В случае если процедура в качестве выбора определяет больше чем одну альтернативу, возможны два правила разрешения ситуации равенства голосов:
- решением становится альтернатива первая по алфавиту; директор №1 является председателем совета директоров и ему принадлежит право финального выбора.
Если возникают подобные ситуации, необходимо применить оба правила.
Часть II. Темы 6-7
Дано: Требуется принять решение о проценте распределяемой прибыли. Решение принимает совет директоров, состоящий из N членов. У каждого директора i есть наиболее предпочтительная альтернатива xi. Полезность любой другой альтернативы y для данного избирателя зависит только от расстояния d(xi, y)=|xi-y| и монотонно убывает с ростом d. Т. о. из двух альтернатив y и z данный директор выбирает ту, которая ближе к xi: d(xi, y)<d(xi, z) ⇒ директор выбирает y. Решение принимается простым большинством голосов. Каждый из директоров в любой момент обсуждения имеет право предлагать любое значение процента. Количество раундов голосования неограничено.
Определить величину процента, которая станет итоговым решением, если
N=9, x1=0.14, x2=0.93, x3=0.85, x4=0.51, x5=0.47, x6=0.45, x7=0.32, x8=0.20, x9=0.20.
N=7, x1=0.64, x2=0.39, x3=0.58, x4=0.11, x5=0.45, x6=0.45, x7=0.22.
N=8, x1=0.14, x2=0.93, x3=0.85, x4=0.51, x5=0.47, x6=0.45, x7=0.32, x8=0.20.
Дано: Требуется принять решение о процентной ставке подоходного налога. Генеральная совокупность альтернатив A однозначно соответствует точкам отрезка [0; 1]. На множестве альтернатив определена функция расстояния d(x, y)=|x-y|.
У каждого избирателя i есть наиболее предпочтительная альтернатива xi, называющаяся идеальной точкой. Полезность любой другой альтернативы y для данного избирателя зависит только от расстояния d(xi, y) до этой альтернативы от идеальной точки и монотонно убывает с ростом расстояния. Т. о. из двух альтернатив y и z данный избиратель выбирает ту, которая ближе к его идеальной точке: d(xi, y)<d(xi, z) ⇒ избиратель выбирает y.
Избирателей так много, что распределение их идеальных точек на отрезке [0, 1] может быть описано непрерывной функцией плотности распределения r(x). Функция плотности неотрицательна и нормирована на единицу. Таким образом, площадь, ограниченная графиком функции y=r(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс равна доле тех избирателей, чьи идеальные точки принадлежат отрезку [a, b].
Решение принимается простым большинством голосов. В голосовании принимают участи все избиратели.
Требуется: Для всех приведенных ниже (см. приложение) распределений предпочтений избирателей определить
Две партии вступают в конкуренцию за голоса избирателей данного одномандатного округа. Избиратели голосуют за предлагаемую партией программу, которая выбирается из множества альтернатив А. Каждая из партий заинтересована только в электоральном успехе, поэтому чтобы победить они готовы выдвигать любую программу. Победу дает относительное большинство голосов. Для всех приведенных распределений предпочтений определить, какие политические программы будут выдвинуты (указать точки).
Дано: Множество альтернатив A={a, b, c, d, e, f}. Комитет, состоящий из N депутатов, должен принять решение. Отношение доминирования имеет вид: a→b, a→c, a→d, a→e, a→f, b→c, b→e, b→f, c→d, c→e, c→f, d→b, d→e, d→f, e→f. Решение принимается большинством голосов. Право ставить предложения на голосование принадлежит только председателю, индивидуальные предпочтения которого имеют вид f>e>c>a>b>d.
Требуется: определить, какое решение будет принято.
Часть II. Тема 8
Дано: Две партии обсуждают выдвижение общего кандидата на предстоящих выборах. Есть 6 вопросов, по которым им нужно прийти к компромиссу. Все рассматриваемые ресурсы (пункты) абсолютно делимы. Важность этих пунктов для сторон представлена в таблицах:
№1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Партия А | 10 | 20 | 35 | 15 | 10 | 10 |
Партия B | 25 | 15 | 30 | 5 | 5 | 20 |
№2 | ||||||
Партия А | 40 | 15 | 20 | 5 | 10 | 10 |
Партия B | 30 | 15 | 5 | 20 | 10 | 20 |
№3 | ||||||
Партия А | 5 | 20 | 25 | 20 | 15 | 15 |
Партия B | 10 | 5 | 30 | 15 | 20 | 20 |
Требуется: Построить результирующий компромисс, обладающий свойствами эффективности, пропорциональности и равноценности. Ответ представить в виде таблицы:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Партия А | |||||
Партия B |
Часть II. Тема 9
Дано: игра с платежной матрицей
5/9 | 6/4 |
0/8 | 2/7 |
игра с платежной матрицей
3/3 | 6/0 |
0/1 | 1/2 |
игра с платежной матрицей
3/8 | 8/3 |
8/3 | 3/8 |
игра с платежной матрицей
0/0 | 1/4 |
4/1 | 0/0 |
Требуется:
1. найти равновесия Нэша; 2. найти Парето-оптимальные наборы стратегий, 3. вычислить наборы стратегий, являющиеся результатом выбора в соответствии с правилом максимин, Наборы стратегий обозначаются номером строки и столбца: (1; 1), (1; 2), (2, 1); (2; 2).
