Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Радиус окружности, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому треугольник 
— прямоугольный. Найдём 
по теореме Пифагора:
Следовательно, длина стороны 
равна 
Ответ: 8.
Задание 25
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 3 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 2 |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям | 0 |
Максимальный балл | 3 |
В параллелограмме 
точка 
— середина стороны 
. Известно, что 
. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение.
Пусть точка 
— середина стороны 
параллелограмма 
— равноудалена от его вершин 
и 
. Тогда, треугольник 
— равнобедренный, поэтому 
. Поскольку прямая 
параллельна стороне 
, то 
и 
как накрест лежащие. Таким образом, 
по первому признаку равенства треугольников 
.
Значит, 
. Их сумма равна 180°, т. к. это два угла параллелограмма, прилежащие к одной стороне. Следовательно, 
90°. По свойству параллелограмма углы 
и 
также прямые. Значит, 
— прямоугольник.
Задание 26
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ. | 4 |
Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения или допущена одна вычислительная ошибка. | 3 |
2 | |
1 | |
Другие случаи, не соответствующие указанным критериям. | 0 |
Максимальный балл | 4 |
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника ABC.
Решение.
Пусть 
— точка пересечения отрезков 
и 
(см. рис.). Треугольник 
— равнобедренный, так как его биссектриса 
является высотой. Поэтому
; 
.
По свойству биссектрисы треугольника
Проведём через вершину 
прямую, параллельную 
. Пусть 
— точка пересечения этой прямой с продолжением медианы 
. Тогда 
Из подобия треугольников 
и 
следует, что 
Поэтому 
и 
Следовательно,
; 
; 
Ответ: 
Приведём другое решение.
Треугольники 
и 
равны: они прямоугольные, углы 
и 
равны, сторона 
— общая. Тогда 
и 
Заметим далее, что 
а тогда 
Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на от-резки пропорциональные прилежащим сторонам, поэтому 
откуда 
Найдём 
и 
Треугольники 
и 
равны: 
углы и 
равны, 
— общая сторона, поэтому 
Медиана 
тре-угольника 
делит его на два равновеликих, поэтому справедливо равенство: 
Тем самым, 
Наконец, площадь треугольника 
равна половине площади треугольника 
откуда
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения длин диаго-налей на синус угла между ними, поэтому:
Тогда: 
С другой стороны, 
откуда
Длину 
найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 
Значит, 
Длину 
найдём по теореме Пифагора из прямоугольного тре-угольника 
тогда:
Поэтому 
Ответ: 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
