Дмитровский рыбохозяйственный технологический институт (филиал)
федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего образования «Астраханский государственный
технический университет»
(ДРТИ ФГБОУ ВО «АГТУ»)
Система менеджмента качества в области образования, воспитания, науки и инноваций сертифицирована DQS
по международному стандарту ISO 9001:2015
Факультет высшего образования
Кафедра «Гуманитарные и
социально-экономические дисциплины»
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Методические указания
по выполнению практических работ
для обучающихся по направлению подготовки,
38.03.01 Экономика
п. Рыбное, Дмитровский р-н, Московская обл. – 2017
Авторы: , доцент кафедры «Гуманитарные и социально-экономические дисциплины»
Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине предназначены для обучающихся по направлению 38.03.01 Экономика. Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении самостоятельной работы по дисциплине. Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть фундаментальными знаниями, профессиональными умениями и навыками деятельности.
Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы по дисциплине утверждены на заседании кафедры «Гуманитарные и социально-экономические дисциплины» «30» августа 2017 г., протокол №1.
© Дмитровский рыбохозяйственный технологический институт (филиал) ФГБОУ ВО «Астраханский государственный технический университет»
№ п/п | № раздел а дисцип лины | Тематика практических занятий | Трудоемкость (час.) |
1 | 1 | Матрицы и определители Матрицы и операции над ними. Определитель квадратной матрицы и его основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Обратимые матрицы. Условие обратимости матрицы. Способы вычисления матрицы, обратной для данной. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы при помощи определителя | 6 |
2 | 2 | Системы линейных уравнений Основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде. Метод Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная система линейных уравнений | 6 |
3 | 3 | Геометрические векторы и их координаты Векторы и линейные операции над ними. Коллинеарные и компланарные векторы. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в заданном базисе. Сложение векторов и умножение вектора на число в координатах. Признаки коллинеарности и компланарности векторов в координатах. Системы координат. Координаты точки в пространстве. Решение двух основных задач в декартовой системе координат. Декартова прямоугольная система координат. Полярная система координат. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов | 6 |
4 | 4 | Аналитическая геометрия на плоскости Уравнения прямой на плоскости. Эллипс, его уравнения и свойства. Гипербола, ее уравнение и свойства. Парабола. Уравнение параболы и основные свойства | 6 |
5 | 5 | Аналитическая геометрия в пространстве Уравнения прямой в пространстве. Алгебраические поверхности первого и второго порядков. Уравнения плоскости. Поверхности второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический конус, цилиндрические поверхности, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид | 4 |
6 | 6 | Комплексные числа Комплексные числа, их изображение на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая формы записи комплексного числа. Операции над комплексными числами | 4 |
7 | 7 | Векторные пространства. Линейные преобразования векторных пространств Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. Формулы перехода к новому базису. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Квадратичные формы | 4 |
Практическое занятие №1
Матрицы и операции над ними. Определитель квадратной матрицы и его основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Обратимые матрицы. Условие обратимости матрицы. Способы вычисления матрицы, обратной для данной. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы при помощи определителя
Задание – решить задачи различного уровня сложности
Задача 1. Найдите значение многочлена f(A):
1) f (x) = x3 - 6x2 + 8x,
⎛1 0
А = ⎜ 0 2
⎝ 1
0⎞
4⎟ .
⎟
⎠
2) f (x) = 2x3 - x2 + 3x,
⎛ 2
А = ⎜ 0
- 3 4 ⎞
5 -1⎟ .
⎜ - 2 -1 ⎟
Задача 2. Найдите произведения матриц
ААТ и
АТ А:
1) А = (1 2
3 4); 2)
⎛ 1
А = ⎜ 4
⎜
⎝
2 3⎞
5 6⎟ .
8 ⎠
Задача 3. Проверить, являются ли матрицы А и В коммутирующими:
1) А = ⎜ 3 7 3⎞
⎝ 5 ⎟
⎛ 7 - 6
В = ⎜ -5 3
⎝ -3
1 ⎞
1 ⎟
-3⎟
2) А = ⎜ 3
⎜
⎝
-1 0⎞
2 5⎟
- 2 ⎠
⎛ - 2 1
В = ⎜ -3 - 2
⎜ - 4 2
0 ⎞
5 ⎟
- 7⎟
Задача 4. Найдите все квадратные матрицы В размерностью 2 × 2 , если известно, что В 2 - нулевая матрица.
Задача 5. Решите уравнения:
2x + 1
1) x + 5
3 = 0 ; 2)
2
x + 3
7 - x
x -1
x -1
= 0 ;
2x -1
3) x + 2
x + 1
x -1
= 5 ; 4)
x - 2
- y - 3
y + 3 = 0
x - 2
Задача 6. Вычислите определители матриц, используя свойства определителей:
sin 2 α
sin 2 βsin 2 γ
cos 2 α
cos 2 β
cos 2 γ
1
1 ; 2)
1
sin 2 α
sin 2 β
sin 2 γ
cos 2 α
cos 2 β
cos 2 γ
cos 2α cos 2β ; cos 2γ
1 a
3) 1 b
1 c
b + c
c + a ; 4)
a + b
sin α sin β sin γ
cosα cos β cos γ
sin(α + δ ) sin(β + δ ) . sin(γ + δ )
Задача 7. Известно, что числа 255, 391, 578 делятся на 17. Не вычисляя значение
2
определителя 3
5
5 5
9 1 , докажите, что он тоже делится на 17.
7 8
Задача 8. Вычислите определители матриц разложением по какой-нибудь строке или столбцу, предварительно обнулив строку или столбец:
⎛ 3 - 5 2
- 4⎞
⎛ 1 2
⎜
3 4 5 ⎞
⎟
⎜ - 3 4 - 5
⎜ - 5 7 - 7
⎟ ⎜ 2
3 ⎟ ; 2) ⎜ 3
5
3 7 10
5 11 16
13⎟
21⎟ .
⎜
⎝ 8 - 8 5
⎟
- 6⎠
⎜ 2 - 7 7
⎝ 5
7 2 ⎟
3 10 ⎟
Задача 9. Вычислите определители матриц приведением к треугольному виду:
⎛1 1 1 1⎞
⎜ ⎟
1 0 1 1
⎛ 1 1
⎜ - 1 1
0 0⎞
⎟
1 0
⎛ 3 2
⎜
⎜ 2 3
2 2 2⎞
⎟
2 2 2⎟
1) ⎜
⎟ ; 2) ⎜
⎟ ; 3) ⎜ 2
2 3 2
2⎟;
⎜
⎜
⎝1 1
⎟
⎟
1 0⎠
⎜ - 1
⎝ 0 0
⎟
⎟
- 1 1⎠
⎜
⎜ 2 2
⎜
⎝
⎟
2 3 2⎟
2 2 ⎠
Задача 10. Решите матричное уравнение АХ = В, если:
⎛ 5 5 5 4⎞
⎜ ⎟
⎛ 1 1 1 0⎞
⎜ ⎟
1) A= ⎜ 5 5
4 5⎟ , B= ⎜ 1 1
0 1⎟ ;
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 4 5 5 5⎠
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0 1 1 1⎠
⎛ 4 2⎞ ⎛3 3⎞
2) A= ⎜
2
⎟ , B= ⎜ ⎟ ;
2 1 1
⎝ ⎠
⎛ 1 7 3⎞
⎝ ⎠
⎛ 7 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3) A= ⎜ 2 3 8⎟ , B= ⎜ 0 ⎟.
⎜ 0 7 1⎟
⎜ 7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Задача 11. Решите матричное уравнение ХA = В, если:
1) A= ⎝ ⎠
A
⎛ 1 0 0⎞
⎜ ⎟
0 2 0
⎝ ⎠ ;
⎛ 0 0 1⎞
⎜ ⎟
3) A= ⎜
⎟ , B= ⎜ 0
2 0⎟ .
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠
Задача 12. Решите матричное уравнение A۰Х۰B=C, если:
⎛ 1 6⎞
⎛ 2 6⎞
⎛ 1 6⎞
1) A= ⎜ 2
3⎟ , B= ⎜ 3
5⎟ , C= ⎜ 2
3⎟ ;
⎝ ⎠
⎛ 1 8⎞
⎝ ⎠
⎛ 2 7 ⎞
⎝ ⎠
⎛ 1 8⎞
2) A= ⎜ 2
3⎟ , B= ⎜ 5
5⎟ , C= ⎜ 2
3⎟ ;
⎝ ⎠
⎛ 1 9 3 ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 2 3⎞
⎜ ⎟
4 5 6
⎝ ⎠
⎛ 1 2 3⎞
⎜ ⎟
3) A= ⎜ 2
3 10⎟ , B= ⎜
⎟ , C= ⎜ 4
5 6⎟.
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Задача 13. Найдите ранг матрицы А методом нулей и единиц, если
⎛ 1 2
⎜
1) A = ⎜ 0 1
⎝ 3
3 0⎞
⎟
1 1⎟ ; 2)
4 ⎠
⎛1
⎜
A = ⎜3
⎜
⎝
2 -1 1
-1 1 6
-1 -1 4
- 3⎞
⎟
11 ⎟;
- 3⎟
⎛ 1 1
3 - 7 1 ⎞
⎛ 1 1
⎜
3 - 7 1 ⎞
⎟
⎜
3) A = 2
-1 1
6 - 4⎟ ; 4) A = ⎜ 2
-1 1
6 - 4⎟ .
⎜
⎜ -1 2
⎟
-1 -10 5 ⎟
⎜ -1 2
-1 -10 ⎟
⎝ ⎠ ⎜
⎝
-1 2
5 - 4⎟
Задача 14. Найдите ранги матриц методом окаймляющих миноров:
⎛ 1 2 3 ⎞
⎜ ⎟
⎛1 - 2
⎜
3 1 ⎞
⎟
⎛ 1 3 5
⎜ 2 - 1 - 3
-1⎞
⎟
4
1) ⎜ 2 4
5 ⎟ ; 2) ⎜ 3 2
- 4 2⎟ ; 3) ⎜ ⎟ .
⎜ 11⎟
⎜ - 2 2 ⎟
⎜
⎜
⎝ 7 7
- 1 ⎟
9 1 ⎠
Требования к выполнению данного задания:
При подготовке к решению задач необходимо повторить соответствующие разделы учебника, учебных пособий по данной теме и конспектов лекций.
Порядок выполнения задания:
- изучить учебную информацию по теме; провести анализ содержания темы; изучить условия задачи; предложить вариант (или варианты) решения задачи.
Требования к оформлению задания:
Решение задач должно быть представлено в письменной форме.
Рекомендуемые источники представлены в рабочей программе:
Практическое занятие №2
Системы линейных уравнений
Основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Запись и решение системы n линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде. Метод Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными. Однородная система линейных уравнений
Задание – решить задачи различного уровня сложности
Задача 1. Исследуйте систему линейных уравнений. В случае совместности системы решите ее, используя обратную матрицу и формулы Крамера:
1) ⎧x1 + 2x2 = 2, ;
⎩2x1 + x2 = 1
⎧x1 + 2x2 + 3x3 = 5,
2) ⎨4x1 + 5x2 + 6x3 = 1, ;
⎪
⎩ 2
⎧2x1 + 6x2 + x3 = 7,
3) ⎪x + 2x + 6x = 5, .
⎨ 1 2 3
⎪8x + 8x + 5x = 0
2 3
Задача 2. Найдите коэффициенты многочлена
f (x) = ax2 + bx + c, удовлетворяющего
условиям:
f (5) = 6,
f (1) = 4,
f (2) = 3 .
Задача 3. Найдите коэффициенты многочлена
f (x) = ax3 + bx2 + c, удовлетворяющего
условиям:
f (0) = 2,
f (1) = 4,
f (2) = 4 .
Задача 4. Исследуйте систему линейных уравнений. В случае совместности решите ее методом Гаусса:
1) ⎧x1 + x2 = 3,
; 2)
⎧x1 + x2 = 3, ;
⎨x + 4x = 4 ⎨ + 2x = 0
⎩ 1 2
⎩2x1 2
3) ⎧x1 + 2x2 = 1, ; 4) ⎧x1 + x2 + x3 = 3, ;
⎩2x1 + x2 = 2
⎧x1 + x2 + x3 = 3,
⎪
⎩2x1 + 2x2 + 2x3 = 6
5) ⎨2x1 + 10x2 + x3 = 2, .
