Всероссийская олимпиада школьников по математике. 2017—2018 уч. г. школьный этап. 5 класс (стр. 2 )

числа a, b, c:

Антон:  1) a + b + c = 34;  2) abc = 56;

Борис:  1) ab + bc + ac = 311  2) наименьшее из чисел равно 5;

Настя:  1) a = b = c  2) числа a, b и c — простые.

У  каждого  школьника  одно  утверждение  верное,  а  другое  —  нет.  Найдите

числа a, b, c.

5.  В  равностороннем  треугольнике  АВС  со  стороной  a  точки  M,  N,  P,  Q

расположены  так,  как  показано  на  рисунке.  Известно,  что

MA + AN = PC + CQ = a. Найдите величину угла NOQ.

6.  (7  баллов)  На  шахматной  доске  стоял  21  король.  Каждый  из  королей

находился  под боем  хотя  бы  одного из  остальных.  После  того  как несколько

королей убрали, никакие два из оставшихся королей друг друга не бьют. Какое

наибольшее число королей могло остаться?

а) Приведите пример исходной расстановки и отметьте убранных королей.

б) Докажите, что большее число королей остаться не могло.

 

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС

1.  (7  баллов)  Точка  O  —  центр  квадрата  ABCD.  Найдите  какие-нибудь  семь

попарно неравных векторов с концами и началами в точках A, B, C, D, О, сумма

которых равна нулевому вектору. Объясните свой ответ. 

2.  (7 баллов) Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так,

чтобы сумма любой пары чисел делилась на 6?

3.  (7  баллов)  Участвуя  в  шахматном  турнире,  Вася  сыграл  52  партии.  По

Старой  системе  подсчёта очков (1 очко за победу,  1/2  очка за ничью и 0 очков за

поражение)  он  набрал  35  очков.  Сколько  очков  он  набрал  по  новой  системе

подсчёта очков (1 очко за победу, 0 очков за ничью и –1 очко за поражение)?

4.  (7  баллов)  На  координатной  плоскости  изображены  графики  функций

y = x2 + bx + c  и  y = x2 + cx + b.  Найдите  значения  b  и  c.  В  ответе  запишите

уравнения каждой из функций. 

5.  (7 баллов) Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения

высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол

при третьей вершине.

6.  (7 баллов) Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных

в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до

37  (каждое  по  одному  разу)  так,  что  число  на  любой  карточке  начиная  со

второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих

карточках.  Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37,

а на второй — число 1. Вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на

третьей карточке. Какое?

Максимальный балл за все выполненные задания — 42.

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 11 КЛАСС

1.  (7 баллов) Во время распродажи Пётр купил брюки с 40 %-ной скидкой и

рубашку с 20 %-ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюки

и рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр?

Ответ обоснуйте. 

2. (7 баллов) Приведите пример числа x, для которого выполняется равенство

sin2017x − tg2016x = cos2015x. Ответ обоснуйте. 

3. (7 баллов) Рубик сделал развертку куба размером

3 X 3X 3 и отметил на ней две точки – см. рисунок.

Каково  будет  расстояние  между  этими  точками

после того, как  Рубик  склеит из развёртки куб? 

4.  (7  баллов)  Существуют  ли  такие  три  действительных  числа,  что  если  их

поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена,

то  он  будет  иметь  два  различных  положительных  корня,  а  если  в  другом

порядке, то два различных отрицательных корня?

5.  (7  баллов)  Из  середины  каждой  стороны  остроугольного  треугольника

площади  S  проведены  перпендикуляры  к  двум  другим  сторонам.  Найдите

площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.

6. (7 баллов) Если на доске записано число A, к нему можно прибавить любой

его делитель, отличный от 1 и самого A. Можно ли из A = 4 получить 1234321?

Максимальный балл за все выполненные задания — 42.

Задания, ответы и критерии оценивания

  5 КЛАСС

1. (7 баллов) Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и

все семь цифр были различными: *** – ** = 23.

  Возможные ответы. 

