Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств (стр. 1 )

МЕТОД МИНИМАКСОВ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Аннотация

Исследуя различные способы решения трансцендентных уравнений и неравенств, автор избирает наиболее универсальный метод, по её мнению, - метод минимаксов, классифицируя задания по их общим подходам к решению: использование экстремальных свойств функций, применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, неравенства Коши-Буняковского; а также выделяет ряд олимпиадных задач, к решению которых можно применить указанный метод. Работа может быть использована в качестве факультативного курса по математике.

Содержание:

Введение Основная часть Экстремальные свойства рассматриваемых функций Следствие из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим Неравенство Коши-Буняковского Олимпиадные задачи Заключение Список литературы

Цель:

Расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формированию определенной культуры работы над задачей.

Задачи:

Исследовать значимость «метода минимаксов» в решении уравнений и неравенств в школьном курсе математики для довузовской подготовки. Проанализировать различные подходы к решению уравнений и неравенств «методом минимаксов». Подготовиться к Единому Государственному Экзамену. Пропагандировать возможность изучения данной темы в школьном курсе математики.

Тема моей работы «Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств». Данный метод – возможность широко и осмысленно применять полученные на уроках алгебры знания. Меня привлекла активная работа мысли, направленная на поиск не просто правильного, а красивого решения, т. е. лаконичного, не стереотипного. А также участие в этом процессе творческого воображения и необходимость преодолевать трудности.

Знакомясь с «методом минимаксов», я прорешала много примеров и выделила 3 группы, классифицируя их по общим подходам к решению.

В задачах первого блока используются экстремальные свойства рассматриваемых функций. Во втором блоке - следствие из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Совершенно удивительным для меня было применение векторного неравенства Коши - Буняковского. С помощью «метода минимаксов» можно решить и некоторые задачи, которые встречаются на олимпиадах.

Все уравнения трансцендентные, т. е. содержат показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические функции от неизвестного. Они требуют нестандартного решения.

Экстремальные свойства рассматриваемых функций

В практике ЕГЭ по математике часто встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности показательных, тригонометрическим функций, обратных тригонометрических и других функций. Если при решении уравнения f(x)=g(x) удается показать, что для всех x из некоторого множества M справедливы неравенства f(x)≤A и g(x) ≥A, то на множестве M уравнение равносильно системе уравнений:

Решить:

Решение:

ОДЗ

Проверим,

5=5 – верное равенство, значит

Т. к.  - выпукла вниз, а – выпукла вверх, то их графики располагаются по разные стороны от общей касательной. Значит, уравнение имеет 1 корень.

Ответ: .

Решить: 

Решение:

ОДЗ

Ответ: решений нет.

Решить:

Решение:

– проверка показывает, что это корень уравнения

Ответ:

Решить:

Решение:

– проверка показывает, что оба корня удовлетворяют условию

Ответ: .

Решить:

Решение:

Функция возрастает, а функция  убывает, по свойству монотонности функции уравнение имеет не более одного корня. Методом подбора находим, что  - корень уравнения.

Ответ:

Решить:

Решение:

Сумма двух неотрицательных чисел равна 0, если каждое из этих чисел равно 0.

Ответ: .

Упражнения:

Следствия из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим