Текстовые задачи (стр. 3 )

Ответ: скорость третьей машины равна км/ч.

       В ряде задач на движение учитывается скорость течения при движении по реке, скорость ветра при движении, например,  самолетов. В задачах такого типа рассматриваются две основные скорости – собственная скорость лодки, катера, самолета, создаваемая двигателем или усилием людей при работе на веслах (то есть скорость движения в стоячей воде или скорость движения при отсутствии ветра), и скорость течения или ветра. Как правило, если собственная скорость  и скорость течения (ветра) не даны, то именно их обозначают за неизвестные. Две другие скорости – скорость по течению или ветру и скорость против течения или ветра – можно выразить через основные скорости через их сумму или разность соответственно. И далее такая задача решается как любая другая задача на движение.

Пример 5. Теплоход по течению реки плывет вдвое медленнее, чем скутер против течения реки, а по течению скутер плывет в раза быстрее, чем теплоход против течения. Во сколько раз скорость скутера в стоячей воде больше скорости теплохода?

Решение. Пусть и   - соответственно скорости скутера и теплохода в стоячей воде; - скорость течения (единица скорости не имеет принципиального значения). Тогда по течению скутер и теплоход плывут соответственно со скоростями , , а против течения – со скоростями , соответственно. Из условия задачи следует, что выполняется следующая система уравнений . Первое уравнение приводится к виду ,  второе – к виду . Умножая первое равенство на , второе – на и складывая их, приходим к соотношению или . Заметим, что при  этом из первого уравнения , поэтому при положительном значении величины и тоже положительны, т. е. полученный ответ имеет смысл.

Ответ: в стоячей воде скорость скутера в раза больше скорости теплохода.

Пример 6. От пристани одновременно отправились вниз по течению реки катер и плот. Катер спустился вниз по течению на км, затем повернул обратно и вернулся в через часов.  Найти скорости катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии км от .

Решение. Пусть скорость катера в стоячей воде равна (км/ч),  (км/ч) – течения реки. Тогда (км/ч) – скорость катера при движении по течению, а против течения реки (км/ч). Тогда по течению реки катер шел часов, а против течения , так как на весь путь катер затратил часов, следовательно, или Плот преодолел расстояние км  за часа. К моменту встречи с плотом катер прошел км  по течению и км против течения за время , следовательно, или . Таким образом имеем систему уравнений .  Освобождаясь во втором уравнении от знаменателя, получаем, что . Подставляя в первое уравнение, получим ; затем .

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна км/ч, скорость течения реки равна  км/ч.

Задачи на совместную работу.

       В задачах на работу («совместный труд») используются следующие величины: время выполнения работы; «производительность» труда (т. е. объём работы, выполняемый за единицу времени, например, если речь идет о производительности станка, то это число деталей, изготавливаемое станком в единицу времени – в минуту, или час, или день и т. д.); объём работы.

       Задачи на работу во многом аналогичны задачам на движение. В самом деле, и в тех и в других задачах рассматриваются некоторые промежутки времени, «производительность» - это скорость выполнения той или иной работы, «объём произведенной работы»  - это своего рода «путь», проделанный в результате выполняемой работы. Поэтому в задачах на работу уравнения составляются из тех же соображений, что и в задачах на движение. Работа описывается формулой , где - «производительность» труда, - время работы, - объём выполненной работы.

       Задачи на трубы, из которых что-то льётся, есть так же задачи на работу. Здесь «производительность» трубы – это объём жидкости, протекающий через неё за единицу времени.

       В случаях если объём работы не задан и не является искомым, полезно весь объём работы принять за .

       Пример 7. Двое рабочих вместе выполнили некоторую работу за  часов. Первый из них, работая отдельно, мог выполнить всю работу на часов скорее, чем второй, работая один. За сколько часов каждый из них, работая один, может выполнить всю работу?

       Решение. Примем объём работы за . Пусть - часть работы, которую выполняет за час первый рабочий (производительность первого рабочего), - часть работы, которую за час выполняет второй рабочий (производительность второго рабочего). Общая производительность двух рабочих, работающих вместе, равна  . Так как они выполняют всю работу за часов, то .