Всероссийская олимпиада школьников по математике. 2017–2018 уч. г. школьный этап. 5 класс
ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС
1. (7 баллов) Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и
все семь цифр были различными: *** – ** = 23.
2. (7 баллов) Петя в три раза старше Ани, а Аня на 8 лет младше Пети.
Определите, сколько лет каждому. Ответ обоснуйте.
3. (7 баллов) На рисунке два треугольника разделяют листок бумаги на 6 частей
(шестая часть — это то, что останется на листе, если вырезать оба
треугольника). Нарисуйте два четырёхугольника, которые разделяют лист
бумаги на 9 частей. Пронумеруйте полученные части.
4. (7 баллов) В мешке лежат 15 шариков (см. рисунок). Раскрасьте каждый
шарик в один из трёх цветов: синий, зелёный или красный — так, чтобы два
утверждения были верны, а одно неверно:
— синих шариков на один больше, чем красных;
— красных и зелёных шариков поровну;
— синих шариков на 5 больше, чем зелёных.
Напишите подробно, как вы рассуждали.
5. (7 баллов) Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый
раз одна из них играет на фортепиано, а остальные три поют. Вечером они
посчитали, что Аня спела 8 песен, Таня — 6 песен, Оля — 3 песни, а Катя —
7 песен. Сколько раз аккомпанировала Таня? Обоснуйте свой ответ.
Максимальный балл за все выполненные задания — 35.
ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 6 КЛАСС
1. (7 баллов) Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и
все девять цифр были различными: *** + ** = 1056.
2. (7 баллов) C понедельника по среду гном ест на завтрак манную кашу,
с четверга по субботу — рисовую кашу, а в воскресенье делает себе яичницу.
По чётным числам месяца гном говорит правду, а по нечётным — неправду.
В какие из первых десяти дней августа 2016 года он мог сказать: «Завтра я буду
есть на завтрак манную кашу»? Обоснуйте ваш ответ.
3. (7 баллов) На доске написано число 20. За один ход разрешается либо
удвоить число, либо стереть его последнюю цифру. Можно ли за несколько
ходов получить число 25?
4. (7 баллов) Покажите, как разрезать фигуру, изображённую на рисунке, на
5 равных фигур. (Фигуры называются равными, если их можно совместить при
наложении. Фигуры можно переворачивать.)
5. (7 баллов) У бабушки три внука. Если внук заканчивал первый класс, то
бабушка дарила ему одну книгу, если заканчивал второй класс, то бабушка
дарила ему две книги, если третий класс, то три книги и т. д. Книги,
полученные в подарок за все годы, внуки ставили на одну полку. Сейчас на
полке 23 книги. Известно, что один из внуков старше остальных не меньше чем
на два года. Какой класс он окончил?
Максимальный балл за все выполненные задания — 35.
ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 7 КЛАСС
1. (7 баллов) Приведите пример двух обыкновенных дробей, разность которых
в три раза больше их произведения. Приведите вычисления, обосновывающие
это свойство.
2. (7 баллов) Покажите, как разрезать фигуру на три части и сложить из них
квадрат.
3. (7 баллов) На доске написано число 49. За один ход разрешается либо
удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько
ходов получить число 50?
4. (7 баллов) Один из трёх друзей: Андрей, Борис или Владимир — самый сильный, другой — самый умный, третий — самый добрый. Однажды они сказали
следующее:
Андрей: Владимир сильнее меня.
Борис: Я умнее Владимира.
Владимир: Борис умнее меня.
Известно, что самый сильный и самый добрый сказали правду, самый умный
соврал и среди них нет двух людей, равных по силе.
Верно ли, что среди трёх друзей тот, кто самый добрый, тот и самый слабый?
Обоснуйте свой ответ.
5. (7 баллов) Мама гуляет с коляской вокруг озера и полностью обходит озеро
за 12 минут. Ваня по той же дорожке в ту же сторону ездит на самокате и
встречает (обгоняет) маму каждые 12 минут. Через какие промежутки времени
Ваня будет встречать маму, если он будет ездить с той же скоростью, но
в обратном направлении?
Максимальный балл за все выполненные задания — 35.
ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС
1. (7 баллов) В рамке 8 Ч 8 шириной в 2 клетки (см. рисунок) всего 48 клеточек.
Сколько клеточек в рамке 254 Ч 254 шириной в 2 клетки?
2. (7 баллов) Аня перемножила 20 двоек, а Ваня перемножил 17 пятёрок.
Теперь они собираются перемножить свои огромные числа. Какова будет
сумма цифр произведения?
3. (7 баллов) В выражении
замените каждую из букв
Р, А, З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы — на одинаковые
цифры, разные буквы — на разные цифры) так, чтобы значение выражения
получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.
4. (7 баллов) В комнате 10 ламп. Петя сказал: «В этой комнате есть 5 вклю-
чённых ламп». Вася ему ответил: «Ты не прав». И добавил: «В этой комнате
есть три выключенные лампы». Коля же сказал: «Включено чётное число ламп».
Оказалось, что из четырёх сделанных утверждений только одно верное.
Сколько ламп включено?
5. (7 баллов) Незнайка измерил длины сторон и диагоналей своего
четырёхугольного земельного участка, записал в блокнот результаты шести
измерений и тут же забыл, какие числа относились к диагоналям, а какие —
к сторонам. Потом он заметил, что среди написанных чисел есть четыре
одинаковых, а два оставшихся числа тоже равны между собой. Незнайка
обрадовался и сделал вывод, что его участок — квадрат. Обязательно ли это так?
Если ответ «да», то утверждение нужно доказать, если ответ «нет» —
привести опровергающий пример и его обосновать.
6. (7 баллов) Четыре блохи играют в чехарду на большом листе клетчатой
бумаги. Каждую секунду одна из блох перепрыгивает через какую-то другую и, летя
над той же прямой, пролетает расстояние, вдвое большее, чем было между
блохами до прыжка. Сейчас блохи сидят в четырёх вершинах одной клетки.
Могут ли все четыре блохи через некоторое время оказаться на одной прямой?
Максимальный балл за все выполненные задания — 42.
ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.
ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 9 КЛАСС
1. (7 баллов) В равенстве 1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19 поставьте несколько знаков
модуля так, чтобы оно стало верным.
2. (7 баллов) Чебурашка и Гена съели торт. Чебурашка ел вдвое медленнее
Гены, но начал есть на минуту раньше. В итоге им досталось торта поровну. За
какое время Чебурашка съел бы торт в одиночку?
3. (7 баллов) Дима начертил графики четырёх линейных функций на
координатной плоскости, но забыл отметить единичные отрезки. Когда он
переписывал задание в тетрадь, то отвлекся и не дописал уравнения, задающие
функции под номерами 3 и 4. Найдите эти уравнения. Ответ обоснуйте.
4. (7 баллов) Три школьника сделали по два утверждения про натуральные
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 |
