Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств (стр. 2 )

Классическими средними значениями, составленными из двух положительных чисел, принято считать: среднее арифметическое и среднее геометрическое. Существует неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

Следствием этого неравенства является:

Доказать:

Решение:

Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим имеем, что . Однако, левая часть не может быть больше 2, следовательно

Второе равенство выполняется лишь при условии, что, подставляя в левую часть (1), получим. Таким образом, исходное уравнение не имеет решения.

Ответ: решений нет.

Найти наименьшее возможное значение многочлена:

Решение:

По неравенству имеем:

Значит, .

Из этого следует, что   при .

Доказать: , если

Доказательство:

Пусть - среднее арифметическое, а - среднее геометрическое.

Тогда , т. е.

Используя еще раз неравенство., получаем

что требовалось доказать.

Упражнения:

Доказать неравенство:

Доказать, что для любых положительных чисел и справедливо неравенство:

Доказать неравенство, что если - положительные числа, то

, причем знак равенства имеет место, только когда

.

Неравенство Коши – Буняковского и его следствия

Эти неравенства нашли широкое применение даже в векторной алгебре. Векторы могут быть успешно применены не только в геометрии, но и при изучении некоторых вопросов школьного курса алгебры, например, при решении некоторых систем уравнений. При этом решения существенно упрощаются по сравнению с решениями, выполненными традиционными методами. Используется векторное неравенство Коши – Буняковского:

и его следствия:    - (1)

    - (2)

Заметим, что знак «=» достигается в неравенстве (1), если векторы и коллинеарны; в неравенстве (2), если векторы    и    сонаправленные.

Решить:

Решение:

Воспользуемся неравенством Коши - Буняковского. Имеем

Значит, векторы и коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональные числа.

По следствию из теоремы Безу целые корни уравнения есть целые делители свободного члена, т. е. Проверка показывает, что x=1 - корень уравнения, тогда

или

Ответ:

Решить:

Решение:

Может показаться, что система имеет бесконечное множество решений, но это неверно. Данная система имеет единственное решение

Рассмотрим векторы:

и

Тогда - (1)

Т. к. и , то - (2)

Учитывая (1) и (2), имеем , , а с учётом того, что (по условию), получаем, что .

Ответ:

Олимпиадные задачи

Довольно часто «метод минимаксов» можно использовать при решении олимпиадных задач. Внешняя простота олимпиадных задач обманчива. Они затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. Для решения этих задач необходимо нестандартно мыслить.