В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример: Число 345 древние египтяне записывали так:

В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н. э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=602, 216000=603 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

т. к. 444=7*60+24.

Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60.

Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т. к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда,

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т. е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т. д.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т. к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида); разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1); сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").

Славянская  система счисления является алфавитной т. е. вместо цифр используются буквы алфавита. Данная система счисления применялась нашими предками и была достаточно сложной, т. к. использует в качестве цифр 27 букв.

Большие числа представлялись на основе данных чисел.

Например, тысяча представлялась так

Более крупные числа, как, например, миллион, или тьма, выглядели следующим образом

Данная система является непозиционной, т. е. число не зависит от последовательности цифр.

Греческая система счисления, так же как и славянская, является алфавитной, т. е. использует буквы в написании чисел. Определённой букве в соответствие ставилась цифра:

Тысяча обозначалась следующим образом:

Соответственно две тысячи выглядели как:

Десятки тысяч или мириады греки обозначали как:

Позже десятки тысяч стали отделять точкой. Например, число 15.3444 выглядело следующим образом

Практические задания:  ознакомьтесь с презентацией и решите задачи



«В римской системе счисления используются цифры:

  I  V  X  L  С         О         М

  1  5  10  50  100  500  1000

Когда написано несколько римских цифр рядом, то число, обозначаемое ими, читается по следующим правилам:

Если цифра с большим значением стоит слева от цифры
с меньшим значением, то их значения складываются. Если цифра с меньшим значением стоит слева от цифры
с большим значением, то из большего значения вычитается мень­шее. При этом меньшая цифра не должна повторяться. Если рядом стоят две одинаковые цифры, то их значения
складываются. Одна и та же цифра может быть написана подряд не бо­
лее трех раз. Например, число 6 можно записать так: VI (V + I);

число 4 так: IV (V - I);

число 161 — СLХI;

ССLХХХIII = 200 + 50 + 30 + 3 = 283;

ХLIХ = 50 - 10 + 10 - 1 = 49».

«Камни пересчитали и их число записали двумя способами:

а)        X        X         II        XXII;

б)        10        10        2        22.

1) Меняется ли значение цифры X в зависимости от места, которое она занимает в записи числа XXII?

2) Меняется ли значение цифры 2 в зависимости от ее позиции (места) в записи числа 22?».

«В Древней Греции во времена математика Архимеда (III в. до н. э.) пользовались изобретенной алфавитной нумерацией. Первые девять букв алфавита  с черточками  над ними обозначали числа от 1 до 9, следующие 9 букв обозначали десятки, последние – сотни:

б= 1,  в = 2,  г = 3,  …

й = 10,  к = 20,  л= 30,  …

ц = 100,  у = 200,  ф = 300,  …

Таким образом, число 23 греки писали кг.

1) Как вы думаете, почему используется такой необычный знак «~»? Что он означает?

2) Если вы узнаете все греческие буквы, то сможете записать все числа с помощью букв и знака «~».

3) Есть ли что-то общее между греческой и славянской системами счисления?

  4) Напишите числа: 32, 113, 321 в греческой и славянской системах счисления.

5) Проверьте, правильно ли записаны числа:

  уб= 21;  фг = 303;  цкв = 122;  кйг = 43.

«В Индии все понятия обозначались первыми буквами соответствующих терминов. Самым распространенным названием для неизвестного было слово «йа» - сокращение санскритского термина для неизвестной величины «йават - тават», означавшего: столько – сколько. Алгебраическая символика индийцев была значительно более развита, чем у всех их предшественников; это относится, в частности, к введению знаков для нескольких неизвестных и для целого ряда операций. Целое число – «ру» от слова «рупа» (целое число, монета рупия), термина обозначавшего свободный член. Точка над числом – знак отрицательного числа (например, ру ). Из символов наиболее употребительными были символы вычитания и деления, при сложении и умножении действия записывались либо полностью, либо вообще отсутствовали. При записи уравнений знак равенства вообще отсутствовал, обе части записывались друг под другом так, чтобы неизвестные стояли под неизвестными. Если неизвестная отсутствовала, то ее записывали с коэффициентом нуль. Рассмотрите запись уравнения в индийских обозначениях

йа 1 ру 5

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9