Общая теория статистики (стр. 6 )

a=

1,168

20,0896 - 0,1364224b+0,152b=21,426

0,01558b=1,3364

b = 85,751

a = 7,184

Уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

y = 7,184+85,751 / x

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

  Ошибка аппроксимации.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 3.88%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Индекс детерминации.

т. е. в 94.48% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 5.52% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Оценка параметров уравнения регрессии.

S2 = 0.815 - необъясненная дисперсия или дисперсия ошибки регрессии (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S = 0.9 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

F-статистика. Критерий Фишера.

или по формуле:

где

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32

Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Задача 3.2

Построить полулогарифмическую модель вида: y=a0+a1lnx по данным:

у 10; 13,4; 15,4; 16,5; 18,6; 19,1

х  1;  2;  3;  4;  5;  6.

Определить характеристики модели.

Каждое значение (у) увеличить на свой номер классного журнала.

Характеристики модели: 1) модель (коэффициенты до 2-х знаков);

2) индекс детерминации (до 2-х знаков);

3) стандартную ошибку (до 4-х знаков);

4) расчетное и табличное значения критерия Фишера (до 2-х знаков) и вывод о значимости модели.

Промежуточные расчеты представлены в таблице 3.2

Таблица 3.2

y	x	ln x	(ln x)2	yln x		(2	(y - 2
14 17.4 19,4 20,5 22,6 23,1	1 2 3 4 5 6	0 0,69 1,10 1,39 1,61 1,79	0 0,48 1,21 1,93 2,59 3,2	0 12,01 21,34 28,49 36,39 41,35	13,85 17,404 19,516 21,009 22,14 23,0698	30,25 4,41 0,01 1 9,61 12,96	0,0225 0,000016 0,01346 0,259 0,2116 0,0009
∑  117	21	6,58	9,41	139,58	58,24	0,5075
Ср. знач.19,5	3,5

1)Составим систему уравнений:

Решим систему уравнений:

a0 =;

6,58(19,5 - 1,097a1)+9,41a1 = 139,58

128,31 - 7,218a1+9,41а1 = 139,58

2,19 a1 = 11,28

a1 = 5,1507

а0=

а0= 13,85

Уравнение имеет вид

y=13,85 +5,1507 lnx

2) Найдем индекс детерминации:

R2=

ρxy =

Следовательно, R2=0,99

3) Рассчитаем стандартную ошибку:

4) Найдем расчетное значение Фишера:

Fтабл= 7,71

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, так как F > Fтабл.

Задача 3.3

  Реальные статистические данные о рождаемости в Пензенской области приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3 –  Динамика коэффициента рождаемости в Пензенской области        

Год	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Коэффициент рождаемости	7,5	7,5	8,0	8,4	8,6	8,4
Год	2006	2007	2008	2009	2010	2011
Коэффициент рождаемости	8,6	9,7	10,2	10,3	10,2	10,1
Год	2012	2013	2014	2015	2016
Коэффициент рождаемости	10,8	10,6	10,8	10,7	10,2

  Построить трендовую линейную регрессионную модель. Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации.  Спрогнозировать коэффициент рождаемости в 2017г. В электронную таблицу вместо года ставить 1,2,…

Решение:

1) Построить линейную модель y=a0 - ait

  a0 = y - a1 *

Промежеточные расчеты представлены в таблице 3.4

Таблица 3.4

Год	t	y	t-tср	(t-tср)2	y-yср	(t-tср)(y-yср)	yp	et		*100
2000	1	7,5	- 8	64	- 1,95	15,5768	7,695	-0,195	0,03806	2,60	3,7912
2001	2	7,5	-7	49	-1,95	13,6297	7,914	- 0,414	0,17148	5,52	3,7912
2002	3	8	- 6	36	-1,45	8,6826	8,133	- 0,133	0,01772	1,66	2,0941
2003	4	8,4	- 5	25	-1,05	5,2355	8,352	0,048	0,00229	0,57	1,0964
2004	5	8,6	- 4	16	- 0,85	3,3884	8,571	0,029	0,00084	0,34	0,7176
2005	6	8,4	- 3	9	- 1,05	3,1413	8,790	-0,390	0,15218	4,64	1,0964
2006	7	8,6	- 2	4	- 0,85	1,6942	9,009	- 0,409	0,16736	4,76	0,7176
2007	8	9,7	- 1	1	0,253	-0,2529	9,228	0,472	0,22269	4,86	0,064
2008	9	10,2	0	0	0,753	0	9,447	0,753	0,56686	7,38	0,5669
2009	10	10,3	1	1	0,853	0,8529	9,666	0,634	0,40183	6,15	0,7274
2010	11	10,2	2	4	0,753	1,5058	9,885	0,315	0,09916	3,09	0,5669
2011	12	10,1	3	9	0,653	1,9587	10,104	- 0,004	0,00002	0,04	0,4263
2012	13	10,8	4	16	1,353	5,4116	10,323	0,477	0,22743	4,42	1,8303
2013	14	10,6	5	25	1,153	5,7645	10,542	0, 058	0,00335	0,55	1,3292
2014	15	10,8	6	36	1,353	8,1174	10,761	0,039	0,00151	0,36	1,8303
2015	16	10,7	7	49	1,253	8,7703	10,980	- 0,280	0,07846	2,62	1,5698
2016	17	10,2	8	64	0,753	6,0232	11,199	-0,999	0,99820	9,80	0,5669
Итого	153	160,6	0	408	0	89,5	160,6007	-0,0007	3,1494409	59,35727	22,82
Ср. знач.	9	9,447

1) а1=