⎪x + 4x + 2x = 5
⎩ 1 2 3
⎧3x + 4 y + 2z = 0,
6) ⎪4x + 2 y + 3z = 0, ;
⎪x + 3y = 0
⎧x1 + x2 +10x3 = 0,
7) ⎨8x1 + 3x2 + 5x3 = 0, ;
⎪4x + 10x + 3x = 0
⎩ 1 2 3
⎧4x + 10 y + 2z = 9,
8) ⎪2x + 5 y + 10z = 4, ;
⎪5x + 6 y + 11z = 5
⎧2x1 + 6x2 + 3x3 + 2x4 = 1,
⎪x + 6x
- 2x
= 2,
⎪ 1 2 3
9) ⎨ .
⎪3x1 + 5x2 + 5x3 + 2x4 = 3,
⎩⎪ 2x 2 + 5x3 + 3x3 = 1
Задача 5. Дана система линейных уравнений. Найдите общий вид решения системы и фундаментальный набор решений.
1) ⎧2x1 + x2 = 0, ; 2) ⎧x1 + x2 = 0,
⎧2x + 4 y = 0,
; 3) ⎪
⎧x1 + x2 + 2x3 = 0,
; 4) ⎪ ;
⎨x + 2x = 0
⎨4x + 4x = 0 ⎨ ⎨
⎩ 1 2 ⎩
⎪4x + y = 0
⎪x + 2x + x = 0
⎩ ⎩ 1 2 3
⎧x1 + 2x2 + 3x3 = 0,
⎪
⎪
⎧2x1 + 4x2 + x3 = 0,
⎪
⎪
⎧x1 + 2x2 + 3x3 = 0,
⎪
⎪
5) ⎨4x1 + 5x2 + 6x3 = 0, ; 6) m=5, ⎨4x1 + 3x2 + 2x3 = 0, 7) m=13, ⎨4x1 + 5x2 + 6x3 = 0, .
⎪
⎪
⎪⎩7x1 + 8x2 + 9x3 = 0
⎪
⎪
⎪⎩x1 + 2x2 + 3x3 = 0
⎪
⎪
⎪⎩7x1 + 8x2 + 10x3 = 0
Задача 6. Дана однородная система линейных уравнений. Найдите общий вид решения системы и фундаментальный набор решений в зависимости от параметра λ .
⎧⎪x1 + x2 - 3x3 = 0,
1) ⎨x1 - 2x2 - x3 = 0,
⎧⎪8x1 + x2 + 4x3 = 0,
; 2) ⎨λx1 - x2 + x3 = 0,
⎪⎩2x1 + 11x2 - 2λx3 = 0
⎪λ2 x + 3x + 2x = 0
⎩ 1 2 3
Требования к выполнению данного задания:
При подготовке к решению задач необходимо повторить соответствующие разделы учебника, учебных пособий по данной теме и конспектов лекций.
Порядок выполнения задания:
- изучить учебную информацию по теме; провести анализ содержания темы; изучить условия задачи; предложить вариант (или варианты) решения задачи.
Требования к оформлению задания:
Решение задач должно быть представлено в письменной форме.
Рекомендуемые источники представлены в рабочей программе:
Практическое занятие №3
Векторы и линейные операции над ними. Коллинеарные и компланарные векторы. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в заданном базисе. Сложение векторов и умножение вектора на число в координатах. Признаки коллинеарности и компланарности векторов в координатах. Системы координат. Координаты точки в пространстве. Решение двух основных задач в декартовой системе координат. Декартова прямоугольная система координат. Полярная система координат. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Задание – решить задачи различного уровня сложности Задание 1.
Векторы a(2,1,0), b(0,1,2), c(0,α,5) компланарны при α, равном…
1 | 2 | 3 | 4 |
0 | 1 | 5/2 | 2/5 |
Задание 2.
