Сложить из шести спичек четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине одной спички (стр. 5 )

34.( 992). У электромантера есть два куска провода,общая длина которых 25 м. От них он планирует отрезать необходимые для работы куски в 1 м,2м,3м,6м,12м. Сможет ли электромантер отрезать необходимые для работы куски провода?

Решение: Да, сможет. Из двух частей хотя бы одна больше 12 метров - отрезаем 12 м.
Останется 13 м. Хотя бы одна часть больше 6 м - отрезаем 6 м. Останется 7 м.
Хотя бы одна часть больше 3 м - отрезаем 3 м. Останется 4 м. Отрезаем 2 м.
Из оставшейся части можно отрезать 1 м.

35.( 1023). Докажите,что в любой компании из шести человек найдется трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых.

Решение: Хотя бы 2 человека знакомы между собой и каждый из них знаком хлтя б еще с
одним, т. е. трое попарно знакомых. Аналогично, если первый не знаком со
вторым, а второй с третьим, то существует трое попарно незнакомых между
собой.

36.( 1054). В Российской футбольной премьер-лиге принимают участие 16 команд. Докажите, что в любой момент чемпионата есть две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей. ( команды, не сыгравшие ни одного матча, считают сыгравшими одинаковое количество матчей).

Решение: Предположим, что это неверно. Пусть все команды сыграли разное число матчей. Т.к. команд 16, то больше 15 матчей команда сыграть не могла. Т.к. команд 16, то должны быть все числа от 0 до 15 среди количеств сыгранных матчей. Но тогда одна команда не играла ни с кем, а другая играла с остальными 15. Получили противоречие, значит, исходное предположение неверно, и в любой момент есть такие две команды, которые сыграли одинаковое число матчей.

37.(1074). Четыре мальчика соревновались в нескольких ( более одного) видах спорта.В каждом из видов спорта за одно и то же место начислялось одинаковое количество баллов ( выраженных натуральных чисел) причем каждое из мест ( 1-е,2-е,3-е,4-е) мог занять только один из участников. В конце этих соревнований выяснилось, что мальчики получили 16,14,13 и 12 баллов соотвыетственно. Выясните, в скольких видах спорта соревновались.

Решение: (1) (2) (3) (4)
  1 2 3 4
  2 3 4 1
  3 4 1 2
  4 1 2 3

Ответ: 16.

38.( 1114). В вершинах куба записаны восемь различных чисел.Докажите,что хотя бы одно из них меньше среднего арифметического трех соседних чисел ( соседними называют числа,записанные на концах одного ребра).

Решение: Пусть х-наименьшее число, находящееся в одной из вершин, тогда соседними
будут числа х+а, х+b, х+с, где а, b,с - некоторые числа. Найдем их среднее
арифметическое
(х+а+х+b+х+с)/3=3х(а+b+с)/3=3х/3 + (а+b+с)/3 = х + (а+b+с)/3,
Эта сумма будет больше, чем х, что и нужно доказать.

39.( 1142). В стране Севентаун семь городов, каждый из которых соединен дорогами более чем с двумя городами. Докажите, что из любого города можно доехать до любого другого ( возможно, проезжая через другие города).

Решение: Рассмотрим 2 любых города, каждый соединен как минимум с 3 городами, если
среди них бы не было общего, то получили бы не 7, а 8 городов. Значит из
любого города можно доехать до любого другого.

40.( 1172).В шахматной доске размером 8х8 клетоквырезали крайнюю левуюверхнюю и крайнюю правую нижнюю клетки. Можно ли оставшуюсячасть доски замостить косточками домино, покрывая одной косточкойровно две клетки доски?

Решение: С первого взгляда кажется, что это возможно. Доска 8Ч8, следовательно, есть 64 клетки, две мы исключаем, значит остается 62. Вроде бы 31 кость должна поместиться, правильно?