Общая теория статистики (стр. 7 )

а0= 9,447 - 0,219*9=7,476

Уравнение выглядит следующим образом:

у = 7,476 +0,219t

2) Спрогнозируем коэффициент рождаемости на 2017 год:

y = 7,476 +0,219*18=11,418

3) Найдем стандартную ошибку:

4) Найдем ошибку апроксимации:

5) Рассчитаем коэффициент детерминации:

R2=

6) Определим F-критерий Фишера:

Рассчетное значение:

Fтабл.= 4,54

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, так как F >Fтабл.

Задача 3.4

Реальные статистические данные о курсе валют приведены в таблице 3.5. Построить линейную и нелинейные регрессионные модели вида: у = ао + а1t;  lnу = ао + а1t;  у =  1/(ао + а1t).  Определить коэффициент детерминации, стандартную ошибку, значимость модели и ошибку аппроксимации. В электронную таблицу вместо года записывать 1,2,… По  стандартной ошибке выбрать лучшую модель и спрогнозировать цену  одного доллара в декабре 2017 года. 

Таблица 3.5 –  Курс рубля к доллару

Месяц и год	Январь 2017	Февраль  2017	Март 2017	Апрель  2017	Май 2017	Июнь 2017	Июль 2017	Август 2017
Цена одного доллара	59,6	58,5	58,0	56,4	57,0	57,9	59,7	59,6

Решение:

1)Построим линейную модель

Для наших данных система уравнений имеет ви

a=

36

2100,15 - 162b+204b=2103,3

42b=3,15

b=0,075

  a=58
  Уравнение регрессии будет иметь вид:

y = 58+0,075 x

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.075 x + 58

Ошибка аппроксимации.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1.74%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Построим модель вида lnу = ао + а1t

Для этого значения у заменим значениями lny

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 3.6)

Таблица 3.6

x	Y	x2	y2	x • y
1	4.09	1	16.7281	4.09
2	4.07	4	16.5649	8.14
3	4.06	9	16.4836	12.18
4	4.03	16	16.2409	16.12
5	4.04	25	16.3216	20.2
6	4.06	36	16.4836	24.36
7	4.09	49	16.7281	28.63
8	4.09	64	16.7281	32.72
36	32.53	204	132.2789	146.44

Для наших данных система уравнений имеет вид:

a=

36

146,385-162b+204b=146,44

b= 0,00131

a=4,0604

Уравнение будет выглядеть следующим образом:

y =4,0604+ 0,00131 x

Ошибка аппроксимации.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 0.46%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Коэффициент детерминации.

R2= 0.1382 = 0.01902

т. е. в 1.9% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 98.1% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

F-статистика. Критерий Фишера.

или по формуле:

где

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=6, Fтабл = 5.99

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Построим модель вида у =  1/(ао + а1t)

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 3.7)

Таблица 3.7

1/x	Y	1/x2	y2	y/x
1	59.6	1	3552.16	59.6
0.5	58.5	0.25	3422.25	29.25
0.3333	58	0.1111	3364	19.3333
0.25	56.4	0.0625	3180.96	14.1
0.2	57	0.04	3249	11.4
0.1667	57.9	0.02778	3352.41	9.65
0.1429	59.7	0.02041	3564.09	8.5286
0.125	59.6	0.01563	3552.16	7.45
2.7179	466.7	1.5274	27237.03	159.3119

Для наших данных система уравнений имеет вид

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1,2563, a = 57,9107

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 1,2563 / x + 57,9107

Ошибка аппроксимации.

В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 1.54%. Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Индекс детерминации.

т. е. в 8.73% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 91.27% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

F-статистика. Критерий Фишера.

или по формуле:

где

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=6, Fтабл =5.99
Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Сведем в таблицу полученные результаты в таблицу

Таблица 3.8

Модель	Стандартная ошибка
y = 0.075 x + 58	1,46
y = 0.00131 x + 46.06	0,46
y =	1,54

По стандартной ошибке выбираем модель y = 0.00131 x + 4.06, сделаем прогноз на 5 месяцев вперед