Векторы a(0,1,7), b(-1,1,0), c(β,1,0) не образуют базис при β, равном…
1 | 2 | 3 | 4 |
-1 | 0 | 1 | 7 |
Задание 3.
Векторы b(-1,1,4) и c(β, 2, 8) коллинеарны при β, равном…
1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 0 | -1 | -2 |
Задание 4.
Площадь треугольника с вершинами А(1, 2, 0), В(3, 0, 3), С(5, 2, 6) равна…
1 | 2 | 3 | 4 |
2 13 | 4 13 | 13 | 0 |
Задание 5.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах a=(0, -5, 3), b=(-1, 0, 3), равна…
1 | 2 | 3 | 4 |
259 | 334 | 259 2 | 334 2 |
Задание 6.
Даны векторы a=(1, -1, -2), b=(1, 2, -1). Тогда координаты векторного произведения этих векторов равны…
1 | 2 | 3 | 4 |
(5, 1, 3) | (-5, 3, 1) | (5,-1, 3) | (5, 3, 1) |
Задание 7.
Объем пирамиды, построенной на векторах a=(0, 6, 1), b=(4, 0, 3), с=(1, 6, 4), равен…
1 | 2 | 3 | 4 |
9 | 54 | 27 | 26 |
Задание 8.
Даны векторы: . a = i-j + k, b=j + 4k, c = 5i + 2j. Тогда смешанное произведение этих векторов равно…
1 | 2 | 3 | 4 |
-25 | -33 | 33 | 25 |
Задание 9.
Даны точки: А(1, 1, -2), В(-3, -1, 2), С(2, 2, 1). Тогда скалярное произведение векторов
→ →
a = 5 АС и b = AВ, равно…
1 | 2 | 3 | 4 |
-30 | 30 | 6 | -6 |
Задание 10.
Даны точки: А(1, 3, -1), В(3, 1, -1), С(1, 1, 1). Тогда косинус угла между векторами
→
→
a = 3 АВ
и b = - AС равен…
1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 1/2 | -1/2 | -1/4 |
Задание 11. Доказать, что векторы а = (1, -1, 1), b = (-5, -3, 1), c = (2, -1, 0) образуют базис и найти координаты вектора d (-15, -10, 5) в этом базисе.
Задание 12. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах а = (2, 3, -1),
b = (-2, 4, 5), c = (3, -1, 4), если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах а и b.
Задание 13. Вершины пирамиды находятся в точкахА, В, С и D. Вычислить: а) площадь указанной грани; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра и две вершины пирамиды; в) объем пирамиды ABCD.
A(3, 4, 5), B(1, 2, 1), С(-2, —3, 6), D(3, -6, -3);а) ACD; б) 1 = AB, С и D.
Требования к выполнению данного задания:
При подготовке к решению задач необходимо повторить соответствующие разделы учебника, учебных пособий по данной теме и конспектов лекций.
Порядок выполнения задания:
- изучить учебную информацию по теме; провести анализ содержания темы; изучить условия задачи; предложить вариант (или варианты) решения задачи.
Требования к оформлению задания:
Решение задач должно быть представлено в письменной форме.
Рекомендуемые источники представлены в рабочей программе:
Практическое занятие №4
Уравнения прямой на плоскости. Эллипс, его уравнения и свойства. Гипербола, ее уравнение и свойства. Парабола. Уравнение параболы и основные свойства
Задание – решить задачи различного уровня сложности Задание 1.
Прямая задана уравнением 3x+7y+5=0. Прямая, перпендикулярная ей, может иметь
уравнение:
1 | 2 | 3 | 4 |
3x+7y+8=0 | 6x+14y+10=0 | -14x+6y+2=0 | 14x+6y-7=0 |
Задание 2.
Треугольник задан вершинами А(3,0), В(4,2), С(5,-7). Уравнение высоты, опущенной из вершины С, имеет вид:
1 | 2 | 3 | 4 |
7x+2y-21=0 | 9x+y-38=0 | x+2y+9=0 | x+2y-2=0 |
Задание 3.
Расстояние между двумя прямыми, заданными уравнениями: x - 2 = y - 7 , 3x + 4y -11 = 0 ,
