Математический анализ (стр. 2 )

Кол. час	в том числе в интерактивной форме, час.	Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание	Формируемые компетенции
6	-	Лекции
2	-	Модуль 1 «Теория пределов и дифференциальное исчисление»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.1 «Функции и отображения». Понятие функции, область определения, область значений. Способы задания функции. Постоянная функция, монотонная функция. Сложная функция. Тема 1.2 «Предел функции». Понятие предела функции. Тема 1.3 «Непрерывность функции». Понятие непрерывности функции Тема 1.4.  «Дифференциальное исчисление» Понятие производной и дифференциала функции. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условия существования локального экстремума.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Модуль 2 «Интегральное исчисление»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1 «Неопределенный интеграл» Понятие первообразной, неопределенного интеграла. Тема 2.2 Определенный интеграл». Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Модуль 3 «Теория функций многих переменных» Модуль 4 «Дифференциальные уравнения. Ряды»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 3.1. «Дифференцируемые функции многих переменных». Частные производные. Полный дифференциал. Производная сложной функции. Тема 3.2. «Локальный экстремум функции многих переменных» Понятие локального экстремума функции многих переменных. Тема 4.1 «Дифференциальные уравнения». Понятие дифференциального уравнения, решение, общее решение, частное решение, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши. Тема 4.2 «Числовые ряды». Понятие числового ряда. Необходимый и достаточные признаки сходимости числового ряда. Тема 4.3.  «Степенные ряды». Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда, интервал сходимости, радиус сходимости степенного ряда. Исследование сходимости степенного ряда.	ОПК-3 ПК-4
10	10	Практические занятия
2	2	Модуль 1 «Теория пределов и дифференциальное исчисление»	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.2 «Предел функции». Вычисление пределов, раскрытие неопределенностей Тема 1.4 «Дифференциальное исчисление». Вычисление производных.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Модуль 2 «Интегральное исчисление»	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.1 «Неопределенный интеграл». Вычисление неопределенных интегралов. Тема 2.2 «Определенный интеграл». Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница	ОПК-3 ПК-4
2	2	Модуль 3 «Теория функций многих переменных»	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 3.1. «Дифференцируемые функции многих переменных». Частные производные. Полный дифференциал. Производная сложной функции. Тема 3.2. «Локальный экстремум функции многих переменных» Понятие локального экстремума функции многих переменных.	ОПК-3 ПК-4
4	4	Модуль 4 «Дифференциальные уравнения. Ряды»	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 4.1 «Дифференциальные уравнения». Понятие дифференциального уравнения, решение, общее решение, частное решение, общий интеграл, интегральные кривые. Задача Коши.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 4.2 «Числовые ряды». Необходимый и достаточные признаки сходимости числового ряда. Тема 4.3.  «Степенные ряды». Исследование сходимости степенного ряда.	ОПК-3 ПК-4

Самостоятельная работа студента – очная форма обучения

Кол. час	Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку; их содержание	Формируемые компетенции
1 семестр
16	Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку
2	Тема «Функции и отображения» Образ и прообраз элемента, множества. Сложная функция. Взаимнооднозначное отображение, обратная функция.	ОПК-3, ПК-4
2	Тема «Предел функции» Раскрытие неопределенностей. 1-й и 2-й замечательные пределы. Подготовка к модульной контрольной работе «Вычисление пределов и непрерывность функции»	ОПК-3, ПК-4
4	Тема «Дифференциальное исчисление» Исследование функции методами дифференциального исчисления: достаточные признаки монотонности и постоянства функции. Достаточный признак существования экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Критерий локального экстремума, основанный на второй производной. Понятие выпуклости, вогнутости функции. Точки перегиба	ОПК-3, ПК-4
4	Тема «Неопределенный интеграл». Методы интегрирования: метод разложения; подстановки, подведения под знак дифференциала. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций, простейших иррациональных выражений.	ОПК-3, ПК-4
2	Тема «Определенный интеграл». Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур.	ОПК-3, ПК-4
2	Подготовка к модульной контрольной работе «Интегрирование»	ОПК-3, ПК-4
2	Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Методы интегрирования»	ОПК-3, ПК-4
18	Общая трудоемкость самостоятельной работы (час) в первом семестре
2  семестр
16	Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку
3	Тема «Дифференцируемые функции многих переменных» Исследование функции на локальный экстремум. Исследование функции на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Подготовка к модульной контрольной работе «Теория функций многих переменных»	ОПК-3, ПК-4
3	Тема «Дифференциальные уравнения» Решение простейших дифференциальных уравнений n-го порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Решение линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Уравнения Бернулли. Задача Коши. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.	ОПК-3, ПК-4
2	Тема «Числовые ряды» Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: Даламбера, сравнения, Коши, интегральный.	ОПК-3, ПК-4
2	Тема «Знакопеременные ряды» Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.	ОПК-3, ПК-4
2	Тема «Степенные ряды» Нахождение области сходимости  степенного ряда
4	Подготовка к контрольной работе: «Дифференциальные уравнения. Ряды»	ОПК-3, ПК-4
2	Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд элементарных функций».	ОПК-3, ПК-4
18	Общая трудоемкость самостоятельной работы (час) во втором семестре
36	Подготовка к экзамену	ОПК-3, ПК-4