107 – 84 = 23 

109 – 86 = 23 

Дополнительных объяснений не требуется.

Критерии проверки.

•  Приведён любой из возможных ответов — 7 баллов. 

•  Приведён ответ, в котором какие-то две цифры совпадают, — 2 балла. 

2.  (7  баллов)  Петя  в  три  раза  старше  Ани,  а  Аня  на  8  лет  младше  Пети.

Определите, сколько лет каждому. Ответ обоснуйте.

Ответ. Пете 12 лет, Ане 4 года.

Решение. Возраст Пети в три раза больше возраста Ани. Это значит, что разница возрастов Пети и Ани составляет два возраста Ани, а по условию эта разница равна восьми годам. Значит, возраст Ани в два раза меньше: 8 : 2 = 4 года.

Петя в три раза старше, то есть ему 4 X 3 = 12 лет.

Возможно также решение с помощью уравнения. 

Критерии проверки. 

•  Любое верное и полное решение — 7 баллов. 

•  Решение,  в  котором  рассмотрены  некоторые  конкретные  варианты

возраста, а верный ответ получен подбором, — 2 балла. 

•  Приведён  верный  ответ,  и  проверено,  что  он  удовлетворяет  условию

задачи, — 2 балла. 

•  Только ответ — 1 балл.

3. (7 баллов) На рисунке два треугольника разделяют листок бумаги на 6 частей

(шестая  часть  —  это  то,  что  останется  на  листе,  если  вырезать  оба

треугольника).  Нарисуйте  два  четырёхугольника,  которые  разделяют  лист

бумаги на 9 частей. Пронумеруйте полученные части.

Ответ.

Пояснений не требуется.

Критерии проверки. 

•  Любое верное решение — 7 баллов. 

•  Приведён верный чертёж, на котором отчётливо видно 9 частей, но части

не пронумерованы — 5 баллов. 

4.  (7  баллов)  В  мешке  лежат  15  шариков  (см.  рисунок).  Раскрасьте  каждый

шарик в один из трёх цветов: синий, зелёный или красный — так, чтобы два

утверждения были верны, а одно неверно:

— синих шариков на один больше, чем красных; 

— красных и зелёных шариков поровну; 

— синих шариков на 5 больше, чем зелёных. 

Напишите подробно, как вы рассуждали. 

Ответ.

  7 синих шариков, 6 красных шариков, 2 зелёных шарика.

Решение.  Докажем,  что  второе  утверждение  не  может  быть  верным.

Действительно, пусть верны первое и второе утверждения. Тогда если забрать

один синий шарик, то шариков всех цветов должно остаться поровну. 

Но  15 – 1 = 14  шариков  не  делятся  поровну  на  3  цвета.  Пусть  теперь  верны

второе  и  третье  утверждения.  Тогда  если  забрать  5  синих  шариков,  то  опять

шариков всех цветов должно остаться поровну. 

Но 15 – 5 = 10 шариков не делятся поровну на 3 цвета.

Таким образом, могут оказаться верными только первое и третье утверждения. 

Далее можно рассуждать по-разному. 

Первый способ. Если в мешок положить 1 красный шарик, то синих и красных

станет  поровну,  а  если  положить  ещё  и  5  зелёных,  то  количество  шариков

каждого  цвета  будет  одинаковым,  а  именно  будет  по  (15 + 1 + 5) : 3 = 7

шариков каждого цвета. 

Теперь  можно  посчитать,  сколько  шариков  каждого  цвета  было  в  мешке:

7 синих шариков, 7 – 1 = 6 красных шариков и 7 – 5 = 2 зелёных шарика.

Второй способ. Из верных утверждений 1 и 3 следует, что зелёных шариков на

4 меньше, чем красных. Уберём из мешка 5 синих шариков и 4 красных шарика,

тогда количество шариков каждого цвета будет одинаковым, а именно будет по

(15 – 5 – 4) : 3 = 2  шарика  каждого  цвета.  Таким  образом  есть  в  мешке  было

2 зелёных, 6 красных и 7 синих шариков.