Общая теория статистики (стр. 5 )

Далее рассчитаем значение коэффициента Стьюдента. Для его расчета необходимы дополнительные расчеты, представленные в таблице 2.4

Таблица 2.4 – Расчет коэффициента корреляции Стьюдента.

№ студента	1	2	3	4	5	6	7	Сумма
Теория вероятностей (x)	69	94	46	51	88	62	54	464
Статистика (y)	55	89	40	67	76	84	44	455
хi-x̅	2,71	27,71	-20,29	-15,29	21,71	-4,29	-12,29
yi-y̅	-10,00	24,00	-25,00	2,00	11,00	19,00	-21,00
(хi-x̅)(yi-y̅)	-27,14	665,14	507,14	-30,571	238,86	-81,43	258	1530
(хi-x̅)І	7,36735	768,082	411,51	233,653	471,51	18,3673	150,939	2061,43
(yi-y̅)І	100	576	625	4	121	361	441	2228

Среднее значение баллов по теории вероятности: х̅ =

Определим корреляционный момент: Кху =

Вычислим дисперсии:

уІх =

уІy =

Коэффициент корреляции:

Определим расчетное значение критерия Стьюдента: , соответственно табличное значение критерия

Расчетное значение критерия Стьюдента меньше табличного, поэтому нулевая гипотеза подтверждается, следовательно, коэффициент корреляции не значим.

3. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ - метод моделированияизмеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной.
Корреляционный анализ и регрессионный анализ являются смежными разделами математической статистики, и предназначаются для изучения по выборочным данным статистической зависимости ряда величин; некоторые из которых являются случайными. При статистической зависимости величины не связаны функционально, но как случайные величины заданы совместным распределением вероятностей.
Исследование зависимости случайных величин приводит к моделям регрессии и регрессионному анализу на базе выборочных данных. Теория вероятностей и математическая статистика представляют лишь инструмент для изучения статистической зависимости, но не ставят своей целью установление причинной связи. Представления и гипотезы о причинной связи должны быть привнесены из некоторой другой теории, которая позволяет содержательно объяснить изучаемое явление.
Числовые данные обычно имеют между собой явные (известные) или неявные (скрытые) связи.
Явно связаны показатели, которые получены методами прямого счета, т. е. вычислены по заранее известным формулам. Например, проценты выполнения плана, уровни, удельные веса, отклонения в сумме, отклонения в процентах, темпы роста, темпы прироста, индексы и т. д.
Связи же второго типа (неявные) заранее неизвестны. Однако необходимо уметь объяснять и предсказывать (прогнозировать) сложные явления для того, чтобы управлять ими. Поэтому специалисты с помощью наблюдений стремятся выявить скрытые зависимости и выразить их в виде формул, т. е. математически смоделировать явления или процессы. Одну из таких возможностей предоставляет корреляционно-регрессионный анализ.
Математические модели строятся и используются для трех обобщенных целей:
* для объяснения;
* для предсказания;
* для управления.
Пользуясь методами корреляционно-регрессионного анализа, аналитики измеряют тесноту связей показателей с помощью коэффициента корреляции. При этом обнаруживаются связи, различные по силе (сильные, слабые, умеренные и др.) и различные по направлению (прямые, обратные). Если связи окажутся существенными, то целесообразно будет найти их математическое выражение в виде регрессионной модели и оценить статистическую значимость модели.
Постановка задачи регрессионного анализа формулируется следующим образом.
Имеется совокупность результатов наблюдений. В этой совокупности один столбец соответствует показателю, для которого необходимо установить функциональную зависимость с параметрами объекта и среды, представленными остальными столбцами. Требуется: установить количественную взаимосвязь между показателем и факторами. В таком случае задача регрессионного анализа понимается как задача выявления такой функциональной зависимости y = f (x2, x3, …, xт), которая наилучшим образом описывает имеющиеся экспериментальные данные.
Допущения:
- количество наблюдений достаточно для проявления статистических закономерностей относительно факторов и их взаимосвязей;
- обрабатываемые данные содержат некоторые ошибки (помехи), обусловленные погрешностями измерений, воздействием неучтенных случайных факторов;
- матрица результатов наблюдений является единственной информацией об изучаемом объекте, имеющейся в распоряжении перед началом исследования.
Функция f (x2, x3, …, xт), описывающая зависимость показателя от параметров, называется уравнением (функцией) регрессии. Термин «регрессия» (regression (лат.) – отступление, возврат к чему-либо) связан со спецификой одной из конкретных задач, решенных на стадии становления метода.
Решение задачи регрессионного анализа целесообразно разбить на несколько этапов:
- предварительная обработка данных;
- выбор вида уравнений регрессии;
- вычисление коэффициентов уравнения регрессии;
- проверка адекватности построенной функции результатам наблюдений.

Задача 3.1

Построить нелинейную обратную модель связи себестоимости единицы продукции (y) со стоимостью основных фондов (х). Определить характеристики модели. Каждое значение (y) увеличить на свой номер классного журнала (4).

Исходные данные(с учетом увеличения на номер варианта):

y: 25; 20; 19;18;17; 16,5; 15; 15,5; 14; 12

х: 1;  2;  3;  4;  5;  6;  7;  8;  9;  10

Характеристики модели:

1) модель (коэффициенты до 4-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели;

5) вывод о значимости коэффициентов модели;

6) доверительные интервалы коэффициентов модели (до 4-х знаков)

Все исходные  и промежуточные расчеты представлены в таблице 3.1

Таблица 3.1 

1/x	y	1/x2	y2	y/x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	|y - yx|:y
0.2	25	0.04	625	5	25	24.166	60.84	0.696	0.0334
0.1667	20	0.02778	400	3.3333	20	21.374	7.84	1.889	0.0687
0.1429	19	0.02041	361	2.7143	19	19.38	3.24	0.145	0.02
0.125	18	0.01563	324	2.25	18	17.885	0.64	0.0133	0.0064
0.1111	17	0.01235	289	1.8889	17	16.722	0.04	0.0775	0.0164
0.1	16.5	0.01	272.25	1.65	16.5	15.791	0.49	0.503	0.043
0.09091	15	0.00826	225	1.3636	15	15.03	4.84	0.000886	0.00198
0.08333	15.5	0.00694	240.25	1.2917	15.5	14.395	2.89	1.22	0.0713
0.07692	14	0.00592	196	1.0769	14	13.858	10.24	0.02	0.0101
0.07143	12	0.0051	144	0.8571	12	13.398	27.04	1.955	0.117
1.1682	172	0.1524	3076.5	21.4259	172	172	118.1	6.519	0.388

Для наших данных система уравнений имеет вид