Самостоятельная работа студента – заочная форма обучения

Кол. час	Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, тематика рефератной работы, контрольных работ, рекомендации по использованию литературы, ЭВМ и др.	Формируемые компетенции
145	Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку
10	Тема  «Функции и отображения» Понятие функции, область определения, область значений. Способы задания функции. Образ и прообраз элемента, множества. Сложная функция. Постоянная функция, монотонная функция. Взаимнооднозначное отображение, обратная функция.	ОПК-3, ПК-4
10	Тема «Предел функции» Понятие предела функции в точке. Ограниченные функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о бесконечно малых функциях. Теоремы о пределах: предел суммы, произведения и частного. 1-й и 2-й замечательные пределы. Раскрытие неопределенностей.	ОПК-3, ПК-4
5	Тема «Непрерывность функции» Понятие приращения функции. Два определения непрерывности функции в точке. Теорема о равносильности этих определений непрерывности. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Непрерывность основных элементарных функций. Исследование функции на непрерывность.	ОПК-3, ПК-4
20	Тема  «Дифференциальное исчисление» Понятие производной и дифференциала функции. Геометрический смысл производной, касательная и нормаль к кривой. Необходимое условие дифференцируемости функции. Производная сложной функции. Определение экстремума функции. Теоремы о функциях, дифференцируемых на промежутке: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Правило Лопиталя. Исследование функции методами дифференциального исчисления: достаточные признаки монотонности и постоянства функции. Достаточный признак существования экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Критерий локального экстремума, основанный на второй производной. Понятие выпуклости, вогнутости функции. Точки перегиба.	ОПК-3, ПК-4
5	Тема «Неопределенный интеграл» Первообразная функции. Теоремы о первообразных. Определение и свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования: метод разложения; подстановки; по частям; интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен; интегрирование рациональных функций и простейших иррациональных функций; интегрирование тригонометрических функций	ОПК-3, ПК-4
5	Тема «Определенный интеграл» Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.  Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.  Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур.	ОПК-3, ПК-4
5	Тема «Несобственные интегралы» Понятие несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Вычисление несобственных интегралов.	ОПК-3, ПК-4
10	Тема «Дифференцируемые функции многих переменных» Определение функции многих переменных.  Полное приращение функции многих переменных. Частные приращения и частные производные. Определение дифференцируемой функции многих переменных. Полный дифференциал. Понятие сложной функции многих переменных. Понятие неявной функции. Производная по направлению.  Градиент. Гиперповерхность уровня. Касательная гиперплоскость к гиперповерхности уровня	ОПК-3, ПК-4
5	Тема «Локальный экстремум функции многих переменных» Понятие локального экстремума функции многих переменных. Критическая точка градиента. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточные условия существования локального экстремума. Дифференциал второго порядка функции многих переменных	ОПК-3, ПК-4
5	Тема  «Условный экстремум функции многих переменных» Понятие условного экстремума функции многих переменных. Уравнение связи. Функция Лагранжа. Необходимые и достаточные условия существования условного экстремума. Случай функции двух переменных.	ОПК-3, ПК-4
20	Тема  «Дифференциальные уравнения» Дифференциальные уравнения. Порядок дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Решение задачи Коши – построение частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.	ОПК-3, ПК-4
5	Тема «Числовые ряды» Определение числового ряда. Частичная сумма ряда. Остаток. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Следствие. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера, сравнения, Коши и интегральный признак сходимости.	ОПК-3, ПК-4
5	Тема «Знакопеременные ряды» Понятие знакопеременного ряда. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Следствие. Абсолютная и условная сходимость.	ОПК-3, ПК-4
5	Тема «Степенные ряды» Понятие функционального ряда. Степенной ряд. Область сходимости. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена.	ОПК-3, ПК-4
30	Контрольная работа. Перечень заданий для контрольной работы представлен в Приложении 1 к рабочей программе дисциплины.	ОПК-3, ПК-4
10	Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента. Тема «Применение теории функций многих переменных к решению экономических задач»	ОПК-3, ПК-4
155	Общая трудоемкость самостоятельной работы (час)
9	Подготовка к экзамену	ОПК-3, ПК-4

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации

Вопросы к зачету

1. Понятие числовой функции.  Область определения, область  и множество  значений. 2. Способы задания функций. 3. Образ, прообраз элемента, множества. 4. Сложная функция (композиция отображений). 5. Постоянная функция, монотонная функция. 6. Взаимнооднозначное отображение. Обратная функция. 7 Окрестность, симметричная окрестность точки, проколотая окрестность, окрестности символов бесконечности. 8. Понятие предельной точки множества. 8. Предел функции. 9. Конечные и бесконечные пределы в конечных и  бесконечных предельных точках. 10. Геометрический смысл предела функции. 11. Бесконечно  малые  и бесконечно большие  функции, ограниченные и неограниченные функции. 12. Основные теоремы об ограниченных функциях, о бесконечно малых и бесконечно больших  функциях. 13. Критерий существования конечного предела. 14. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного. 15. Теорема о пределе постоянной,  о вынесении числового  множителя за знак предела. 16.. Теорема о  единственности предела. 17. Теорема  о  пределе  промежуточной функции,  о предельном переходе в неравенствах. 18. Два определения  непрерывности  функции. Теорема о равносильности этих определений. 19. Теоремы  о непрерывности суммы, произведения, частного  непрерывных функций. 20. Теорема о непрерывности сложной функции. 21.  Основные теоремы о функциях,  непрерывных на промежутке. 22 Точки разрыва и их классификация. 23. Условия непрерывности функции в точке. 24. Понятие производной функции и дифференциала.. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. 25.  Необходимое условие дифференцируемости функции. 26. Основные правила дифференцирования. 27.  Теорема Ферма и ее геометрический смысл. 28. Теорема Лагранжа. 29. Теорема Ролля и ее геометрический смысл. 30. Определение монотонности функции. Признаки монотонности функции. 31. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. 32. Достаточное условие экстремума, основанное на первой производной. 33. Достаточное условие существования экстремума, основанное на второй производной. 34. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. 35. Понятие о выпуклости, вогнутости и точках перегиба графика функции. 36. Признаки выпуклости и вогнутости. 37. Определение точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба. 38. Асимптоты графика функции. 39. Первообразная функции, теоремы о первообразных. 40. Неопределенный интеграл и его свойства. 41. Теорема существования. 42. Таблица неопределенных интегралов. 43. Метод подстановки в неопределенном интеграле. 44. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. 45.  Понятие о “неберущихся” интегралах в элементарных функциях. 46. Понятие интегральной суммы. Определение определенного интеграла. Теорема существования. 47.Геометрический смысл определенного интеграла. 48. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами. 49. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами. 50. Теорема о среднем. 51. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о его дифференцируемости. 52. Формула Ньютона-Лейбница. 53. Теорема об интегрирования по частям в определенном интеграле. 54. Теорема о замене переменной в определенном интеграле. 55. Геометрические приложения определенного интеграла. 56. Несобственные интегралы 1 и 2 рода.

