Практическое применение теоремы Пифагора (стр. 3 )

6. http://moypifagor. narod. ru/use. htm

Приложение 1

История теоремы Пифагора начинается с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В книге говорится о треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Приложение 2

Задача Бхаскари

Решение.

По теореме Пифагора: АВ2= ВС2+АС2 ;  9+16=25,

АВ=5 футов; СD=3+5=8 (фут).

Ответ: 8 футов.

Приложение 3

Задача из китайской «Математики в девяти книгах»

Решение. 

По теореме Пифагора

(x+1)2=x2+25

2x=24

x=12 (глубина воды); 12+1=13 (чи) -  длина камыша

Ответ: 12 чи, 13 чи.

Приложение 4

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого

Решение.

По теореме Пифагора: ВС2=АВ2-АС2;  ВС2 = 1252 – 1172 ;

ВС2=15625-13689; 

ВС2= 1936;  ВС=44 стоп.

Ответ: 44 стоп.

Приложение 5

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу»

Решение.  По теореме Пифагора

(10-x)2=x2 + 9

-20x=9-100

-20x = - 91

x= (высота бамбука после сгибания)

Ответ: 4,55 чи.

Приложение 6

Задача о креплении мачты

Решение.

1) 122 + 52 = х2

х2 = 144 + 25

х2 = 169

х = 13

2) 13·4 = 52(м) > 50м

Ответ: не хватит.

Приложение 7

Задача. В трапеции диагонали длиной 6см и 8см взаимно перпендикулярны. Найти длину средней линии трапеции.

Первый способ.

1. Проведем в трапеции ABCD диагонали: AC⊥BD.

2. Продолжим сторону BC и проведем DKǁAC. Так как ACKD – параллелограмм, то DK=AC=6см.

3. BD⊥DK, так как BD⊥AC. ∆BDK – прямоугольный,

то BK=  BK =

4. BK=BC+CK=BC+AD. Средняя линия равна половине BK, 

  то есть равна 5см.

Ответ: 5см.

Второй способ.

1. Проведем в трапеции ABCD диагонали: AC⊥BD.

2. Продолжим сторону AD и проведем CEǁBD. Так как BCED – параллелограмм, то DE=BC.

3. CEǁBD, BD⊥AC, следовательно CE⊥AC.

4. ∆ACE: по теореме Пифагора найдем AE:

AE= AE=a+b, но средняя линия равна то есть средняя линия равна 5см.

Ответ: 5см.

Третий способ.

1. Проведем в трапеции ABCD диагонали: AC⊥BD.

2. Построим  MKǁBD, MN – средняя линия трапеции, соединим точки  N и  K. NK – средняя линия ∆ACD, значит

NK=6:2=3(см).

3. MK – средняя линия ∆ABD, значит MK=8:2=4(см).

4. ∠MKN=∠AOD (углы с соответственно параллельными сторонами).

5. ∆MNK – прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора вычислим

  MN=

Ответ: 5см.

Четвертый  способ.

1. Найдем середины сторон данной трапеции ABCD и обозначим соответственно точками M, P, N, Q. MPNQ – параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник со сторонами 3см и 4см. Диагонали его равны MN=PQ=5см.

Ответ: 5см.

Пятый  способ.

1. Продолжим отрезок СА на расстояние AM=CO. Через точку М проведем MNǁAD. BD ∩ MN=N.

2. ∆OMN – прямоугольный, ОМ=6см, ON=8см. Следовательно, MN=10(см) по теореме Пифагора.

3. Проведем MK ǁ ND. Продолжим  AD  до пересечения с MK. ∆MAK=∆BOC ( по стороне и двум прилежащим к ней углам), значит, АК=ВС.

4. MKDN – параллелограмм, DK=MN=10см, но DK=AD+BC, следовательно средняя линия равна 5см.

Ответ: 5см.

Шестой  способ.

1. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, то d1·d2;  ·6·8=24(см2).

2.

3. Но  и для прямоугольного треугольника с катетами 6см

и 8см высота – H. Используя равенство, найдем высоту

.

4.   (см).

Ответ: 5см.

Седьмой  способ.

1. Рассмотрим два подобных треугольника: ∆BOC~∆AOD  .

2. Продолжим диагонали АС и BD на отрезки, равные СО и ВО.

3. Из ∆MON: по  теореме Пифагора найдем: MN=10см.

4. ∆AOD~∆MON; MN=AD;  AD=MN=·10=7,5(см).

5. Рассмотрим ∆ВОС: ВС=.

6.∆ВОС~∆AOD:  ;  ;  10x -=7,5x2.

2,5x=;  5x=7,5;  x=1,5, то есть ОС=1,5см.

7.  ВС=;  ВС=·1,5 = 2,5 (см).

8. Средняя линия равна  (см).

Ответ: 5см.

Приложение 8

Теорема Пифагора в стихах

Теореме Пифагора

И. Дырченко

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

Немецкий писатель – романист А. Шамиссо, который в начале XIX века участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик», написал следующие стихи:

О теореме Пифагора

(ованского)

Суть истины вся в том, что нам она — навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда они учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, -

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быками, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? – Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.

Заповеди, откровения

Мысль – превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь). По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).

Приложение 9

(1827-1902). Картина «Гимн пифагорейцев восходящему солнцу»

Приложение 10

Молниеотвод

Задача. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.