8 класс алгебра Рациональные дроби и их свойства

8 класс алгебра  Рациональные дроби и их свойства.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Значения переменных при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью. Основное свойство рациональной дроби: если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Если изменить знак числителя ( или знак знаменателя ) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

Сумма и разность дробей.

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Чтобы выполнить вычитание  рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого дроби приводят к общему знаменателю.

Произведение и частное дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй – в знаменателе дроби. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Функция у= и её график.

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой у= , где  х – незави симая переменная и k – не равное нулю число. Областью определения функции у= является  множество всех чисел, отличных от нуля. Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит  из двух ветвей.

Действительные числа.

Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби , где m - целое число, а n – натуральное. Одно и то же рациональное число
можно представить в таком виде разными способами. Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель, равный 1. Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Каждая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет некоторое рациональное число. Среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2. Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им им числа и число нуль, то получим множество чисел, которые называют действительными числами. Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Арифметический квадратный корень.

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а. = b, если выполняются два условия : 1) b ≥ 0 ;  2) = а. При  а ‹ 0 выражение   не имеет смысла. При любом  а, при котором  выражение   имеет смысл, верно равенство ( = а. Выражение   имеет смысл при любом  а ≥ 0 Если  а ≥ 0 и  b 0 , то Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Если  а ≥ 0 и  b 0 , то =   . Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя. При любом значении х верно равенство    = | x | .

Функция у =   и её график.

Если х = 0 , то у = 0 , поэтому начало координат принадлежит графику функции. 0 Если  х › 0 ,  у › 0 : график расположен в первой координатной четверти. Большему значению аргумента соответствует дольше значение функции ; график  функции идёт вверх.

Квадратное уравнение и его корни.

Квадратным уравнением называется уравнение вида  a+bx +c = 0 , где а, b и  с – некоторые числа, причём а ≠ 0. Квадратное уравнение в котором а = 1, называют приведённым квадратным уравнением. Если в квадратном уравнении a+bx +c = 0 хотя бы один из коэффициентов  b  или  с  равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением При решении квадратного уравнения a+bx +c = 0 целесообразно поступать следующим образом:  1.  Вычислить дискриминант  и сравнить его с нулём ;  2.  Если дискриминант положителен, то воспользоваться формулой корней    , если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет. Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.(Теорема Виета). Если числа  m и n таковы, что их сумма равна  - p  , а произведение равно  g, то эти числа являются корнями уравнения  +px +g = 0 ( Обратная теореме Виета )

Дробные рациональные уравнения.

При решении дробных рациональных уравнений поступают следующим образом:

1 Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2 Умножить обе части уравнения на их общий знаменатель;

3Решить получившееся целое уравнение;

4 Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Числовые неравенства и их свойства.

Число а больше числа b, если разность  а – b – положительное число ; число а меньше числа b, если разность а – b – отрицательное число. Если а › b, то b ‹ а; если а  ‹ b, то b › а. Если  а ‹ b  и  b ‹ с, то а ‹ с. Если  а ‹ b  и  с - любое число, то а + с ‹ b  + с. Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Если  а ‹ b  и  с - положительное число, то ас ‹ bс. Если  а ‹ b  и  с - отрицательное число, то ас › bс.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное равенство.

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный  , то получится верное равенство.

Если а и b – положительные числа и а ‹ b  ,то ‹ Если  а ‹ b  и  с ‹ d  ,то  а + с ‹ b  + d. Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство. Если  а ‹ b  и  с ‹ d  , где а, b, с, d – положительные числа  ,то  ас ‹ bd.

Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Если  а и b – положительные числа  и а ‹ b  ,то  ‹ , где n – натуральное число. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений. Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Неравенства с одной переменной и их системы.

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств. Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Степень с целым показателем и её свойства.

Если  а ≠ 0 и n – целое отрицательное число, то  = . Выражению при целом отрицательном  n ( так же как и при  n = 0 ) не приписывают никакого значения ; это выражение не имеет смысла. Для каждого а ≠ 0 и любых целых  m  и  n

=   ;  =   ;  =  ;

Для каждых а ≠ 0 и  b ≠ 0  и любого n

= ;  ( = ;

  Стандартным видом числа  а  называют его запись в виде  а*  , где  1≤ а ≤ 10 и

n – число. Число n  называется порядком числа а.

Геометрия 8 класс

Многоугольники

Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником, её звенья называют сторонами многоугольника, а длина ломаной  называется периметром многоугольника. Отрезок соединяющий любые две несоседние вершины, называеся диагональю многоугольника. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма углов выпуклого n - угольника равна ( n – 2 )* Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Сумма внешних углов  выпуклого многоугольника равна Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Признаки параллелограмма: Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Если в четырёхугольнике две стороны попарно  равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Трапецией называется четырёхугольник у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойства прямоугольника: В прямоугольнике противоположные стороны равны и все углы равны. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам. Диагонали прямоугольника  равны. Признаки прямоугольника: Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Квадратом называется прямоугольник  у которого все стороны равны. Свойства квадрата: Все углы квадрата прямые. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Осевая и центральная симметрии.

Две точки А и В называются симметричными относительно прямой  а, если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Фигура называется симметричной относительно прямой  а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой  а также принадлежит этой фигуре. Прямая  а называется ось симметрии фигуры. Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если  О – середина отрезка АВ. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Тока О называется центром симметрии фигуры.

Площадь многоугольника.

Равные многоугольники имеют равные площади. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетеов. Обратная теорема: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Формула Герона : площадь  S треугольника со сторонами a, b,c  выражается формулой  S = , где p = (a + b + c) -  полупериметр треугольника.

Определение подобных фигур.

Отношение отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т. е. АВ/CD. Говорят, что отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁  , если

АВ/ А₁В₁ = СD/ С₁D₁  .

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны  и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Число k равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Признаки подобия треугольников.

1 признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. 2 признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника  и углы, заключённые между этими сторонами,  равны, то такие треугольники подобны. 3 признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Отрезок ХУ называется средним пропорциональным ( или средним геометрическим) для отрезков АВ и СD, если ХУ = Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Катет прямоугольного треугольника  есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны. Основное тригонометрическое тождество: = 1  

б

Касательная к окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d ‹ r ) , то прямая и окружность имеют две общие точки. Если расстояние от центра окружности до прямой равно  радиусу окружности (d = r ) , то прямая и окружность имеют одну  общую точку. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d › r ) , то прямая и окружность не имеют общих точек. Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному к точке касания. Отрезки касательных  к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Если прямая  проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Центральные и вписанные углы.

Дуга называется  полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то уё градусная мера считается равной – уг. АОВ – Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна