Сложить из шести спичек четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине одной спички (стр. 6 )

Когда мы попытаемся разложить домино в первом ряду, то в нашем распоряжении только 7 квадратов, одна кость переходит на второй ряд. Затем мы размещаем домино во втором ряду, и опять одна кость переходит на третий ряд.

В каждом ряду всегда будет оставаться одна кость, которую нужно перенести на следующий ряд, не имеет значения сколько вариантов раскладки мы опробуем, у нас никогда не получится разложить все кости.

Шахматная доска делится на 32 черные и 32 белые клетки. Удаляя противоположные углы (обратите внимание, что эти клетки окрашены в один и тот же цвет), мы оставляем 30 клеток одного и 32 клетки другого цвета. Предположим, что теперь у нас есть 30 черных и 32 белых квадрата.

Каждая кость, которую мы будем класть на доску, будет занимать одну черную и одну белую клетку. Поэтому 31 кость домино займет 31 белую и 31 черную клетки. Но на нашей доске всего 30 черных и 32 белых клетки. Поэтому разложить кости невозможно.

41.( 1218).  Существует ли 1005 натуральных чисел ( не обязательно разных), сумма которых равна их произведению?.

Решение: Да, существуют: 2+1005+1+1+...+1+1=1007+1003=2010
2*1005*1*1*...=2010.

42.( 1243). На шахматную доску пролили краску. Может ли количество залитых краской клеток быть на 17 меньше количества клеток, оставшихся чистыми?

Решение: Пусть х клеток залито, тогда(64-х) клеток не залито
64-х-х=17; -2х=-47; х=23,5 - не может быть, число клеток должно быть числом
натуральным.

43.( 1279). На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке, и так поступили несколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее количество точек на прямой будет нечетным.

Решение: Допустим, поставили n точек, тогда следующим этапом ставим на 1 точку меньше в промежутках между каждыми двумя точками, те n-1 точек. Всего получается n+n-1=2n-1 точек, а это всегда число нечетное. Эти же рассуждения применяемых для каждого следующего этапа.

44.(1295). Все жители города А всегдаговорят правду,а все жители города В всегда лгут.Известно,что жители города А бывают в городе В и наоборот.Путешественник попал в один из этих городов, но не знает, в какой.Какой один вопросон должен задать первому встречному,чтобы выяснить,в каком городе он находится?

Решение: "Вы находитесь в своем городе?" - ответ "да" всегда будет означать, что вы в городе честных, кто бы вам ни попался.

45.( 1334). В одной куче лежит 171 камешек, а в другой – 172 камешка. Игрокуза один ход разрешается взять любое количество камешков, но толькоиз одной кучки. Поиграем тот, кому будет нечего брать. Кто из двух игроков выиграет при правильной стратегии – тот, кто начинает, или второй игрок?

Решение: Если внимательно вчитаться в условие, то игрок может взять любое кол-во камешков , но только из одной кучки, получается что никто не проиграет так как если первый возьмет все из 1 кучки, то 2 возьмет все из другой, или не обязательно все.

46.( 1346). В каждую клетку квадрата размером6х6 клеток вписали одно из чисел -1,0,1. Могут ли суммы чисел ,записанных в каждой строке, в каждом столбце и по двум большим диагоналям,быть разными?

Решение:Нет,не могут.Вариантов сумм всего 14,а вариантов разложения 3 чисел в каждой строке или столбце всего 20,поэтому некоторые будут повториться.