Построение нелинейных сглаживающих кривых 3.3.1 Экспоненциальная зависимость (стр. 2 )

Для каждой функции рассчитывается средняя точка. Все эти точки наносятся на график с экспериментальной кривой.

Выбирается та кривая, средняя точка которой находится ближе всего к экспериментальной кривой.

Покажем, как решается эта часть задачи на конкретном примере.

Пример 3.2.Зависимость давления насыщенного пара бензола от температуры выражается следующими экспериментальными данными:

T, K	270,5	280,8	288,6	299,2	315,4	333,8	353,2
p*10-5, Па	0,0267	0,0533	0,0800	0,1333	0,2667	0,5333	1,0133

Методом средних точек определить вид зависимости. Параметры выбранной зависимости подобрать методом наименьших квадратов.

Решение.

Для уменьшения вычислительной погрешности сделаем преобразование

	0,705	0,808	0,886	0,992	1,154	1,338	1,532
p*10-5, Па	0,0267	0,0533	0,0800	0,1333	0,2667	0,5333	1,0133

Тогда

xap=(0,705 +1,532)/2=  1,1185

xgео=(0,705*1,532)^0.5 = 1,0392594

xgar=2*0,705*1,532/(0,705+1,532)= 0,9656325

yap=(0,0267+1,0133)/2= 0,52

ygeo =(0,0267*1,0133)^0.5= 0,1644844

ygar =2*0,0267*1,0133/(0,0267+1,0133)= 0,0520291

Средняя точка для первой кривой –(1,0392594; 0,1644844)

Средняя точка для второй кривой –(1,1185; 0,1644844)

Средняя точка для третьей кривой –(1,1185; 0,0520291)

Средняя точка для четвертой кривой –(1,0392594; 0,52)

Средняя точка для пятой кривой –(0,9656325; 0,52)

Средняя точка для шестой кривой –(0,9656325; 0,0520291)

Нанесем на график исходные данные (х и у) и соединим соседние точки отрезками прямых. На этот же график нанесем средние точки для каждой кривой, снабдив их соответствующими номерами.

Рис. 3.7. Выбор вида зависимости методом средних точек

Из графика видно, что ближе всего к экспериментальной кривой лежит точка с номером 1, поэтому таблично заданную функцию будем заменять первой кривой (см. таблицу 3.1).

Эту же часть задачи можно решить на Scilab.

clc

clf()

x=[0.705 0.808 0.886 0.992 1.154 1.338 1.532];

y=[0.0267 0.0533 0.0800        0.1333 0.2667 0.5333 1.0133];

n=length(x);

xap=(x(1)+x(n))/2

xgar=2*x(1)*x(n)/(x(1)+x(n))

xgeo=(x(1)*x(n))^.5

yap=(y(1)+y(n))/2

ygar=2*y(1)*y(n)/(y(1)+y(n))

ygeo=(y(1)*y(n))^.5

t=[xgeo xap xap xgeo xgar xgar]

z=[ygeo ygeo ygar yap yap ygar]

plot(x, y)

plot(t, z,'*')

for i=1:6

xnumb(t(i),z(i),i)

end

Приведем полученную кривую к линейному виду.

Кривую (как и любую другую из таблицы 3.1) приводят к линейному виду (то есть к виду ) заменой переменных. В нашем случае можно прологарифмировать обе части искомого уравнения:. Сделаем замену g=lny, c0=lna, c1=b, t=lnx.

Коэффициенты (параметры) с0 и с1 находят методом наименьших квадратов, то есть добиваются того, чтобы было минимальным. Эта задача сводится к решению системы нормальных уравнений:

Или

Составим таблицу:

T	x	yi	lnyi	lnxi	lnxilnyi	ln2 xi
270,5	0,705	0,0267	-3,6231	-0,3496	1,2665	0,1222
280,8	0,808	0,0533	-2,9318	-0,2132	0,6250	0,0455
288,6	0,886	0,08	-2,5257	-0,1210	0,3057	0,0147
299,2	0,992	0,1333	-2,0152	-0,0080	0,0162	0,0001
315,4	1,154	0,2667	-1,3216	0,1432	-0,1893	0,0205
333,8	1,338	0,5333	-0,6287	0,2912	-0,1831	0,0848
353,2	1,532	1,0133	0,0132	0,4266	0,0056	0,1820
Суммы	-13,0329	0,1692	1,8467	0,4696

В нашем примере получается система уравнений:

Решая ее (например, в Scilab), получаем с0=- 1,9740;  с1= 4,6395. Зная с0 и с1 , находят a и b. В нашем примере

Таким образом, мы заменили таблично заданную функцию кривой  .

Подставляя в полученную формулу с конкретными значениями a и b значения x0, x1, … , xm и сравнивая их с исходными данными, делают выводы об адекватности математической модели. В нашем примере:

T	y		(y-p)2
270,5	0,0267	0,0274	5,5E-07
280,8	0,0533	0,0517	2,7E-06
288,6	0,08	0,0792	6,1E-07
299,2	0,1333	0,1338	2,7E-07
315,4	0,2667	0,2700	1,1E-05
333,8	0,5333	0,5363	8,9E-06
353,2	1,0133	1,0051	6,7E-05
Сумма	9,1E-05

Сумма площадей квадратов отклонений равна  0,000091 (последний столбец таблицы). Ниже  приведен график полученной кривой.

Проведем более строгое исследование на адекватность.

T	y		(y-p)2	(y-ycp)2
270,5	0,0267	0,0274	5,5E-07	0,0752
280,8	0,0533	0,0517	2,7E-06	0,0613
288,6	0,08	0,0792	6,1E-07	0,0488
299,2	0,1333	0,1338	2,7E-07	0,0281
315,4	0,2667	0,2700	1,1E-05	0,0012
333,8	0,5333	0,5363	8,9E-06	0,0540
353,2	1,0133	1,0051	6,7E-05	0,5075
Сумма	9,1E-05	0,7761
ycp	0,300943	R2	0,9999

Проверим гипотезу об адекватности полученной сглаживающей кривой исходным данным по критерию Фишера при уровне значимости б=0,05.

Для этого вычислим статистику

Здесь R2 – коэффициент детерминации.  Fкр= 6,607891

Так как Fвыб>Fкр, делаем вывод о том, что полученное уравнение экспоненциальной регрессии  статистически значимо описывает результаты эксперимента.

В общем случае поиск неизвестных коэффициентов регрессионной модели  сводится к решению системы нелинейных уравнений. Далеко не всегда легко решить такую систему. Применение специальных функций различных систем компьютерной математики (таких, как, например, функция  datafit в Scilab)  также не всегда дает правильное решение. Но попытаться  стоит.

3.3.3. Гиперболическое уравнение регрессии

В примере для лабораторной работы 4 вид выборочной линии регреcсии (рис. 3.6 ) дает основание искать уравнение регрессии в виде