Поурочная разработка темы «иррациональные уравнения» (стр. 1 )

Поурочная разработка темы «иррациональные уравнения»

ПОУРОЧНАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ
«ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

(9 – 10 класс)

Урок №1

Определение:

Уравнение называется иррациональным, если над неизвестными в этом уравнении наряду с другими операциями совершается операция извлечения корня.

При решении иррациональных уравнений надо помнить некоторые правила работы с радикалами.

Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно; если подкоренное выражение равно нулю, то и значение корня равно нулю. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно. Функции   являются возрастающими на своей области определения.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Доказать, что уравнения не имеют решения:

ТРЕНАЖЕРЫ

(система ОДЗ несовместна)

Иногда к множеству допустимых значений уравнения полезно присоединить условие совпадения знаков обеих частей уравнения.

, т. к.

Наиболее стандартным приемом решения иррациональных уравнений является освобождение от радикалов путем последовательного возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень. При решении уравнений этим приемом надо предварительно указать множество допустимых значений исходного уравнения и иметь в виду следующие свойства уравнений, рассматриваемых на множестве действительных чисел:

При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение равносильное данному уравнению. При возведении обеих частей уравнения в четную степень получается уравнение равносильное данному при условии, что его решения удовлетворяют условию совпадения знаков обеих частей исходного уравнения.

Урок №2

На этом уроке рассматривается решение уравнения вида

Уединяем корень:

По определению корня получаем уравнение: равносильное данному, откуда корень уравнения , при этом проверку выполнять не надо.

Уединяя корень получаем

Т. к. квадратный корень не может быть числом отрицательным, то последнее равенство невозможно ни при каком значении , т. е. данное уравнение не имеет решений.

Подобные уравнения уже учащимися решались и здесь их решение является повторением пройденного.

Уединив корень, имеем

Обращаем внимание учащихся на то, что это уравнение может иметь решение только при тех значениях при которых . При этом условии, предыдущее уравнение равносильно уравнению: , решая которое мы найдем:

Чтобы найденные значения были корнями уравнения, достаточно (и необходимо), чтобы они удовлетворяли неравенству: . Этому условию удовлетворяет только