ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ
1. Из гнезда вылетели три ласточки. Какова вероятность того, что через 15 секунд они будут находиться в одной плоскости? (Ответ: 100%, так как три точки всегда образуют одну плоскость)
2. На столе лежат две монеты, в сумме они дают 3 рубля. Одна из них — не 1 рубль. Какие это монеты? (Ответ: 2 рубля и 1 рубль. Одна-то не 1 рубль, а вот другая — 1 рубль)
3. С какой скоростью должна бежать собака, чтобы не слышать звона сковородки, привязанной к ее хвосту? (Ответ: Если вы думаете, что ей нужно бежать со сверхзвуковой скоростью, то вы ошибаетесь — собаке достаточно стоять на месте)
4. Один оборот вокруг Земли спутник делает за 1 час 40 минут, а другой — за 100 минут. Как это может быть? (Ответ: 1 ч 40 мин = 100 мин)
5. Крыша одного дома не симметрична: один скат ее составляет с горизонталью угол 60 градусов, другой — угол 70 градусов. Предположим, что петух откладывает яйцо на гребень крыши. В какую сторону упадет яйцо — в сторону более пологого или крутого ската? (Ответ: Петухи не кладут яйца)
6. В 12-этажном доме есть лифт. На первом этаже живет всего 2 человека, от этажа к этажу количество жильцов увеличивается вдвое. Какая кнопка в лифте этого дома нажимается чаще других? (Ответ: Независимо от распределения жильцов по этажам, кнопка «1»)
7. В двух кошельках лежат две монеты, причем в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть? (Ответ: Один кошелек лежит внутри другого)
8. Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, причем сам профессор в разговоре не участвует. Может ли такое быть? (Ответ: Да, может, если профессор — женщина).
9. Два сына и два отца съели 3 яйца. Сколько яиц съел каждый? (По одному яйцу каждый)
10. На складе было 5 цистерн с горючим, по 6 тонн в каждой. Из двух цистерн горючее выдали. Сколько цистерн осталось? (5)
11. Вообрази, что ты капитан футбольной команды. В районе 8 футбольных команд, по 11 человек в каждой. Игроки вашей команды на 2 года моложе своего капитана, а игроки других — только на 1 год. Сколько лет капитану вашей команды? (Столько, сколько лет отвечающему)
12. Пара лошадей пробежала 20 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь? (20 км)
13. Когда сороке исполнится 4 года, что с ней произойдет? (Будет жить пятый год)
14. Если в 11 часов ночи идет дождь, то возможно ли через 48 часов солнечная погода? (Нет, так как будет ночь)
15. Чтобы сварить 1 кг мяса, требуется один час. Сколько времени потребуется для варки х кг мяса? (1 час)
16. У Марины было целое яблоко, две половинки и 4 четвертинки. Сколько было у нее яблок? (3)
17. На грядке сидели 6 воробьев, к ним прилетели еще 5. Кот подкрался и схватил одного воробья. Сколько воробьев осталось на грядке? (Один, которого схватил кот. Остальные улетели)
18. Мальчик написал на бумажке число 86 и говорит своему товарищу: «Не производя никакой записи, увеличь это число на 12 и покажи мне ответ». Недолго думая, товарищ показал ответ. А вы это сделать сумеете? (Перевернуть бумажку «вверх ногами»)
19. В клетке находились 4 кролика. Четверо ребят купили по одному из этих кроликов и один кролик остался в клетке. Как это могло получиться? (Одного кролика купили вместе с клеткой)1
20. Летели утки: одна впереди и две позади, одна позади и две впереди, одна между двумя и три в ряд. Сколько всего летело уток? (Три утки, одна за другой)
21. У одного старика спросили, сколько ему лет. Он ответил, что ему сто лет и несколько месяцев, но дней рождения у него было всего 25. Как это могло быть? (Этот человек родился 29 февраля, т. е. день рождения у него бывает один раз в четыре года)
22. Что это такое: две ноги сидели на трех, а когда пришли четыре и утащили одну, то две ноги, схватив три, бросили их в четыре, чтобы четыре оставили одну? (Повар сидел на стуле, имеющем три ножки, пришла собака и утащила куриную ногу. Повар бросил стул в собаку, чтобы она оставила куриную ногу)
23. Часы бьют каждый час и отбивают столько ударов, сколько показывает часовая стрелка. Сколько ударов отобьют часы в течение 12 часов? (Количество ударов равняется 1+2+3+...+12...= 78. Суммы членов, равноотстоящих от концов (1+12, 2+11, 3+10,...) равны между собой — 13. Таких пар, равноотстоящих от концов чисел, имеется 6. Значит, 1+2+3+...+12=6 х 13=78).
