Логический анализ языка . ЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЯЗЫКА (стр. 4 )

К числу предицирующих связок относятся такие слова и словосочетания, как «есть» (синонимы – «является», знак «тире», во множественном числе употребляется слово «суть») и «не есть». Первая связка называется утверждающей, вторая – отрицающей.

Операторы в свою очередь делятся на кванторы и дескрипторы. К числу кванторов относятся квантор общности, представленный в естественном языке следующими синонимичными словами – «Всякий», «Каждый», «Любой», «Ни один», «Все» и др., и квантор существования, представленный словами «Некоторый», «Существует», «Большинство», «Какой-нибудь» и др. Кванторы обозначаются знаками: ∀ –  квантор общности и ∃ – квантор существования.

К числу дескрипторов относятся: оператор определенной дескрипции, обозначаемый знаком ι,  (от лат. дескрипция – описание) – «тот самый единственный предмет, который…»; оператор неопределенной дескрипции – «этот (данный) предмет, который…», обозначаемый знаком ε; оператор множественности – «множество предметов таких, что…», обозначаемый знаком W; оператор абстракции – «признак (функция) такой (такая), что…», обозначается знаком л. Существуют и другие кванторы и дескрипторы, но для целей нашего курса, введенных выше операторов пока достаточно.

К числу пропозициональных (логических) связок относят такие слова и словосочетания естественного языка, как «и» (в логике символизируется знаком & и называется конъюнкция; синонимами являются «а», «но» и др.), «если…, то» (символизируется знаком ⊃ и называется материальная импликация), «или» (символизируется знаком ∨ и называется дизъюнкция; синонимично используется слово «либо» и др.), «если и только если» (символизируется знаком ≡ и называется материальная эквиваленция; синонимично употребляются словосочетания «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно»), «неверно, что» (символизируется знаком ¬ и называется отрицание; синонимом иногда является частица «не») и др.

Логический анализ имен и предложений

Прежде чем перейти к конкретному рассмотрению имен и предложений нам для понимания дальнейшего необходимо рассмотреть еще некоторые важные типы языковых выражений. Итак, среди последних выделяют постоянные (константы), переменные и параметры.

Константы – знаки, значение которых не меняется при переходе от одного контекста их употребления к другим.

Параметры – знаки, имеющие одно и то же значение внутри некоторого контекста их использования, хотя при переходе к другому контексту их значения могут меняться.

Переменные – знаки, значение которых изменяется внутри одного и того же контекста.

Поясним сказанное на примере выражения «2х2 + ах + b > 0». Здесь цифры «2» и «0» – это константы языка. В данном и любом другом алгебраическом выражении они всегда обозначают одно и то же – число 2 и число 0. Другое дело выражения «а» и «b». Каждый раз при решении указанного неравенства их значения фиксируются и, пока мы находимся в контексте данного решения, они не меняются. Конечно, мы можем выбрать другие значения для этих символов, но это будет означать, что мы перешли в новый контекст. Строго говоря, параметры – это константы, но взятые в специфическом их языковом использовании.

Совершенно иначе ведет себя знак «х». Даже если мы выберем вполне определенные значения для параметров «а» и «b» и тем самым попадем в некоторую контекстную ситуацию, значения для «х» все равно будут изменяться. Вообще, переменная – это знак, который принимает различные значения. Способность варьировать свои значения является главной и определяющей для переменных. Если некоторый знак в силу тех или иных обстоятельств теряет данную способность, то он перестает быть подлинной переменной.

Итак, переменная принимает разные значения, т. е. обозначает разные предметы. Но какие именно предметы она может обозначать? Чтобы знать это, с каждой переменной в обязательном порядке связывается некоторый класс предметов – область возможных значений переменной. Про переменную говорят, что она «пробегает» по данной области и при этом последовательно один за другим обозначает различные предметы, входящие в данную область. Переменная без указания области ее значений не есть переменная.

Переменные в логике можно вводить для всех указанных выше семантических категорий – имен, предикаторов, функторов, логических терминов и предложений. Однако первоначально мы ниже введем их только для имен и предложений. В соответствующих главах учебника по мере необходимости будут введены переменные и по другим семантическим категориям за исключением логических терминов. Последние на протяжении всего учебника будут рассматриваться только как константы, в силу чего логические термины часто так и называют – логическими константами  (логическими постоянными).

1. x, y, z, x1, y1, z1, x2 и т. д. – индивидные переменные (вместо них можно подставлять конкретные имена предметов (индивидов) из некоторой выбранной области возможных значений этих переменных),

2. p, q, r, s, p1, q1, r1, s1, p2 и т. д. – пропозициональные переменные  (вместо них разрешается подставлять конкретные предложения (пропозиции)).

