Построение нелинейных сглаживающих кривых 3.3.1 Экспоненциальная зависимость (стр. 1 )

3.3. Построение нелинейных сглаживающих кривых

3.3.1 Экспоненциальная зависимость

Покажем, как построить модель в случае, когда уравнение регрессии не является линейным.

Пример 3.1.В таблице приведены данные по конверсии пропана в зависимости от времени работы катализатора.

t, час	5	10	15	20	25	30
	66,1	60	53,5	48,4	44,3	42,3

Аппроксимировать экспериментальные данные экспоненциальной зависимостью:, где α - показатель активности катализатора.

Решение. Представим уравнение в виде: . Прологарифмируем обе части уравнения lny=lnc1-c2x. Обозначим a=lnc1; b=-c2.

Запишем систему нормальных уравнений для поиска a и  b.

Здесь х – это t,  y – это Х. Для поиска соответствующих сумм составим таблицу

x	y	ln y	xln y	x2
5	66,1	4,191168747	20,9558	25
10	60	4,094344562	40,9434	100
15	53,5	3,979681654	59,6952	225
20	48,4	3,879499814	77,59	400
25	44,3	3,790984677	94,7746	625
30	42,3	3,744787086	112,344	900
105	23,68046654	406,303	2275

Получим:

Решив ее в Excel, и учитывая то, что с1=еa, ac2=-b, получим:

a	b
4,2709614	-0,01852668
Левая часть	Правая часть
23,680467	23,680467
406,30274	406,30274
с1	71,59042982
с2	0,018526685

Окончательно имеем:

Программа в среде Scilab:

clc

clf()

function y=f(x)

y=a*exp(b*x);

  endfunction

x=[5:5:30];

y=[66.1 60 53.5 48.4 44.3 42.3];

n=length(x);

b=(sum(x)*sum(log(y))-n* sum(x.*log(y)))/(sum(x)^2-n*sum(x.^2))

a=exp((sum(log(y))-b*sum(x))/n)

printf("a=%3.5f ", a)

printf("b=%3.5f", b)

disp("")

plot2d(x, y,-4)

t=min(x)-.1:.01:max(x)+.1;plot2d(t, f(t))

for i=1:n

  printf("y=%2.3f %2.3f", y(i),f(x(i)))

  disp("")

end

err=sum((y-f(x)).^2)

printf("err=%3.5f", err)

a=71.59043 b=-0.01853

y=66.100 65.257

y=60.000 59.483

y=53.500 54.221

y=48.400 49.424

y=44.300 45.051

y=42.300 41.065

err= 4.6339751 

Здесь  a и b  - искомые коэффициенты, далее напечатаны табличные  значения (y) и - через пробел - значение модельной функции в тех же узлах таблицы, последнее число - err – сумма площадей квадратов отклонений. Ниже приведен график полученной кривой.

Программа с использованием функции Scilabdatafitвыглядит так:

clc

clf()

x=[5:5:30];y=[66.1 60 53.5 48.4 44.3 42.3];

function [zr]=F(c, z)

zr=z(2)-(c(1)*exp(z(1)*c(2)))

endfunction

z=[x;y];

c=[0;0];

[d, S]=datafit(F, z,c)

printf("d1=%3.5f d2=%3.5f ",d(1), d(2))

printf("S=%3.5f", S)

t=min(x)-.1:.01:max(x)+.1;

Yt=d(1)*exp(t*d(2));

plot2d(x, y,-3);

plot2d(t, Yt);

Результаты:

d1=72.14244 d2=-0.01899 S=4.37579

В этой программе  z(1) – это х, z(2) – это y (то есть zr -  это невязки, то есть разности между экспериментальными и модельными данными), S - сумма площадей квадратов отклонений, - вектор d – искомые коэффициенты. Результаты несколько отличаются от приведенных выше. График аналогичен предыдущему, поэтому его мы не приводим. 

Надо отметить, что функция datafit крайне чувствительна к начальному приближению (вектор-столбец с).

Проверим адекватность полученной модели.

x	y		(y-Y)2	(y-y cp)2
5	66,1	65,25655	0,71141	186,77778
10	60	59,48305	0,26724	57,254444
15	53,5	54,22036	0,51891	1,1377778
20	48,4	49,42327	1,04709	16,267778
25	44,3	45,05060	0,56341	66,151111
30	42,3	41,06480	1,52571	102,68444
сумма	4,63376	430,2733
y cp	52,43333	R2	0,98923

Построив график функции с добавленной к нему линией экспоненциального тренда, получим:

Проверим гипотезу об адекватности полученной сглаживающей прямой исходным данным по критерию Фишера при уровне значимости б=0,05.

Для этого вычислим статистику

Здесь R2 – коэффициент детерминации. По числу степеней свободы k1=1 и k2=n-2 найдем критическое значение Fкрс помощью статистической функции F. ОБР. ПХ (Microsoft Excel 2010, 2016)

Fкр= 7,708647422

Так как Fвыб>Fкр, делаем вывод о том, что полученное уравнение экспоненциальной регрессии  статистически значимо описывает результаты эксперимента.

3.3.2. Метод средних точек для определения формы

регрессионной кривой

Одним из способов, который может помочь в выборе вида уравнений регрессии из нескольких имеющихся альтернатив, является метод средних точек. Суть его состоит в следующем.

Пусть в результате проведения эксперимента получена таблица:

x	x1	…	xn
y	y1	…	yn

В этой таблице х упорядочены по возрастанию, то естьx1≤ x2≤ …≤xn.

По экспериментальным данным строим график, соединяя соседние точки отрезками прямых.

На втором этапе необходимо выбрать формулу, которая могла бы описать экспериментальные данные. Во втором столбце таблицы 3.1 приведены некоторые типовые формулы, наиболее часто встречающиеся в задачах химии и химической технологии.

Таблица 3.1

№	Формула	Средние точки
1
2
3
4
5
6

Здесь х1,y1 – первая, а хn, yn – последняя точки исходной таблицы.