В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы. Задачи эти включены в кодификаторы ЕГЭ и по химии, и по математике, причем в структуре экзаменационной работы считаются заданиями повышенного уровня сложности. Некоторые старшеклассники, увидев задачу на смеси, сплавы и растворы, сразу отказываются их решать. Их можно понять: темы 10—11 класса далеки от этих задач. В учебниках их мало, а в вариантах экзаменов они есть (стр. 1 )

В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы. Задачи эти включены в кодификаторы ЕГЭ и по химии, и по математике, причем в структуре экзаменационной работы считаются заданиями повышенного уровня сложности. Некоторые старшеклассники, увидев задачу на смеси, сплавы и растворы, сразу отказываются их решать. Их можно понять: темы 10–11 класса далеки от этих задач. В учебниках их мало, а в вариантах экзаменов они есть.

1.1.  Из истории становления понятия процента и задач на процентное содержание

Слово «процент» происходит от латинского procentum, что буквально означает «на сотню». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые зачастую составляли коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента.

Схема возникновения знака процента: Pro cento  → cento  → cto → c/o → %

В учебнике , , и «Математика 5», вышедшем в издательстве «Мнемозина» в 1996 г. в рубрике «История математики» дана еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV в. Однако уже в «Дигестах Юстиниана» (так называется первая дошедшая до нас кодификация римского права), датируемых V в., мы находим вполне современное употребление процентов. Разрыв во времени заставляет вспомнить современные теории о лишних веках в общепринятых хронологии. Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается, вероятно, с конца XVIII в. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтяховского (первое издание 1795 г.) и (первое издание 1802 г.). В обоих учебниках имеется по нескольку задач «на проценты по вкладу», но Е. Войтяховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как уже употребляет термин «процент». Привычка к употреблению процентов в сфере денежных отношений благоприятствовала быстрому их внедрению в развивающиеся технологии XIX в. Для удовлетворения возрастающих требований к точности исчисления малых долей вместо кванта 1% вводится квант 1/1000 — так называемое промилле. Промилле можно часто встретить на страницах книг по медицине и фармакологии.

  В числе текстовых задач особое внимание занимают задачи на смеси, растворы и сплавы, называемые еще задачами но процентное содержание или концентрацию, наличие в которых простых и процентных отношений зачастую побуждает относить их к разряду чисто арифметических и к задачам на составление уравнений. Вместе с тем такие задачи можно решать составлением уравнений или их систем по схеме, очень к той, что применяется в задачам на движение, работу  и другие.

Задачи на смеси и сплавы: основные понятия, структура, классификация

Задачи на смеси и сплавы имеют практическое значение, являются хорошим средством развития мышления учащихся. Они расширяют базовый курс математики и позволяют учащимся осознать практическую ценность математики. Задачи на растворы, смеси и сплавы обладают диагностической и прогностической ценностью, то есть с их помощью можно проверить знания основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, то есть лишний раз проверить и  оценить свои способности  к математике. При решении задач на растворы, смеси и сплавы очевидны межпредметные связи с химией, физикой и экономикой, знание этого повышает учебную мотивацию учащихся по всем предметам.

Прежде всего введем основные понятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т. д.).  Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Что есть «чистое вещество», определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом все остальные вещества, составляющие смесь, относят к примеси.

Решение задач на смеси, сплавы и растворы связано с использованием таких понятий как «концентрация» и «процентное содержание». Задачи на смешивание и плавление при кажущейся простоте не являются таковыми.

Долей (концентрацией, процентным содержанием) б основного вещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества  m в смеси к общей массе смеси M:

Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах. В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы

Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

а) все получающиеся смеси и сплавы однородны;

б) при слиянии двух растворов имеющих объемы V1 и V2, получается смесь, объем которой равен V1+ V2, т. е. V0= V1+ V2.

  Нужно заметить, что такое допущение не представляет собой закон физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при слиянии двух растворов не объем, а масса или вес смеси равняются сумме масс или весов, составляющих её компонент.

В задачах на смеси можно выделить несколько приемов, удобных для их решения:

• в некоторых задачах со смесями рассматриваются смесь двух веществ. При этом количество одного из веществ смеси изменяется, a другого остается постоянным. Обычно в условии сообщается доля, которую составляет в смеси меняющееся вещество. В таких задачах удобно пересчитывать сначала долю неизменного вещества и при составлении уравнения использовать неизменность количества этого вещества в процессе преобразования смеси. Часто такой метод называют методом «сухого остатка»;

• если в задаче идет речь о смешивании нескольких различных смесей, каждая из которых включает одни и те же вещества, то бывает удобно разделить исходные смеси на составляющие их вещества – компоненты и учитывать, что в итоговой смеси количества этих компонентов складываются из их количеств в исходных смесях;

• если со смесью двух веществ последовательно производят несколько действий, то бывает удобно отслеживать количество одного из веществ в смеси после каждого из совершаемых действий. Для такого отслеживания часто используют понятие концентрации вещества в смеси, то есть вычисляют объемную (массовую) долю данного вещества в смеси. Если рассмотреть смесь, состоящую из двух компонент A и В соответственно с объемами VА VВ, то концентрацией компоненты A называется отношение объема чистой компоненты VA в смеси ко всему объему смеси

Аналогично, 

Сумма концентраций, очевидно, равна СА+СВ=1

2.1 Основные способы решения задач на смеси, сплавы и растворы

Чтобы решить задачу, надо найти план её решения. Поиск плана решения составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда.

Рассмотрим основные этапы решения задач на смеси и сплавы:

  1. Выбор неизвестной (или неизвестных). В качестве неизвестных величин выбирают те. Которые требуется найти. Но иногда целесообразно обозначать неизвестными некоторые промежуточные величины, через которые легко выражаются искомые.

  2. Выбор чистого вещества. Из веществ, фигурирующих в условии задачи, выбирается одно в качестве чистого вещества. Чаще всего выбирают вещество, о котором идет речь в требовании задачи, или вещество, о доле которого в условии содержится больше всего информации. При этом, если в  - доля чистого вещества, то (1 - в ) - доля примеси.