Практическое применение теоремы Пифагора (стр. 2 )

p - полупериметр треугольника; r - радиус вписанной в него окружности.

r = - радиус вписанной в любой треугольник окружности.

5. Доказательство теоремы Пифагора, которое основано на равновеликости фигур, из которых они состоят.

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

Это доказательство считается одним из самых простых из-за своей наглядности. 
1)Построим: квадраты со сторонами а; b; с.

2)Построим диагонали квадратов, получим равнобедренные
треугольники, равные треугольнику АВС.

3)Площадь квадрата со стороной с складывается из учетверенной площади ∆ АВС, а площадь квадрата со сторонами а и b – из удвоенной площади ∆ АВС: с2 = 4S∆ABC; а2 = 2S∆ABC; b2 = 2S∆ABC. Следовательно, с2=а2+b2.

2. Исторические задачи

Египетский треугольник - это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Египтяне с помощью такого треугольника строили прямые углы на местности, что имело для них огромное значение, так как каждый год разливы Нила размывали границы между полями, и приходилось заново размечать их. Это делалось очень просто: на веревке узлами отмечалось 12 равных отрезков, а потом из этой веревки складывали треугольник, и угол, оказавшийся напротив стороны 5, являлся прямым. (Приложение 1)

2.1. Задача Бхаскари

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота? (Приложение 2)

2.2. Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды, и какова длина камыша? (Приложение 3)

2.3. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать. (Приложение 4)

2.4. Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня  (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?  (Приложение 5)

2.5. Задача о креплении мачты

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты? (Приложение 6)

3. Практическое применение теоремы Пифагора

3.1. Решение геометрической задачи несколькими способами

с помощью теоремы Пифагора

Я провела исследование, решив одну задачу семью способами, применив теорему Пифагора и полученные знания из различных источников.

Задача. В трапеции диагонали длиной 6см и 8см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции. (Приложение 7)

3.2. Теорема Пифагора в  литературе

Пифагор и его теорема воспеты в литературе. О теореме писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III века Диоген Лаэрций, математик V века Прокл… Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Существует легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков. (Приложение 8)

Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории. Так художник (1827-1902) нарисовал картину «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу». Картина передает пафос преклонения учеников легендарной школы перед единой гармонией, царящей в мироздании («космосе»), музыке и числе. (Приложение 9)

3.3. Теорема Пифагора  в физике

Молниеотвод

Молниеотвод является необходимым элементом любого строения, ведь это комплексная защита от внезапного удара молнии, который может причинить значительный ущерб. Нужно заранее позаботиться о защите не только своего дома, но и о безопасности близких людей. Как известно, при грозе возникает разряд молнии, который несет в себе большой заряд электричества, именно он при прохождении через различные строения, где отсутствует установка молниеотвода, приводит к разрушениям и даже может стать причиной пожара. В год в мире от удара молнии гибнет более 3000 человек (что гораздо больше числа погибших в авиакатастрофах), а материальный ущерб исчисляется миллиардами долларов (в нашей стране - сотнями миллионов рублей). Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. (Приложение 10)

3.4. Теорема Пифагора в строительстве и архитектуре

При строительстве любого сооружения рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок… Теорема применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания и придумывания новых.

Строительство окон

В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. (Приложение 11)

Строительство крыши

Возможно, кто-то сочтёт приложения теоремы Пифагора сугубо теоретическими. Например, расчёт площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом: чтобы найти площадь поверхности двухскатной крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить площадь чердака Sч на длину стропила и разделить на половину ширины дома. (Приложение 12)

Перед Новым годом в центре 11 микрорайона на  небольшой площади устанавливается ёлка высотой 5 м, и закреплена на земле на расстоянии 3м от основания елки. Длину натягивающей проволоки можно рассчитать по теореме Пифагора АВ2= АС2+ВС2; АВ= (Приложение 13)

3.5. Теорема Пифагора в мобильной связи

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе? (Приложение 14)

3.6. Теорема Пифагора в астрономии

12 апреля 1961 года  космический корабль с Юрием Алексеевичем Гагариным на борту был поднят над Землей на максимальную высоту 327км.

С помощью теоремы Пифагора можно рассчитать, на каком расстоянии от корабля находились наиболее отдаленные от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Приложение15)

Заключение

Теорема Пифагора – это одна из самых важных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Она замечательна еще тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника, ромба можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора была первым утверждением, связавшим длины сторон треугольников. Потом узнали, как находить длины сторон и углы остроугольных и тупоугольных треугольников. Возникла целая наука тригонометрия («тригон» - по-гречески означает «треугольник»). Но еще раньше с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на небе, вершинами которых были звезды. Сейчас тригонометрию применяют даже для измерения расстояний между космическими кораблями.

Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет  находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше— в многомерные пространства. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.

В результате проведённого исследования я выяснила некоторые области применения теоремы Пифагора. Мной собрано и обработано много материала из литературных источников и интернета по данной теме. Я изучила некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме, решила ряд исторических задач на применение теоремы Пифагора. В результате решения поставленных задач я пришла к выводу, что выдвинутая гипотеза нашла подтверждение. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора нашла своё применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи, литературе, физике, астрономии…

Заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство этой теоремы.

Интересна личность самого учёного, память о котором неслучайно сохранила эта теорема. Пифагор – замечательный оратор, учитель и воспитатель, организатор своей школы, ориентированной на гармонию музыки и чисел, добра и справедливости, на знания и здоровый образ жизни. Он вполне может служить примером для нас, далёких потомков.

Информационные источники

1. и др. «Геометрия 7-9», М. «Просвещение»,2009, с.383

2. «Математика и искусство», М. «Просвещение», 2000, с.117-119, с.399

3. «Пифагор», М. «Просвещение», 1993,с.223

4. «Теорема Пифагора»,М. «Государственное издательство физико-математической литературы», 1960, с.114

5. http://encyklopedia. narod. ru/bios/nauka/pifagor/pifagor. html