24. Летели скворцы и встретились им деревья. Когда сели они по одному на дерево, то одному скворцу не хватило дерева, а когда на каждое дерево сели по два скворца, то одно дерево осталось не занятым. Сколько было скворцов и сколько деревьев? (Предположим, что, после того как скворцы сели на деревья по два, с каждого дерева взлетело по одному скворцу. Один из взлетевших скворцов может сесть на незанятое дерево, тогда на каждом дереве будет сидеть по одному скворцу. По условию если на каждое дерево сядет по одному скворцу, то один скворец останется в воздухе. Значит, взлетело 2 скворца. Тогда общее число скворцов равно 4, а число деревьев 3.
Задачи-эксперименты.
Задача 1. Предложите учащимся взять произвольно три различные цифры, кроме нуля, а затем составить из них всевозможные трехзначные числа, сложить их и полученную сумму разделить на сумму первоначально взятых цифр. Учащимся можно сразу сообщить ответ - 222.
Например, учащиеся взяли цифры 2, 3, 7. Они составили из них шесть трехзначных чисел: 237, 273, 327, 372, 723, 732. Сумма их равна: 237 + 273 + 327 + 372 + 723 + 732 = (237 + 723) + (273 + + 327) + (372 + 732) = 960 + 600+1104 = 2664.
Разделив это число на сумму цифр 7 + 3 + 2, учащиеся получают ответ: 2664 : 12 = 222.
Эта задача очень интересна. Удивление вызывает угадывание ответа учителем. Особенно удивительно то, что учитель угадал ответ у каждого из учеников. Несмотря на то, что цифры были взяты ими совершенно произвольно и в весьма разнообразных сочетаниях. Но это эмоциональная сторона дела, хотя ее роль в обучении математике младших школьников представляется весьма важной. В задаче немало и поучительных математических моментов.
Во-первых, обратим внимание учащихся на то, что из трех цифр можно составить именно шесть чисел. Это несложно, на первое место можно поставить любую из трех цифр, а на оставшиеся - две другие в разном порядке. Значит, всего таких чисел 3x2 = 6.
Во-вторых, при сложении чисел чрезвычайно полезными оказываются навыки рационального выполнения действий, что приводит к результату значительно быстрее, и уменьшает возможность допущения ошибок.
В-третьих, и это главное, весьма интересно решение задачи в общем виде. Итак, пусть взяты цифры a, b, с (различные, ни одна из цифр не равна нулю). Составим из них шесть трехзначных чисел. Каждая цифра, например, а, будет дважды означать число сотен, дважды - десятков, дважды - единиц. Значит, сумма всех шести чисел будет равна.
100 (2а + 2b + 2с) + 10 (2а + 2b + 2с) + (2а + 2b + 2с) = 222 (а + b + с), и результат от деления этой суммы на сумму цифр (а + b + с) будет равен 222.
Учащимся будут интересны и другие задачи такого типа.
Задача 2. Возьмите любое трехзначное число, не оканчивающееся нулем. Переставьте в нем цифры в обратном порядке. ц3 большего числа вычтите меньшее и полученную разность разделите на разность первых цифр слева этих двух чисел. У вас получится 99. Почему?
Например, взяли число 285, переставили в нем цифры, получили 582. Из большего вычли меньшее 582 - 285 = 297 и разделили на разность первых цифр 5-2 = 3, получили 297 : 3 = 99.
Задача 3. Задумайте число, которое делилось бы на 6. Разделите его пополам, полученное число запомните. Теперь задуманное число разделите на 3, результат запомните. А теперь разделите задуманное число на 2. Результаты всех трех делений сложите. У вас получилось задуманное число. Почему?
Например, взяли число 72, получили три числа:
первое - 72 : 2 = 36,
второе - 72 : 3 = 24,
третье - 72 : 6 = 12.
Сложили их: 36 + 24 + 12 = 72. Получили задуманное число.
Задача 4. Возьмите любое двузначное число, которое не оканчивается нулем. Переставьте в нем цифры, получите новое число. Сложите эти два числа и разделите их на сумму цифр любого из этих чисел. Докажите, что в ответе получается 11.
Например, взяли число 53. Переставили в нем цифры, получили число 35. Сложили их и получили 35 + 53 = 88.
