Построение нелинейных сглаживающих кривых 3.3.1 Экспоненциальная зависимость (стр. 4 )

xj	5	10	15	20	25
f(xj)	12,5624	11,8411	11,2626	10,8270	10,5342
wj	4	6	9	5	6
	6,0420	1,5469	0,0450	1,2818	3,8317
	12,7474

Тогда 

Таким образом, полученное сглаживающее уравнение регрессии  объясняет примерно 52% всей вариации зависимой величины Y.

То есть по этому показателю полученное уравнение несколько лучше и линейного, и гиперболического.

Покажем, что полученное уравнение адекватно выборочным данным.

Найдем Qповти Qадекв

xj	5	10	15	20	25
	12,562	11,841	11,263	10,827	10,534
	12,75	11,5	11,444	10,8	10,5
	4	6	9	5	6
	0,1408	0,6981	0,2975	0,0036	0,0070	1,147

Здесь Числа в таблице округлены.

В соответствии  с (3.12) поскольку объем выборки n=30, число оцениваемых параметров q=3 (с0, с1 и  с2), число различных значений, принимаемых переменой  x, k=5

В соответствии с (3.13)

Критическое значение fкр=fкр(б, k-q, n-k) найдем с помощью статистической функции F. ОБР. ПХ (Microsoft Excel 2010, 2016), параметрами которой являются уровень значимости б, число степеней свободы числителя k-q=2 и знаменателя n-k=25. При выбранном уровне значимости б=0,05 fкр=3,38519.

Поскольку fвыб<fкрделаем вывод об адекватности модели выборочным данным.

В общем, все сглаживающие выборочные уравнения регрессии – параболическое, гиперболическое и линейное адекватны выборочным данным.

3.3.5  Определение силы криволинейной связи

В случае наличия линейной или нелинейной зависимости между двумя признакамиX и Y для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение и индекс корреляции.

При отклонении парной статистической зависимости от линейной коэффициент корреляции теряет свой смысл как характеристика тесноты связи. В этом случае можно воспользоваться таким измерителем связи, как индекс корреляции (корреляционное отношение). Корреляционное отношение применяется в случае нелинейной зависимости между признаками и определяется через отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии.

Для определения эмпирического корреляционного отношения совокупность значений результативного признака Y разбивают на отдельные группы. В основу группировки кладется исследуемый фактор Х. Когда изучаемая совокупность (в виде корреляционной таблицы) разбивается на группы по одному (факторному) признаку Х, то для каждой из этих групп можно вычислить соответствующие групповые средние результативного признака. Изменение групповых средних от группы к группе свидетельствует о наличии связи результативного признака с факторным признаком, а примерное равенство групповых средних – об отсутствии связи. Следовательно, чем большую роль в общем изменении результативного признака играет изменение групповых средних (за счет влияния факторного признака), тем сильнее влияние этого признака.

Методика вычисления корреляционного отношения:

Пусть группирование данных произведено, при этом k – число различныхзначений,  принимаемых признаком Х; m–количество различных значений, принимаемых результативным признаком Y, nijчастота появления пары (xi, yj)

X Y			…
			…
…	…	…	…	…

В этой таблице - частота признака xj, - частота признака yi, - объем выборки. 

Вычисляют среднее значение Y в j-ой группе (интервале группирования):

               (3.24)

для каждого выборочного значения Х.

Вычисляют общую среднюю Y:

                               (3.25)

Определяют межгрупповую дисперсию (дисперсия групповых средних или факторная дисперсия — дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние фактора X на вариацию Y)

                       (3.26)

и общую дисперсию:

                               (3.27)

Рассчитывают корреляционное отношение з зависимой переменной Y по независимой переменной Х:

                               (3.28)

Аналогично определяется корреляционное отношение зxy:

                               (3.29)

Величина корреляционного отношения изменяется от 0 до 1. Близость ее к нулю говорит об отсутствии связи, близость к единице – о тесноте связи.

Оценка связи на основе теоретического корреляционного отношения (шкала Чеддока):

Значение	Характер связи		Значение	Характер связи
з = 0	Отсутствует		0,5 ≤ з < 0,7	Заметная
0 < з < 0,2	Очень слабая		0,7 ≤ з < 0,9	Сильная
0,2 ≤ з < 0,3	Слабая		0,9 ≤ з < 1	Весьма сильная
0,3 ≤ з < 0,5	Умеренная		з = 1	Функциональная

Для линейной зависимости теоретическое корреляционное отношение тождественно линейному коэффициенту корреляции, т. е. з = |r|.

Если по коэффициенту корреляции rможно судить о наличии и тесноте линейной корреляционной связи между признакамиX и  Y, то по корреляционным отношениям можно судить только о наличии и силе корреляционной связи между признаками X и  Y, но не о форме связи [5].

Пример  3.3. Найти корреляционное отношение зyxдля примера из лабораторной работы 4.

Воспользуемся полученными в нем результатами.

Исходные данные:

xj yi	5	10	15	20	25
10	0	0	0	1	4	5
11	0	3	6	4	1	14
12	1	3	2	0	1	7
13	3	0	1	0	0	4
	4	6	9	5	6	30

Средние значенияY в j-ой группе

	5	10	15	20	25
	12,75	11,5	11,44444	10,8	10,5

Среднее значение Y:

Данные для посчета межгрупповой дисперсии:

8,02778

0,16667

0,11111

1,42222

4,16667

Данные для подсчета общей дисперсии

yi	10	11	12	13
pi	5	14	7	4
	8,88888889	1,555556	3,11111	11,11111
	24,66667

В итоге

Теснота связи между признаками X и  Yможет быть измерена с помощью индекса корреляции. Если данные не сгруппированы в корреляционную таблицу, то индекс корреляции

                               (3.30)

Здесь- среднее значение квадрата разности между экспериментальными данными и значениями, полученными по регрессионной модели; - средний квадрат отклонений фактических значений от среднего значения.

Индекс корреляции лежит в пределах от 0 до 1.По нему, как правило, можно оценить тесноту связи между признаками Xи Y.