Практическое применение теоремы Пифагора (стр. 1 )

Содержание

Введение        2

1.Актуальность темы        2

1.1. Пифагор – мыслитель, философ, математик        2

1.2. Теорема Пифагора        3

1.3. Доказательство теоремы Пифагора        4

2. Исторические задачи        6

2.1. Задача Бхаскари        6

2.2. Задача из китайской «Математики в девяти книгах»        6

2.3. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого        6

2.4. Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"        6

2.5. Задача о креплении мачты        6

3. Практическое применение теоремы Пифагора        7

3.1. Решение геометрической задачи несколькими способами        7

3.2. Теорема Пифагора в  литературе        7

3.3. Теорема Пифагора  в физике        7

3.4. Теорема Пифагора в строительстве и архитектуре        8

3.5. Теорема Пифагора в мобильной связи        8

3.6. Теорема Пифагора в астрономии        8

Заключение        8

Информационные источники        10

Приложение        11

Научная работа

Практическое применение теоремы Пифагора

Ханты-Мансийский автономный округ-Югра (Тюменская область)

город Нижневартовск

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №14», 8 –Б класс

ВВЕДЕНИЕ

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

А. Шамиссо

В настоящее время успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

1.Актуальность темы

Причина популярности теоремы Пифагора триедина: простота – красота – значимость. Теорема Пифагора имеет огромное значение не только для решения многих математических задач, но и для применения в повседневной жизни. Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не было бы связано с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, существует множество различных доказательств этой теоремы, а это свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

1.1. Пифагор – мыслитель, философ, математик

Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории олимпиад не хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не только стал участником олимпиады, но и победил всех противников. Такова легенда. Этот юноша был Пифагор - знаменитый математик.

Пифагор Самосский - это древнегреческий математик и философ-идеалист. Родился на острове Самос (около 580 – около 500 до н. э.). Получил хорошее образование. Чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет, прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов, посетил и Индию. В Кротоне Пифагору удалось организовать свою школу, которая действовала почти тридцать лет. В конце V века до н. э. в Греции и ее колониях прокатилась волна демократического движения. Победила демократия в Кротоне. Пифагор вместе с учениками оставил Кротон и уехал в Метапонт, где произошла вспышка народного восстания. В одной из ночных стычек погиб почти девяностолетний Пифагор. Его школа прекратила свое существование. Школа Пифагора много сделала, чтобы придать геометрии характер науки. Основной особенностью метода Пифагора было объединение геометрии с арифметикой.

Пифагор много занимался пропорциями и прогрессиями, подобием фигур. Ученики Пифагора ввели понятие о дружественных, совершенных числах и изучали их свойства. Пифагор одним из первых считал, что Земля имеет форму шара и является центром Вселенной, что Солнце, Луна и планеты имеют собственное движение, отличное от суточного движения неподвижных звезд. Учение пифагорейцев о движении воспринял как предысторию своего гелиоцентрического учения.

1.2. Теорема Пифагора

Интересна история теоремы Пифагора. Теоремой Пифагора и пифагорейской школой восхищается человечество на протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Теорема Пифагора (без доказательства) встречается еще в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Она была известна в Китае и Индии. Рассказывают, что Пифагор, доказав свою знаменитую теорему, отблагодарил богов, принеся им в жертву 100 быков. О прямоугольном треугольнике со сторонами 3,4,5 единиц длины за 200 лет до н. э. знали и египтяне, считая его магическим. Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о ней знает подавляющее большинство населения планеты. С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен (по другим источникам, более пятисот), но стремление к преумножению их числа сохранилось. Поэтому теорема Пифагора занесена в «Книгу рекордов Гиннеса».

1.3. Доказательство теоремы Пифагора

1. Доказательство теоремы в учебнике «Геометрия – 8» (предложено древними индусами)

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ АВС со сторонами a, b, c.

Доказать: с2 = а2 + b2.

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата со сторонами а + b, тогда

S = (а + b)2 = a 2+ 2ab + b2. Площадь прямоугольного треугольника S∆ = ·ab. Следовательно,

S = 4··ab + c2 = 2ab +c2, значит, a2 +2ab + b2 = 2ab + c2, т. е. с2 = a2 + b2. Ч. т.д.

2. Доказательство Гарфилда (двадцатый президент США Джеймс Гарфилд, который был избран в 1880 году)

На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить либо по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.

3. Доказательство теоремы Пифагора (основанное на определениях тригонометрических функций)

Пусть ДАВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла: соs∠А=. Отсюда AB·AD=AC2.

Аналогично соs∠В=. Отсюда AB·BD=BC2. Складывая почленно полученные равенства и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC2 + BC2=АВ(AD + DB)= AB2. Ч. т.д.

4. Доказательство Мёльманна

Площадь прямоугольного треугольника: S= или S= (для произвольного треугольника);