Сумму разделили на сумму цифр первого числа 5 + 3 = 8 (у второго она та же), получили 88 : 8 = 11.
Задача «Четвертый лишний».
В каждом ряду три числа обладают общим свойством, а одно число этим свойством не обладает. Укажите, что это за свойство и какое число лишнее.
Нестандартные задачи на деление
Задача 1. Трехметровый брусок надо разрезать на полуметровые. Сколько разрезов надо сделать?
Решение: в трехметровом бруске 300 см. Его надо разрезать на бруски длиной 50 см каждый. Получится: 300 : 50 = 6 (брусков). А сколько же надо сделать разрезов? Рассуждать будем так: чтобы разделить брусок пополам, то есть на 2 части, надо сделать один разрез, на три части - два разреза, и так далее, на шесть частей - пять разрезов. Итак, надо сделать 6-1=5 (разрезов).
Ответ: 5 разрезов.
При решении подобных задач возможны различные варианты. Рассмотрим их на следующих примерах.
Задача 2. Пятидесятиметровый шнур надо разрезать на части, длина каждой из которых 2 м. Сколько разрезов надо сделать?
Решение: 50 : 2 - 1 = 24 (разреза).
Ответ: 24 разреза.
Задача 3. Шестиметровый брус разрезали на равные части, сделав при этом 5 разрезов. Какой длины получились каждая часть?
Решение: 6 : (5 + 1) = 1 (м).
Ответ: 1 метр.
Задача 4. Вдоль участка длиной 100 м поставили столбы для ограды на расстоянии друг от друга -4 м. Сколько столбов поставили?
Решение: 100 : 4 + 1 = 25 + 1 = 26 (столбов).
Ответ: 26 столбов.
Задача 5. Вдоль прямой дороги на расстоянии 150 м поставили 51 столб. Столбы ставились на равном расстоянии друг от Друга. Каково это расстояние?
Решение: 150 : (51 - 1) = 3 (м).
Ответ: на расстоянии 3 метра друг от друга.
Задачи-ребусы.
1. Найдите цифры, обозначенные буквами А и В в примере:
Решение основано на том, что переноса единиц из одного разряда в другой нет. Значит А + В = 3.
Поскольку число не может начинаться с 3 3 нуля, то возможны случаи: А = 1, В = 2 или А = 2, В = 1, то есть
Ответ: А = 1, В = 2 или А = 2, В = 1.
Учитель, однако, может пояснить учащимся, что А = 2, В = 1 не дает принципиально нового решения. Это обстоятельство очень важно, поскольку в элементарной форме подготавливает учащихся к восприятию такого свойства, как симметричность.
После этого учащимся могут быть предложены такие задачи:
Задача 1. Найдите цифры, обозначенные буквами А, В, С в примере:
Задача 2. Какие цифры надо поставить вместо звездочек в примере?
Задача 3. Какие цифры надо поставить в примере вместо звездочек?
Задача 4. Какие цифры скрываются за звездочками?
Задачи на внимание
1. Подумай и скажи — кто быстрее переплывет речку — утята или цыплята?
2. Подумай и скажи — какого цвета волосы у колобка?
3. Отгадай загадку: Лежали конфетки в кучке. Две матери, две дочки Да бабушка с внучкой Взяли конфет по штучке, И не стало этой кучки. Сколько конфет было в кучке?
4. Росли 5 берез. На каждой березе по 5 больших веток. На каждой ветке по 5 маленьких веток. На каждой маленькой ветке — по 5 яблок. Сколько всего
яблок?
5. Подумай и скажи — что помогает выжить белым медведям в пустыне, где нет воды?
6. На каких деревьях вьют свои гнезда страусы?
7. На столе лежит 2 яблока и 4 груши. Сколько всего овощей лежит на столе?
8. Подумай и скажи — кто громче рычит: тигр или буйвол?
9. Посмотрел Ваня утром в окно и говорит: — А на улице, оказывается, очень сильный ветер. Нужно теплее одеваться. Как он догадался, что на улице ветер? Что он увидел?
10. Пошли 2 девочки в лес за грибами, а навстречу 2 мальчика. Сколько всего детей идет в лес?
11. Бревно распилили на 4 части. Сколько сделали распилов?
12. У мамы есть братья Николай и Виктор, сестра Маргарита, сын Олег и дочь Мария. Сколько всего детей у мамы?
