ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА

по  дисциплине «Математика» для студентов I курса направления

09.03.03 – Прикладная информатика

2017-2018 уч. год, летняя сессия

Лектор: доц.

Утверждена на заседании кафедры Высшей математики 25.05.2018 г., протокол №9

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ


Определение неопределённого интеграла, его свойства, геометрический смысл. Таблица неопределённых интегралов. Методы нахождения неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе. Интегрирование неопределённых интегралов по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций. Разложение на простые дроби. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение определённого интеграла. Взаимосвязь неопределённого и определённого интегралов. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла. Вычисление объёмов тел вращения с помощью определённого интеграла. Вычисление длины дуги плоской кривой определённого интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теоремы об их сходимости. Несобственные интегралы от разрывных функций. Теоремы об их сходимости. Функция нескольких переменных, ее определение, линии уровня. Определение предела функции нескольких переменных по Коши. Свойства пределов. Определения непрерывности функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Правило нахождения частных производных. Полный дифференциал функции нескольких переменных, его определение. Применение полного дифференциала функций нескольких переменных для приближенных вычислений. Необходимый и достаточный признаки локального экстремума функции двух переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов. Двойные интегралы, их геометрический смысл, свойства. Вычисление двойных интегралов. Перестановка пределов интегрирования. Дифференциальные уравнения. Основные понятия. Нахождение уравнения по его решению. Дифференциальное уравнения первого порядка, его геометрический смысл. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и с однородными функциями. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли, его решение. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид общего решения однородного уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Числовые ряды, общие понятия, свойства. Необходимый признак сходимости. Признак сравнения знакоположительных рядов. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Радикальный признак Коши сходимости знакоположительных рядов. Интегральный признак Коши сходимости знакоположительных рядов. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Степенные ряды. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда. Необходимые и достаточные условия разложения функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в степенной ряд  Маклорена.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

1. Вычислить неопределённые интегралы:

2. Решить задачи:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры ограниченной графиком функции и осями координат.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Найти длину дуги параболы , отсекаемой от неё прямой .

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.

3. Найти экстремумы или условные экстремумы функций:

4. Решить дифференциальные уравнения или найти их частные решения:

.