Элективный курс «Культурно-исторические факторы развития математики» (стр. 4 )

В русской историко-математической литературе «задача о гирях» известна также под названием задачи Баше-Менделеева. Почему русский химик вдруг заинтересовался «задачей о гирях»? Ответ на этот вопрос дает ознакомление с некоторыми малоизвестными фактами из жизни гениального ученого. Во время происходивших в 1890 г. студенческих волнений в Петербургском университете Менделеев, который в тот период работал профессором этого университета, выступил на защиту студентов и в качестве протеста подал прошение об отставке с должности профессора университета. Его прошение было удовлетворено и поэтому в 1892 г. Менделеев был назначен ученым хранителем Депо образцовых гирь и весов, которое по инициативе Менделеева в 1893 г. было преобразовано в Главную палату мер и весов России. Ее директором Менделеев оставался до конца жизни. Таким образом, заключительный этап жизни великого ученого (с 1892 г. и до его кончины в 1907 г.) был связан с развитием измерительного дела и именно в этот период со свойственной ему активностью Менделеев интересуется различными задачами, связанными с измерениями; одной из них и была «задача о гирях». Под его непосредственным влиянием было выполнены математические исследования по этой проблеме. Вклад Менделеева в развитие измерительного дела в России настолько велик, что «задача о гирях» была названа задачей Баше - Менделеева, а сам Менделеев по праву считается «отцом русской метрологии».

Как уже говорилось, известны два варианта решения «задачи о гирях». В первом случае взвешиваемый груз находится на левой чаше весов, а гири разрешается класть только на правую («свободную») чашу весов; во втором варианте гири разрешается класть на обе чаши весов.

Рассмотрим первый вариант задачи, приводящий к доказательству «оптимальности» двоичной системы гирь. Он формулируется следующим образом. Для упрощения задачи будем считать, что взвешиваемый груз принимает значения из множества неотрицательных целых чисел, то есть, 0, 1, 2, 3. … . Рассмотрим некоторую систему гирь, состоящую из n гирь: {q1, q2, q3,…, qn}, где q1 = 1 есть единица измерения, а все остальные гири находятся с единицей q1 = 1 в кратном отношении, причем:  q1 ≥ q2 ≥ q3 ≥, …, ≥ qn.

Ясно, что максимальный груз, который может быть взвешен с помощью данной системы гирь, равен сумме всех имеющихся гирь, то есть

Qmax = q1 + q2 + q3 + … + qn

При этом гири необходимо подобрать так, чтобы из них можно было бы составить любой груз, кратный q1, от 0 до наибольшего груза. Ясно, что если задана единица q1=1 и количество гирь n, то вес наибольшего груза является некоторой функцией от n, то есть Qmax = ϕ(n). Задача состоит в том, чтобы при заданном n выбрать такую систему гирь, при которой вес наибольшего груза Qmax был бы наибольшим для всех допустимых вариантов.

Поясним существо «задачи о гирях» на конкретном примере. Пусть требуется выбрать систему из четырех гирь среди следующих вариантов: {1, 3, 5, 10}, {1, 2, 4, 8}, {1, 2, 3, 5}. Ясно, что первый вариант нас не удовлетворяет, так как с ее помощью невозможно, например, путем сложения составить веса 7, 12, 17. Второй и третий варианты удовлетворяют нашему условию, но второй вариант лучше, поскольку сумма гирь (1+2+4+8=15) для этого варианта больше суммы гирь (1+2+3+5=11) для третьего варианта.

Известно общее решение сформулированной выше задачи. Оно состоит в выборе двоичной системы гирь {1, 2, 4, …, 2n-1}, с которыми последовательно (начиная со старшей гири) происходит сравнение измеряемого веса Q. Указанный способ измерения получил широкое распространение в измерительной практике и носит название алгоритма поразрядного кодирования или «двоичного» алгоритма измерения. Важно подчеркнуть, что применение этого алгоритма автоматически приводит к представлению результата измерения N в двоичной системе счисления.

Таким образом, в результате проведенных рассуждений мы неожиданно перешли от алгоритмов измерения к способам представления чисел - и в этом состоит одно из важных практических приложений алгоритмической теории измерения.

Во втором варианте задачи Баше - Менделеева гири разрешается класть на обе чаши весов. Оказалось, что для этого случая «оптимальным» решением является «троичная» система гирь {1, 3, 9, 27, …, 3n-1}, которая «порождает» троичную симметричную систему счисления.

Практические задания: ознакомиться с презентацией к занятию и решить предложенные задачи.

Занятие 4. Общественные факторы: социальная сфера.

Математики как социальный институт представляет собой определённую систему взаимосвязей между научными организациями, членами научного сообщества, систему норм и ценностей. Обществу требуются объективные знания о мире и математика, как наука, в процессе своего развития начинает оказывать всё большее влияние на все сферы жизнедеятельности общества. Культурная функция состоит не только в том, что она обогащает культуру определенными знаниями, но и в том, что она формирует человека, способного эти знания получать и осваивать.

Математика воздействует на потребности общества. Любое нововведение требует сегодня научного обоснования. Научно-исследовательская деятельность является для современного общества совершенно необходимым видом деятельности, без которого дальнейшее развитие общества и решение многих его проблем невозможно.

