Текстовые задачи (стр. 5 )

Ответ: за часов.

       Заметим, что в этой задача за объём бассейна можно было принять .

Пример 10. Через первую трубу бассейн наполняется на часов дольше, чем через вторую, и на часов дольше, чем через третью. Если одновременно открыть первую и вторую трубу, то бассейн наполнится за то же самое время, что при открытой только третьей трубе. За какое время бассейн наполнят все три трубы вместе?

       Решение. Пусть (л) – объём бассейна, (л/ч) – льёт первая труба (производительность первой трубы), (л/ч) – вторая труба, (л/ч) – третья труба, а (ч) - время наполнения бассейна первой трубой. Тогда за часов наполняет бассейн вторая труба, а третья - часов. Тогда имеем , и .

       Время наполнения бассейна первой и второй трубой вместе равно часов, время наполнения бассейна одной третьей трубой равно часов, тогда по условию задачи . В результате имеем систему уравнений

. Найти нужно величину . Для этого перепишем систему в виде  . Тогда, подставляя , , , выраженные через в четвертое уравнение, имеем . Сделав преобразования, приходим к квадратному уравнению  .  Решая его, получим, что либо  , либо . При этом не подходит, так как по условию задачи . Тогда ,  откуда часа.

Ответ: за часа наполнят бассейн все три трубы вместе.

Задачи «на проценты», смеси и сплавы.

       К текстовым задачам «на проценты» относятся задачи, в которых, как правило, речь идет о вкладах в банк под тем или иным процентом, о прибыли, о выполнении плана, об изменении цены на товар, задачи в которых происходит преобразование исходного вещества (при сушке, при выпаривании) и т. д.

       При решении задач «на проценты» важно понимать, что один процент от некоторой величины – это её сотая часть. Изменяется величина  и соответственно изменяется значение процента от этой величины. Задачу «на проценты» всегда можно свести к задаче на части, например, равны ; равны .

       Существуют три основных вида задач «на проценты».

Определение процента от числа: Найти число , составляющее  от числа .

Ответ: .

Пример:  от числа это число .

Определение числа по известной его части, выраженной в процентах: Найти число , если от него равно .

Ответ: .

Пример:  если от числа равно , то это число .

Определить сколько процентов составляет число от числа .

Ответ: .

Пример:  1. На сколько процентов число больше ?

Ответ: на  .

2. На сколько процентов число меньше ?

Ответ: на  .

Приведем примеры решения задач.

Пример 11. Всё поле планировали вспахать за дней. Механизатор за дней вспахал поля. На сколько процентов он перевыполнил дневную норму?

       Решение. Пусть – производительность механизатора в день, тогда объём работы,  выполняемый по плану за дней (вспаханное поле), равен , а поля – это . Этот объём работы механизатор выполнил за дней, значит его дневная норма была  , а это составляет  от дневной нормы по плану, следовательно, дневную норму механизатор перевыполнил на .

Ответ: на .

Пример 12. Цена товара была повышена на .  На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

       Решение. Пусть цена товара (руб.), тогда после повышения на цена товара увеличилась на (руб.) и товар стал стоить (руб.).  Пусть на (%) надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную цену товара, тогда цена товара понизится на  (руб.). Тогда из условия задачи имеем уравнение . Сократим это уравнение на и умножим на , после преобразований получим, что .