Текстовые задачи (стр. 4 )

       Пусть первому рабочему для выполнения всей работы одному нужно часов, тогда второму рабочему для выполнения всей работы одному потребуется часов. Тогда и . В результате имеем систему уравнений . Из второго уравнения имеем , из третьего - . Подставив эти выражения в первое уравнение системы, получим . Приведем это уравнение к общему знаменателю и получим уравнение , которое равносильно квадратному уравнению с корнями и . По условию задачи значение должно быть положительным, значит  . Итак, первому рабочему на выполнение работы потребуется часов, второму - часов.

Ответ: часов, часов.

Пример 8. Трое рабочих должны сделать одинаковых деталей. Известно, что все трое вместе могут сделать за час деталей. К работе сначала приступил первый рабочий. Он сделал деталей, затратив на это более трёх часов. Оставшуюся часть работы выполнили вместе второй и третий рабочие. На всю работу ушло часов. Сколько часов понадобилось бы первому рабочему на всю работу, если бы он делал её один?

       Решение. Пусть деталей делал первый рабочий за час; - второй; - третий и - время первого рабочего, затраченное на изготовление ти деталей.  Тогда - общая производительность трех рабочих, работающих вместе, - производительность второго и третьего рабочих, работающих вместе и - время совместной работы второго и третьего рабочего. Из условий задачи следует следующая система уравнений . Выразим из первого уравнения и подставим это выражение в третье уравнение, получим . Следовательно, приходим к системе  уравнений . Подставив второе уравнение в первое и сократив его на , получим уравнение , из которого .  Подставим это выражение для  во второе уравнение системы и придем к квадратному уравнению с корнями и . Если , то ; если , то , а , поэтому - не подходит, значит, на изготовление деталей первому рабочему  потребуется часов.

Ответ: часов.

Пример 9. При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в раза, а второго - в раза, и при одновременной работе двух насосов бассейн стал наполняться за часов.  За какое время наполнится бассейн одним первым насосом после ремонта?

       Решение. Пусть (л) – объём бассейна, (л/ч) – производительность первого насоса, (л/ч) – производительность второго насоса.

       До ремонта за часов первый насос перекачивает () литров воды, второй -  () литров. В итоге за часов они вместе перекачают литров воды. По условию задачи имеем . После ремонта за часов первый насос перекачивает () литров воды, а второй  () литров. Вместе за часов они перекачают ( литров, и можно составить второе уравнение . В результате имеем систему уравнений . Поделим обе части уравнений на  и получим . Следовательно, отношения и удовлетворяют системе линейных уравнений  . Решая эту систему, находим  , .

       По условию задачи требуется найти время, за которое первый насос наполнит бассейн, работая с производительностью  . Это время равно часов.