Построение нелинейных сглаживающих кривых 3.3.1 Экспоненциальная зависимость (стр. 3 )

.

Система нормальных уравнений (3.15) перепишется в виде:

Для нахождения коэффициентов системы уравнений воспользуемся таблицей, полученный в Excel:

	0,2	0,1		0,05	0,04
10	0	0	0	1	4	5	50
11	0	3	6	4	1	14	154
12	1	3	2	0	1	7	84
13	3	0	1	0	0	4	52
	4	6	9	5	6	30	340
	0,8	0,6	0,6	0,25	0,24	2,49	У
	0,16	0,06	0,04		0,0096	0,2821
	10,2	6,9	6,8667	2,7	2,52	29,1867

Здесь

В итоге получаем систему уравнений

Решая ее с помощью надстройки Excel Поиск решения, получаем

a	b
10,269653	12,81542723
Правая часть	Левая часть
340	340
29,186668	29,186667

       Таким образом, искомое уравнение

Подсчитаем выборочный коэффициент детерминации:

Все расчеты проведены в Excel

xj	5	10	15	20	25
f(xj)	12,8327	11,5512	11,1240	10,9104	10,7823
wj	4	6	9	5	6
	8,9929	0,2848	0,3943	0,8943	1,8220
	12,3883

(см. с. 46)

Тогда  .

То есть по этому показателю гиперболическое уравнение несколько лучше линейного. И оно, по существу, такое же простое, как и линейное.

Таким образом, и гиперболическое сглаживающее уравнение регрессии  объясняет примерно 50% всей вариации зависимой величины Y.

Покажем, что полученное уравнение адекватно выборочным данным.

Найдем Qповти Qадекв

xj	5	10	15	20	25
	12,833	11,551	11,124	10,910	10,782
	12,75	11,5	11,444	10,8	10,5
	4	6	9	5	6
	0,0274	0,0157	0,9241	0,0610	0,4781	1,506

Здесь . Числа в таблице округлены до трех знаков после запятой.

В соответствии  с (3.12) поскольку объем выборки n=30, число оцениваемых параметров q=2 (a и  b), число различных значений, принимаемых переменой  xk=5,

В соответствии с (3.13)

fкр=2,991241.

Поскольку fвыб<fкрделаем вывод об адекватности модели выборочным данным.

Заменив в приведенной выше программе уравнение прямой на уравнение полученной гиперболы, получим:

spovt=0.4308889,sadecv=0.5020704,fvib  = 1.1651968,fcrit =2.9912409.

Напоминаем, что в программе 

Проверим справедливость формулы (3.11).

Для этого подсчитаем Qпо формуле (3.8):

. Составим матрицу, элементами которой являются слагаемые :

0	0	0	0,828873	2,447786
0	0,91145	0,092278	0,032095	0,047406
0,693453	0,604276	1,5347	0	1,482866
0,083929	0	3,51932	0	0

.Qповт + Qадекв=1,506211+10,77222=12,27843

3.3.4. Уравнение квадратичной модели

Теперь найдем уравнение регрессии квадратичной моделив виде

Запишем систему нормальных уравнений для поиска неизвестных коэффициентов

;

.

Решение системы в Excel:

с0	с1	с2
13,42643776	-0,187097832	0,00285633
Левая часть	Правая часть
340,000001	340
5145	5145
92325	92325

Таким образом,

Подсчитаем выборочный коэффициент детерминации:

Все расчеты проведены в Excel