13. Шли 2 старухи в Москву, а навстречу им три старика. Сколько человек шло в Москву? (2 старухи).
14. Может ли при делении получиться ноль? (Да)
15. У прямоугольника отрезали один угол. Сколько углов стало? (5)
16. Бежала тройка лошадей. Каждая пробежала 5км. Сколько км проехал ямщик? (5км.)
17. На дереве сидело 23 птицы. Охотник прицелился, выстрелил и промахнулся. Сколько птиц осталось на дереве?
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Какой музыкальный инструмент был у каждого мальчика, если у Гены и Васи, а также у Лёвы и Толи были разные инструменты,
а у Гены и Левы – как у Миши?
На весах, которые находятся в равновесии, на одной чашке лежит 1 морковка и 2 одинаковые редиски.
На другой чашке – 2 такие же морковки и 1 такая же редиска. Что легче: морковка или редиска?
У бабушки два внука: Коля и маленький Олег. Бабушка купила им 16 конфет и сказала Коле, чтобы он дал Олегу на 2 конфеты больше, чем взял себе. Как Коля должен разделить конфеты?
Отца одного гражданина зовут Николай Петрович, а сына – Алексей Владимирович. Как зовут гражданина?
Тетрадь дешевле ручки, но дороже карандаша. Что дешевле?
Имеется перекрёсток двух дорог. Вдоль каждой из дорог, по одну сторону на этом перекрёстке надо посадить по 11 деревьев.
Каково наименьшее количество деревьев, которые можно посадить, выполняя это задание?
Какие три числа, если их сложить или перемножить, дают один и тот же результат?
Ваня живет выше Пети, но ниже Сени, а Коля живет ниже Пети. На каком этаже четырёхэтажного дома живёт каждый из них?
В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена.
Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше, чем Юра, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?
Двое подошли к реке. Лодка, на которой можно переправиться, вмещает одного человека.
И все же, без посторонней помощи, они переправились на этой лодке. Как им это удалось?
Стоят двое. Один смотрит на юг, другой на север.
Могут ли они увидеть друг друга, не поворачивая головы, не употребляя зеркал или каких – либо приспособлений?
Полтора лимона стоят полтора рубля. Сколько стоят десять лимонов?
За книгу заплатили один рубль и ещё половину стоимости книги. Сколько стоит книга?
Каждую минуту от бревна отпиливают метровый кусок. Во сколько минут распилят на такие куски бревно длиной 6 метров?
Даша и Маша получили в школе пятёрки: одна – по математике, другая – по чтению.
По какому предмету получила пятёрку Даша, если Маша получила эту оценку не по математике?
Два друга – Федя и Костя – получили в школе двойку и тройку.
Федины родители обычно ругают сына за тройки, а привыкшие к тройкам Костины родители ругают его только за двойки.
Кому попадет на этот раз, если известно, что Федя не получил тройку?
В школьном буфете Наташа, Яна и Алёна покупали пирожные – бисквитное с вареньем, бисквитное с кремом и трубочку с кремом. Кто что купил, если каждая девочка съела по одному пирожному,
Яна и Алёна любят пирожные с кремом, а Наташа и Алёна купили себе по бисквитному пирожному?
У трёх подружек – Вики, Ани и Лены – очень красивые куртки – синяя и красная с капюшонами и синяя без капюшона.
У кого какая куртка, если Аня и Лена ходят с капюшонами, а у Ани и Вики куртки синего цвета?
Бегемот тяжелее носорога, а носорог тяжелее быка. Кто из этих друзей самый лёгкий?
Вите, Пете и Андрею подарили по видеокассете: одну – с комедией, другую с веселыми мультфильмами,
а третью с фантастическим фильмом. Кто что получил в подарок, если известно, что Петя и Витя не любят смотреть мультфильмы,
а Андрей и Петя в процессе просмотра хохотали до упаду?
Три девочки – Таня, Катя и Марина – занимаются в трёх различных кружках – вышивки, танцев и хорового пения.
Катя не знакома с девочкой занимающейся танцами. Таня часто ходит в гости к девочке, занимающейся вышивкой.
Подружка Кати -–Марина, хочет в следующем году добавить к своим увлечениям занятия пением.
Кто из девочек чем занимается?
Миша, Коля и Настя решили помочь маме собрать урожай – смородину, крыжовник и вишню.
Каждый из них собирал что – то одно. Кто что собирал, если известно, что больше всего было собрано смородины,
Миша не собирал крыжовник, а Миша и Коля вдвоём набрали ягод меньше чем Настя?
Трое друзей – Игорь, Андрей и Владимир – имеют собак – овчарку, пуделя и добермана.
Игорь живет в одном подъезде с владельцем пуделя.
Доберман, выходя вечером гулять со своим хозяином, всегда очень радуется, встречая Владимира с его собакой,
но не переваривает пуделя и всегда злобно облаивает его при встрече. У кого из мальчиков какая собака?
У паука 4 пары ног, а у козлёнка 2 пары ног. На сколько ног меньше у козлёнка, чем у паука?
К числу 67 прибавить 2 однозначных числа и получить 75. Какие числа прибавили?
Разбей восемь восьмёрок на числа, которые в сумме дадут одну тысячу.
Если некоторые двузначные числа разделить на сумму его цифр, то в результате получится снова сумма цифр делимого.
Найти это число.
У Пети, Саши и Вовы было два ранца и один портфель.
У кого из мальчиков какой предмет был, если известно, что у Пети и Саши были одинаковые предметы?
У Марины, Кати и Нади было две ручки и один карандаш.
Какой предмет был у каждой девочки, если у Кати и Нади были разные предметы?
Что за число, на которое можно умножить и делить, но при этом множитель и делимое не изменяются?
На столе лежали две линейки. Жёлтая была длиннее зелёной на 2 см. Синяя короче зелёной на 3 см. Найти длину жёлтой линейки, если длина синей – 15 см.
В ряду 8 стульев. Маша села на пятое место слева, а Даша – на пятое место справа. Может быть они сели на один и тот же стул?
9 февраля был вторник. Какой день недели будет 25 февраля?
Квадрат стороной 5 см. Распилили на квадратики со стороной 1 см. Из полученных квадратов составили ленту. Какова длина ленты?
На участке дороги длиной 90 м. Школьниками поручено посадить деревья так, чтобы между ними были расстояния в 9 метров. Сколько деревьев должны посадить школьники?
10 насосов за 10 минут выкачивают 1 тонну воды. За сколько минут 20 таких насосов выкачивают 2 тонны воды?
Осёл, козёл и косолапый Мишка, за исполнение хорошей музыки, получили призы: мёд, сено и капусту.
Какой приз получил каждый музыкант, если осёл выбрал себе не сено и не капусту, а козёл тоже не взял себе капусту?
На одной чашке весов находятся две одинаковые коробки с макаронами, и стоит гиря в 4 кг., а на другой – 2 гири по 5 кг.
Весы в равновесии. Найдите массу каждой коробки.
Прямоугольник, стороны которого 8 и 5 см., разделили на одинаковые полосы шириной 1 см. Из этих полосок составили ленту. Найдите его длину.
В одном ряду 8 камешков на расстоянии 2 см. один от другого. В другом ряду 15 камешков на расстоянии 1 см. один от другого. Какой ряд длиннее
Занимательные задания повышенного уровня
Задание: вставьте в квадраты необходимые числа таким образом, чтобы их сумма по каждой прямой равнялась числу в середине звёздочки, при этом числа не должны повторяться
ИСПРАВЬТЕ ОШИБКУ
Возьмите 12 спичек и выложите из них «равенство»
Равенство неверное, так как получается, что 6 – 4 = 9. Переложите одну спичку так, чтобы получилось правильное равенство.
ИЗ ТРЕХ - ЧЕТЫРЕ
(шутка)
На столе лежат 3 спички. Не прибавляя ни одной спички, сделайте из трех – четыре. Ломать спички нельзя.
ТРИ ДА ДВА - ВОСЕМЬ
( шутка)
Положите на стол 3 спички и предложите товарищу добавить к ним еще 2 так, чтобы получилось восемь. Разумеется, ломать спички нельзя.
ТРИ КВАДРАТА
Из 8 палочек, четыре из которых вдвое короче остальных четырех. Составьте 3 равных квадрата.
СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ
ПЕРЕПРАВА ЧЕРЕЗ РЕКУ
Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую необходимо было переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков – не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом?
Решайте эту задачу «в уме» или практически, – используя шашки, спички, или что-либо в этом роде и передвигая их по столу через воображаемую реку.
ВОЛК, КОЗА И КАПУСТА
Это тоже старинная задача; встречается в сочинениях VIII века. Она имеет сказочное содержание.
Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза. Или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. А в присутствии человека «никто никого не ел». Человек все-таки перевез свой груз через реку. Как он это сделал?
