это физическими законами.
Радуют глаз своей соразмерностью великолепные архитектурные сооружения, замечательные произведения искусства. Руками человека создано множество симметричных предметов-дома, машины, мебель, почти все предметы нашего обихода.
Симметрия с её пропорциональностью и уравновешенностью, служит основой прочности всего созданного, структурной необходимостью организмов и устройств.
Симметрия – неотъемлимая часть нашей жизни. Она везде вокруг нас, мы настолько привыкли к ее существованию, что не всегда замечаем красоту и изящество, которые симметрия придает нашей жизни.
Один из великих математиков 20 века Герман Вейль писал, что «симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
Открытие красоты опытных наук, количественное описание физического мира, методы описания преобразований дает нам математика. В математике рассматриваются различные виды симметрий. Все они имеют свое название. Большинство из нас знакомо с такими понятиями как центральная симметрия, осевая симметрия, зеркальная симметрия. Надо отметить, что многие симметрии можно увидеть только с помощью сложнейших математических построений и преобразований. В одном из разделов Математики-Алгебры симметрия используется в записи чисел (101, 303, 54045, 245606542), треугольнике Паскаля, Биноме Ньютона, в работе с понятиями четная или нечетная функция, обратная функция, при исследовании и построении графиков этих функций.
В линейной Алгебре широко используется симметрия матриц, и таких примеров можно привести множество. Свойства симметрии позволяет облегчить исследования и уменьшить объем вычислений.
Симметрия в широком смысле - это неизменность при каких-либо преобразованиях. Рассмотрим симметрию в Алгебре на примере решения симметрических уравнений.
При решении некоторых алгебраических уравнений высшего порядка и некоторых систем алгебраических уравнений используются специальные многочлены, которые называются симметрическими.
Простейшие симметрические многочлены 
и 
. Легко видеть, что замене 
на
и 
на 
многочлены не меняет. По определению многочлен 
от двух переменных называется симметрическим, если при замене 
на 
и 
на 
он не меняется, например :
Легко видеть, что при замене 
на
и 
на 
имеет место тождество 
, то говорит о том что эти многочлены являются симметрическими.
Теория симметрических многочленов очень проста и позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители и так да
С помощью теории сим
метрических многочленов решение задач заметно упрощается, и, что самое главное, проводится стандартным приемом.
Существует простой прием получать симметрические многочлены. Возьмем любой многочлен от 
и 
и подставим в него в место 
и 
их выражения через 
и
. Ясно что при этом мы получаем симметрический многочлен т. к. ни 
, ни 
не меняются при перестановке 
и
местами, потому и не меняется и получившийся многочлен, выражающийся через 
и 
например:
Получить симметрический многочлен из 
Доказано, что любой симметрический многочлен можно представить в виде многочлена от 
и 
. Это позволяет весьма просто решать различные системы уравнений. Часто встречаются симметрические системы уравнений, т. е такие, где оба уравнения системы являются симметричными многочленами от 
и
. В этом случаем удобно перейти к новым неизвестным 
и
что всегда возможно.
Такая замена неизвестных приводит к понижению степени уравнений и решение системы относительно новых неизвестных 
и 
упрощенно.
После нахождения значения величин 
и 
нужно иметь ввиду, что квадратное уравнение 
и системе уравнений 
связаны между собой следующим образом:
если 
корни квадратного уравнения, то система имеет 2 решения
и других решений не имеет. Обратно, если 
-решение системы, то числа 
и
являются корнями квадратного уравнения.
Например: Решить систему уравнений 
введем новые неизвестные 
,
т. к 
, то получаем новую систему 
из этой системы уравнений получаем 
=
итак 
, т. е для первоначальных неизвестных 
и
мы получаем следующую систему уравнений 
, которая легко решается, т. к. она сводится к решению уравнения 
и получаем следующие решение первоначальной системы 
Симметрических многочленов с успехом решается целая серия задач, в которых выражения, содержащие корни заданного квадратного уравнения. Например: Составить квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения 
Обозначим корни данного уравнения через 
и 
, корни искомого уравнения-через 
и 
, а коэффициенты искомого уравнения-через p и q.
По Теореме Виета:
И точно также 
По условию задачи имеем 
и потому 
Таким образом, искомое квадратное уравнение имеет вид 
Таким же приемом решаются и более сложные задачи.
Ещё области применения симметрических многочленов - доказательство многих неравенств, решение возвратных уравнений, решение систем уравнений с тремя неизвестными, освобождение от иррациональности в знаменателе, решение уравнений высших степеней, извлечение корней.
На примере симметрических многочленов мы увидели. Что симметрия в широком смысле-это неизменность при каких либо преобразованиях. Математики из давно стремились к красоте математических формул и справедливо считали, что красивая формула отличается от некрасивой тем, что в красоте больше симметрии.
Мы видим, что симметрия в Алгебре не только делает преобразования красивым, но и значительно облегчает вычислительную работу.
Список использованной литературы
1 , Симметрия в алгебре –М. Наука 2002 г.
2 Симметрия{Текст} / , // Квант. -1984. -№3. – С.19-22.
3 имметрия {Текст} / Г. Вейль. – М.: Наука, 1998. – 123 с., ил.
4 За страницами учебника математики {Текст} / , , 3. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996.-288с.
5 За страницами учебника математики {Текст}/ , . –М.: Просвещение, 1989. -276 с.
6 Книга для внекласного чтения по математике {Текст}/ . – М.: Наука, 2008. -187 с.
7 http://www. aeli. altai. ru/nauka
8 http://www.5ballov. ru
9 http://www. ru. wikipedia. org
10 http://www. hist-singhts. ru
11 http://www. museum. ru
