Текстовые задачи (стр. 2 )

Ответ: исходная скорость поезда равна км/ч; расстояние между пунктами и равно км.

               Пример 2. Пешеход идет к поезду. Пройдя за первый час пути км, он рассчитал, что если он будет идти дальше с той же скоростью, то опоздает к поезду на полчаса. Пешеход прибавил шагу и оставшуюся часть пути шел со скоростью км/ч, благодаря чему он прибыл в конечный пункт на минут раньше срока. Найдите длину пути пешехода.

               Решение. Пусть (км) - длина пути пешехода; (ч) – время до отправления поезда с момента выхода пешехода из начального пункта. Тогда первый час пути пешеход прошел со скоростью км/ч, а время, за которое он прошел бы весь путь, равно часа. Тогда из условия задачи следует, что  . Путь в км пешеход прошел  за часов, тогда из условия задачи вытекает уравнение  . Здесь и - это  минут и минут, выраженные в часах. В результате имеем систему уравнений. Вычитая из первого уравнения второе, получим . После преобразований имеем км.

Ответ: путь пешехода составляет км.

               Далее рассмотрим примеры задач, описывающих совместное движение двух и более участников. В задачах на совместное движение участники не всегда одновременно начинают движение и не всегда одновременно его заканчивают. Поэтому важно выделить участок или участки пути, на которых действительно происходит совместное движение. Кроме этого, в задачах имеются участки, на которых передвигается один участник, в то время как второй еще не начал или уже закончил движение.

               Пример 3. Из пункта в пункт выехал скорый поезд. Одновременно навстречу ему из в выехал товарный поезд. Через часов минут они встретились. В пункт скорый поезд прибыл на часов раньше, чем товарный в Сколько времени находился в пути каждый поезд?

               Решение. Пусть скорый поезд находится в пути часов, а товарный -  часов.  Если через  (км) обозначить расстояние между пунктами и , то скорости поездов будут равны (км/ч) и (км/ч) соответственно. Из условия, что поезда встретились через часа (что соответствует часам минутам), вытекает уравнение . Так как товарный поезд находился в пути на часов больше, чем скорый, то . В результате имеем систему уравнений .  Первое уравнение, после сокращения на , приводится к виду . Подставив в это уравнение выражение для , приходим к квадратному уравнению с корнями и . Отрицательный корень противоречит смыслу задачи, поэтому , а

Ответ: скорый поезд находился в пути часов, товарный - часов.

               Пример 4. Две автомашины выехали одновременно из пункта в одном направлении со скоростями км/ч и км/ч. Третья машина выехала из пункта на полчаса позже и догнала вторую машину через полтора часа после того, как обогнала первую машину. Найти скорость третьей машины.

Решение. Изобразим схематически движение автомобилей и обозначим место встречи третьего автомобиля с первым точкой а со вторым – точкой   

     

Введем неизвестные: (км/ч) – скорость третьего автомобиля, (ч) – время, через которое третий автомобиль догонит первый.

       Из условий задачи следует, что расстояние первый автомобиль проходит за часа, а третий автомобиль – за часов, поэтому . Расстояние третий автомобиль проходит за часа, а второй автомобиль – за часов, поэтому . В результате имеем систему уравнений . Из первого уравнения Подставляя это выражение для во второе уравнение, имеем После преобразований приходим к уравнению  которое равносильно квадратному уравнению с корнями ; Если км/ч, то соответствующее значение  - отрицательно, чего по условию задачи не может быть. При км/ч получаем час, что соответствует встрече третьего автомобиля с первым через час, а со вторым – через два с половиной часа.