Дано: игра с платежной матрицей
3/2 | 0/0 | "battle of sexes" |
0/0 | 3/2 |
игра с платежной матрицей
3/3 | 0/0 | "coordination game" |
0/0 | 2/2 |
игра с платежной матрицей
3/3 | 0/4 | "prisoners' dilemma" |
4/0 | 1/1 |
игра с платежной матрицей
3/3 | 1/4 | "dove-hawk" |
4/1 | 0/0 |
Требуется: найти равновесие Нэша в смешанных стратегиях.
Образец варианта контрольной работы (часть I)
Задача 1. Дано: Множество альтернатив A={a, b, c, d, e}. Комитет, состоящий из 12 депутатов, должен принять решение. Профиль предпочтений изображен в виде таблицы, в которой столбцы соответствуют группам депутатов с одинаковыми предпочтениями.
Требуется: Построить коллективное ранжирование с помощью А) процедуры Блэка и Б) практического правила Кондорсе.
3 деп. | 2 деп. | 1 деп. | 4 деп. | 2 деп. |
c | b | d | d | e |
e | c | a | b | a |
d | a | e | e | c |
b | d | b | a | d |
a | e | c | c | b |
Задача 2. Дано: Голосование по партийным спискам. Голоса, отданные за партийные списки по многомандатному округу, распределились следующим образом (в тысячах голосов): A - 90, B - 62, C - 55, D -38, E – 15.
Требуется: Распределить 6 мест между партиями методом Сент-Лаге
Порог составляет 7%.
Задача 3. Для полученного в Задаче 2 распределения рассчитать эффективное число партий E=
и индекс Грофмана IG=
, пояснить смысл этих индексов.
Задача 4. Дано: Голосование по партийным спискам. Места в парламенте между четырьмя партиями распределились следующим образом: A - 30, B - 43, C – 15, D – 10.
Требуется: Для каждой партии рассчитать индекс влияния Банцафа
Образец варианта зачетной контрольной работы (часть II)
Задача 1. Дано: парламенту требуется принять решение о процентной ставке подоходного налога. У каждого депутата есть одна наиболее предпочтительная альтернатива (идеальная точка). Полезность любой другой альтернативы для данного депутата зависит только от расстояния до этой альтернативы от идеальной точки и монотонно убывает с ростом расстояния. Распределение идеальных точек депутатов описывается непрерывной функцией плотности распределения r(x) с медианой m=0.33. Решение принимается простым большинством голосов. В голосовании принимают участие все депутаты. Право ставить предложения на голосование принадлежит только председателю, для которого наиболее предпочтительным является 30-процентный налог. В момент принятия решения законом установлен подоходный налог в размере 25%.
Требуется: определить значение процента налога, которое будет установлено итоговым решением.
Задача 2. Дано: Множество альтернатив A={a, b, v, w, x, y, z}. Комитет, состоящий из N депутатов должен принять наилучшее решение. Предпочтения коллектива представлены орграфом на рис. 1.
| Требуется: найти победителя Кондорсе; вычислить максимальный цикл TC; вычислить непокрытое множество UC; вычислить объединение минимальных слабоустойчивых множеств MWS. |
Рис. 1Задача 3. Дано: Множество альтернатив A={a, b, v, w, x, y, z}. Комитет, состоящий из N депутатов, должен принять решение. Предпочтения коллектива представлены орграфом на рис. 1. Решение принимается большинством голосов. Статусом кво является альтернатива a. Право ставить предложения на голосование принадлежит только председателю, индивидуальные предпочтения которого имеют вид v>w>y>b>z>a>x.
Требуется: определить, какое решение станет итоговым.
Задача 4. Дано: Две партии обсуждают выдвижение общего кандидата на предстоящих выборах. Есть 6 вопросов, по которым им нужно прийти к компромиссу. Все рассматриваемые ресурсы (пункты) абсолютно делимы. Важность этих пунктов для сторон представлена в таблице:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
Партия А | 15 | 20 | 35 | 10 | 10 | 10 |
Партия B | 5 | 15 | 30 | 20 | 25 | 5 |
Требуется: Построить результирующий компромисс, обладающий свойствами эффективности, пропорциональности и равноценности. Ответ представить в виде таблицы:
Задача 5. Дано: игра с платежной матрицей
1 | 2 | 3 | |
1 | 0/12 | 8/2 | 7/3 |
2 | 8/1 | 4/8 | 3/7 |
3 | 9/4 | 3/5 | 3/3 |
Требуется: 1. найти равновесия Нэша; 2. найти Парето-оптимальные наборы стратегий; 3. вычислить наборы стратегий, являющиеся результатом выбора в соответствии с правилом максимин.
Задача 6 (дополнительная, зачитывается только при условии правильного ответа и безошибочного решения). Дано: игра с платежной матрицей
1 | 2 | |
1 | 3/3 | 1/4 |
2 | 4/1 | 0/0 |
Требуется: найти равновесие Нэша в смешанных стратегиях.
Разработчики:
кафедра высшей математики
на факультете экономики ГУ-ВШЭ, профессор, д. т.н.,
кафедра высшей математики
на факультете экономики ГУ-ВШЭ, доцент, к. полит. н.,
кафедра высшей математики
на факультете экономики ГУ-ВШЭ, доцент, к. ф.-м. н.,
Эксперты:
____________________ ___________________ _________________________
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
____________________ ___________________ _________________________
(место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
