Числа фибоначчи и золотое сечение Исследовательская работа (стр. 2 )

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции: длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Сон и бодрствование человека в пределах суток, удары сердца и его отдых, кровяное давление в норме — все имеет тенденцию проявляться в золотой пропорции.

Фот. 5. Примеры золотого сечения в природе

Числа Фибоначчи

Усилием математиков золотая пропорция была объяснена, изучена и глубоко проанализирована. Казалось бы, вопрос исчерпан. Оставалось лишь изучать проявление этой закономерности в природе, искать ее практическое применение. Возможно, так бы и произошло, если бы не появилась в истории математики одна незаметная задача о кроликах: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?» Далее в задаче  поясняется, что природа кроликов такова, что через месяц  пара их производит на свет другую пару, а начинают размножаться кролики со второго месяца после своего рождения. В результате решения этой немудреной  задачи получился ряд чисел 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. д. Этот ряд чисел был позже назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо (Fibonacci —сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи).

Английский ученый Р. Симпсон  математически строго доказал, что отношение рядом  расположенных чисел Фибоначчи в_ пределе стремится к  золотой пропорции, равной

.

Числа Фибоначчи обладают многими интересными свойствами. Так, сумма всех чисел ряда от первого до an равна следующему через одно число (an+2) без единицы. Легко показать и проверить на примерах, что отношение расположенных через одно чисел Фибоначчи в пределе стремится к квадрату золотой пропорции, равному 2,618033... Удивительное свойство! Получается, что . Но ведь это соотношение имеет место в совершенном прямоугольном треугольнике с углом около 51°50'. Это же уравнение связывает отрезки целого, разделенного на две части в соответствии с золотой пропорцией. Невидимая, но прочная связь общих закономерностей соединила в логически единую стройную систему совершенные геометрические фигуры, пирамиды Египта, задачу о размножении кроликов.

Особенность последовательности чисел состоит в том, что

1) каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д.,

2) отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом .

3) Сумма чисел Фибоначчи с нечётными номерами равна следующему числу с четным номером a1+a3+a5+…+a2n-1=a2n

4) Сумма чисел Фибоначчи с чётными номерами равна следующему четному числу без единицы  a2+ a4+a6+ …+ a2n=a2n+1-1

5) Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи равна произведению n-го и следующего за ним члена  a12+ a22+a32+…+ an2= an•an+1

Найдем, например, несколько «признаков делимости» чисел Фибоначчи. Под признаком делимости мы понимаем здесь признак, по которому можно определить, делится или нет то или иное число Фибоначчи на некоторое данное число.

Число Фибоначчи четно тогда и только тогда, когда его номер делится на 3.

Число Фибоначчи делится на 3 тогда и только тогда, когда его номер делится на 4.

Число Фибоначчи делится на 4 тогда и только тогда, когда его номер делится на 6.

Число Фибоначчи делится на 5 тогда и только тогда, когда его номер делится на 5.

Число Фибоначчи делится на 7 тогда и только тогда, когда его номер делится на 8.

Число Фибоначчи делится на 16 тогда и только тогда, когда его номер делится на 12. 

Числа Фибоначчи и человек

Около двух веков идея применения золотой пропорции в исследовании человеческого тела была предана забвению, и лишь в середине XIX века немецкий ученый Цейзинг вновь обратился к ней. Он находил, что все тело человека в целом и каждый отдельный его член связаны математически строгой системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место. Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая величина, характерная для всех хорошо развитых тел. Он нашел, что средняя пропорция мужского тела близка к 13/8=1,625, а женского — к 8/5=1,60. Аналогичные значения получены и при анализе антропометрических данных населения СССР (1,623 для мужчин и 1,605 для женщин). Пропорции тела мужчин и женщин отклоняются в разные стороны от золотой пропорции — иррациональной предельной величины, равной 1,618..., в чем выражается, очевидно, геометрическое различие в половой анатомии мужчин и женщин.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

Фот.6. Золотое сечение и человек

- расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

- расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

- расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

- расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

- расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618

- расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

- расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно

Фот.7. Рука и золотое сечение

посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двух фаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Фот.8.Лицо и золотое сечение

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно, точное наличие золотой пропорции .

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения:

- высота лица / ширина лица,

- центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

- высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

- ширина рта / ширина носа,

- ширина носа / расстояние между ноздрями,

- расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Американский физик и доктор во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73? 43'.

Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт. ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое - 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу - закону золотой пропорции.

Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

Естественно предположить, что когда-то у человека не было ложки. Чтобы напиться воды из ручья, он складывал ладонь в виде черпачка и пил. Форма кисти руки в таком виде и вся рука до локтя могла послужить человеку прообразом ложки. Интересно то, что пропорции кисти с предплечьем и пропорции ложки совпадают — они составляют соотношение золотого сечения.