Рассмотрим пример одного открытия, которое растянулось на несколько столетий, и не было завершено в полной мере до настоящего времени. Процесс работы над ним происходил во взаимодействии нескольких ученых.

Мы часто представляем составные числа как произведение простых чисел. А можно ли представить всякое натуральное число в виде суммы простых чисел?

Более 200 лет назад член Петербургской академии наук Христиан Гольдбах (1690 – 1764) высказал такое предположение: всякое нечетное целое число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Проверка на отдельных примерах показала справедливость этого предположения. Так, например: 13=3+5+5; 23=5+7+11 и т. п.

Однако, чтобы быть уверенным в том, что данное свойство справедливо для любых, сколь угодно больших целых чисел, нужно найти общее доказательство. В 1742 году Гольдбах обратился по этому вопросу к знаменитому математику Петербургской Академии наук Леонарду Эйлеру. Эйлер ответил, что он не может доказать это свойство, но высказал такое предположение: всякое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Например, 8=3+5; 28=11+17 и т. п.

Если можно было бы решить «задачу Эйлера», т. е. доказать второе свойство, то легко было бы решить и «задачу Гольдбаха», а именно: пусть имеем какое-либо целое число. Либо оно четное, тогда оно разлагается на сумму двух простых чисел, либо оно нечетное, тогда вычтем из него нечетное простое число и останется честное число, которое разложится в сумму двух также простых чисел так, что всегда данное целое число разложится на сумму не более трех простых чисел.

На протяжении 200 лет над доказательством предложения Гольдбаха тщетно трудились многие крупные ученые, в том числе и Георг Кантор (1845 – 1917), проверивший предложение для всех четных чисел от 4 до 1000.

Первый крупный успех в решении задачи Гольдбаха был достигнут молодым советским математиком Львом Генриховичем Шнирельманом (1905 – 1938), доказавшим в 1930 г., что всякое целое число может быть представлено в виде суммы не более чем k простых чисел, где k – некоторое вполне определенное, но нам неизвестное число. Решение задачи Гольдбаха было сведено, таким образом, к доказательству того, что k равно 3. Вначале k оценивалось в порядке сотен тысяч, но вскоре благодаря дальнейшим трудам некоторых советских и зарубежных математиков удалось значительно уменьшить оценку числа k. В настоящее время оно доведено до 20.

Крупнейшего успеха на пути к решению задачи Гольдбаха достиг в 1937 г. советский математик, Герой Социалистического Труда, академик Иван Матвеевич Виноградов, доказав, что всякое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Результат, полученный академиком Виноградовым, является одним из блестящих математических достижений первой половины XX в. Тем не менее задачу Гольдбаха-Эйлера поныне нельзя считать полностью решенной ввиду того, что в  доказательстве  Виноградова речь идет не о всех, а только о нечетных числах, причем достаточно больших.

Практические задания:

Проверить на примере двух трехзначных чисел предложение Гольдбаха. Проверить на примере двух четных трехзначных чисел свойство, высказанное Эйлером.

Занятие 5. Общественные факторы: политическая сфера.

Рассмотрим развитие математической мысли XX века под влиянием политических факторов на примере фактов биографии Джона фон Неймана.

Янош фон Нейман (так его звали в Венгрии, в Германии он стал Иоганном, а в США – и уже навсегда – Джоном или просто Джонни) родился 3 декабря 1903 года в Будапеште, в богатой еврейской семье. Отец его, преуспевающий банкир, получил за заслуги в развитии экономики право на ношения второй фамилии – Маргиттский и дворянскую приставку «фон.

Еврейские традиции в семье не соблюдались, хотя Джон и два его брата прошли бар-мицву. Позже вся семья приняла католицизм. Но образование Янкши (уменьшительное от Янош) началось с того, что к нему приходил раввин и он изучал древнееврейский и ТАНАХ. Больше, правда, в то время его интересовала «Всемирная история» в 44 томах, которую он полностью проштудировал. Абсолютная память позволяла ему через много лет цитировать любую страницу некогда прочитанной книги, причем иногда прямо, в том же темпе, переводя на немецкий или английский, с некоторыми затруднениями – на французский или итальянский. Кстати, эта же память помогала ему удерживать негласный титул чемпиона по знанию анекдотов на всех языках.

В 6 лет Янкши перекидывался с отцом репликами на древнегреческом и перемножал в уме шестизначные числа, в 8 лет он уже интересовался вопросами высшей математики. Родители серьезно отнеслись к его необычной одаренности и предоставили ему возможность заниматься с лучшими частными преподавателями.

В 10 лет Янкши поступает в лютеранскую гимназию Будапешта. Школа эта сыграла гигантскую роль в развитии мировой науки. Преподаватели скоро замечают особые способности Янкши и приобщают его к лекциям и семинарам в университете. В итоге, в 18 лет он публикует свою первую научную работу, а духовный отец венгерской математики Л. Фейер (1880-1959) называет его «самым блестящим Яношем в истории страны», титул, оставшийся за ним на всю жизнь (имя Янош – одно из самых распространенных в Венгрии).