Считается, что индивидные переменные относятся к семантической категории имен. Их можно рассматривать как некоторые неопределенные имена, т. е. имена, которые имеют неопределенное значение. В свою очередь пропозициональные переменные относятся к семантической категории предложений, а именно: их можно трактовать как неопределенные предложения.

Далее, в логике все осмысленные выражения языка делятся синтаксически на простые (примитивные, исходные, элементарные) и сложные (производные).

Выражение некоторого типа называется простым, если в его составе нет частей, которые могут рассматриваются как самостоятельные выражения того же самого типа.

Выражение некоторого типа называется сложным, если в его составе имеются такие части, которые могут рассматриваться как самостоятельные выражения этого же типа.

Вопрос о том, что следует считать простым выражением, зависит от глубины нашего анализа языка. Так, если мы не интересуемся внутренней структурой выражения «Александр Сергеевич Пушкин», то можем считать его простым. Если же по каким-либо причинам мы интересуемся составными частями этой лингвистической конструкции, то данное имя можно трактовать как сложное – «тот самый единственный человек, который имеет родовое имя “Пушкин”, собственное имя “Александр” и является сыном человека по имени “Сергей”».

Важность выделения простых выражений состоит в том, что в языке все другие выражения строятся из простых (элементарных, примитивных) составляющих. К числу последних относятся собственные имена, индивидные переменные, предметные функторы, предикаторы, пропозициональные переменные и логические термины. Именно из них, как из исходных элементарных кирпичиков, порождаются различного типа сложные языковые конструкции. И в первую очередь такие конструкции, как имена и предложения.

Именные и высказывательные формы.

Для правильного понимания дальнейшего материала оказываются существенными понятия именной и высказывательной формы. Собственно говоря, любая именная или высказывательная конструкция является, соответственно, либо именной, либо высказывательной формой (понятие формы рассматривалось в главе I). При этом сами формы бывают двух видов – замкнутыми (насыщенными) и незамкнутыми  (ненасыщенными). Незамкнутые выражения – это формы, в состав которых (говоря несколько нестрого) входят переменные.

Незамкнутые именные формы – это либо сами индивидные переменные, либо выражения, образуемые за счет сочленения (конкатенации) индивидных переменных с предметными функторами. Из незамкнутой именной формы, содержащей индивидные переменные, можно получить конкретное имя, если заменить все индивидные переменные, входящие в исходную именную форму, собственными именами. Например, выражение «х + у» – это не имя, а двухместная, т. е. с двумя различными переменными, ненасыщенная именная форма. Она называется именной потому, что из нее, замещая переменные конкретными именами, можно получать некоторые конкретные имена. Так, заменив переменную у именем «6», получим выражение «х + 6», которое все еще остается ненасыщенной именной формой. Теперь, правда, уже одноместной именной формой. Заменяя в последней единственную переменную х, скажем, именем «4», получим выражение «4 + 6», которое будет уже конкретным именем – сложным именем числа 10. Последнее выражение тоже именная форма, но форма замкнутая (насыщенная), нульместная, т. е. форма, которая не содержит уже переменных. Их число равно 0. Индивидная переменная х – это одноместная ненасыщенная именная форма. Подставляя в нее вместо переменной х, скажем, имя «Петр», получим нульместное (насыщенное) выражение – «Петр».

Аналогично, выражение «х > у» не является предложением. Это всего лишь ненасыщенная двухместная высказывательная форма. Она называется так потому, что содержит две различные индивидные переменные, при замене которых конкретными именами мы получаем либо истинное, либо ложное высказывание. Так, подставляя в это выражение вместо индивидных переменных х и у, соответственно, имена «5» и «8», получаем конкретное ложное предложение «5 > 8», которое тоже является высказывательной формой, но теперь уже замкнутой (насыщенной) нульместной формой. С другой стороны, выражение «¬p» – одноместная ненасыщенная высказывательная форма. Заменяя в ней пропозициональную переменную «р» ложным предложением, скажем «Москва является морем», получим истинное предложение «Неверно, что Москва является морем». Выражение «х является человеком» – это одноместная ненасыщенная высказывательная форма. Подставляя вместо индивидной переменной х различные имена, будем получать либо истинные, либо ложные предложения. Например, «Петр является человеком» – истинное предложение, а «Жучка является человеком» – ложное предложение и т. д. Эти примеры показывают, что (строго говоря) к числу имен мы должны относить только нульместные (насыщенные, замкнутые) именные формы, а к числу предложений следует относить только нульместные (насыщенные, замкнутые) высказывательные формы.