Вопросы к экзамену

Понятие дифференциального уравнения n-го порядка. Решение, общее решение, частное решение дифференциального уравнения.   Интегральные кривые. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Метод их решения. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод их решения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Простейшие дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Понятие функции многих переменных. Открытый шар, открытый проколотый шар. Окрестность точки. Предельная точки множества. Предел функции многих переменных. Понятие бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной функции многих переменных. Основные теоремы о бесконечно малых и бесконечно больших  функциях. Основные теоремы о пределах. Полное приращение функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных: два определения непрерывности и теорема об их равносильности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций многих переменных. Частные приращения и частные производные. Определение дифференцируемой функции многих переменных. Полный дифференциал. Теорема о дифференцируемой функции многих переменных. Понятие сложной функции многих переменных. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о производной сложной функции. Понятие неявной функции. Теорема о неявной функции. Теорема о производных неявной функции. Производная по направлению. Градиент. Теорема о производной по направлению. Теорема о градиенте. Гиперповерхность уровня. Касательная гиперплоскость к гиперповерхности уровня. Понятие внутренних и граничных точек множества. Понятие локального экстремума функции многих переменных. Критическая точка градиента. Необходимое условие существования локального экстремума. Понятие замкнутого, ограниченного множества. Частные производные высших порядков. Достаточные условия существования локального экстремума. Дифференциал второго порядка функции многих переменных. Понятие условного экстремума функции многих переменных. Уравнение связи, функция Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума. Достаточное условие существования  условного экстремума. Числовой ряд. Частичная сумма ряда. Сходящийся ряд, расходящийся ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда. Следствие из необходимого признака. Произведение ряда на число. Сумма двух рядов. Теоремы о произведении ряда на число и о сумме двух рядов. Остаток ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Знакопеременный ряд. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Следствие из признака Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о сходимости знакопеременного ряда. Функциональный ряд и область его сходимости. Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда.  Интервал сходимости, область сходимости. Теорема Абеля. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда. Теорема о почленном интегрировании степенного ряда. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.

Фонд оценочных средств для проведения текущего контроля

Структура и содержание фонда оценочных средств представлены в Приложении 1 к рабочей программе дисциплины

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Основная и дополнительная литература

№	Выходные данные	Количество экземпляров
Основная литература

1.	Математический анализ учеб. пособие для бакалавров / , [и др.] ред. ; Сиб. федер. ун-т. - М. : Юрайт, 2012. - 607	200
4.	Сборник задач по курсу математического анализа : учеб. пособие / . - [22-е изд., перераб.]. - СПб. : Профессия, 2010. - 432 с.	200
5.	Минорский, задач по высшей математике / . - 15-е изд. -  М. : Изд-во Физико-мат. лит., 2011. - 336 с.	201
8.	Высшая математика для экономистов : учеб. для вузов / под ред. . - 3-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 479 с.	66

Дополнительная литература

5.	, Краткий курс высшей математики. -  М.: АСТ, Астрель, 2007. – 283 с.	10
6.	Сборник задач по высшей математике. -  М.: Изд-во физ-мат лит.,  2006. – 335 с.	30
8.	, Математические методы моделирования экономических систем.:Уч. Пос.-2-е изд. М.: Финансы и статистика, 2006.-370 с.	12

Методические разработки

1.

Гримайло, главы высшей математики учеб. пособие / ;  Рост.  гос.  экон.  ун-т  "РИНХ". - Ростов н/Д : Изд-во РГЭУ "РИНХ", 2012. - 138 с.

156

6.2.Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»

№	Выходные данные
1	Начала математического анализа http://biblioclub. ru/index. php? page=book_view_red&book_id=231712
2	и др. Математика в экономике: учебник, Ч. 2. Математический анализ http://biblioclub. ru/index. php? page=book_view_red&book_id=86078

Перечень программного обеспечения

№	Наименование программного обеспечения
1	Microsoft Office Excel
2	Maple
3	Maxima  (лицензия GPL)

Перечень информационно-справочных систем

№	Наименование информационно-справочных систем
1	Консультант +

МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Помещения для проведения всех видов работ, предусмотренных учебным планом, укомплектованы необходимой специализированной учебной мебелью и техническими средствами обучения. Для проведения лекционных занятий используется демонстрационное оборудование.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Методические указания по освоению дисциплины представлены в Приложении 2 к рабочей программе дисциплины.