Математический анализ (стр. 1 )

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

1.1.        Цели освоения дисциплины: оснастить обучающихся математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; дать обучающимся базовые знания по математическому анализу, необходимые для понимания дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории вероятностей и других математических дисциплин.

1.2 Задачи: развить у обучающихся логическое мышление; теоретическое освоение обучающимися современных концепций и моделей математики; формирование у обучающихся практических навыков исследования и применения аппарата математического анализа в структурах экономики.

МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ Цикл (раздел) ОП: Б1.Б.7 Связь с другими дисциплинами учебного плана

Перечень предшествующих дисциплин	Перечень последующих дисциплин, видов работ
Экономическая теория Линейная алгебра	Теория вероятностей и математическая статистика Методы оптимизации Моделирование финансовых рисков Моделирование рынка ценных бумаг Эконометрика Математические методы и модели кредита Дипломное проектирование

ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Формируемые компетенции	Осваиваемые знания, умения, владения
Код	Наименование
Общепрофессиональные компетенции (ОПК)
ОПК - 3	Способностью выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы	З Основы математического анализа, в том числе: теорию функций и отображений, методы вычисления пределов функций, нахождение производных, нахождение первообразных, методы решения дифференциальных уравнений, разложения функций в степенные ряды, необходимые для решения задач получения, хранения, обработки и анализа экономической информации;
У Применять методы математического анализа, в том числе: методы дифференциального и интегрального исчисления, теорию дифференциальных уравнений и рядов для обработки и анализа экономической информации
В Навыками осуществления расчетов, необходимых для составления экономических разделов планов, включающих математическую обработку данных методами математического анализа
Профессиональные компетенции
Аналитическая, научно-исследовательская деятельность
ПК-4	Способностью на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты	З Основы математического анализа, в том числе: теорию функций многих переменных, понятия локального и условного экстремума функции многих переменных, основные элементы теории пределов и непрерывных функций, дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений и рядов, необходимые для построения и анализа математических моделей экономических процессов
У Применять инструментарий математического анализа для решения экономических задач, в том числе: строить математические модели экономических процессов, исследовать функцию на экстремум (локальный и условный), решать простейшие дифференциальные уравнения, вычислять определенные интегралы с помощью разложения функций в степенные ряды
В Навыками применения основ математического анализа для построения математических моделей исследуемых экономических процессов

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Аудиторные занятия − очная форма обучения

Кол. час	в том числе в интерактивной форме, час.	Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание	Формируемые компетенции
Первый семестр
18	-	Лекции
12	-	Модуль 1 «Теория пределов и дифференциальное исчисление»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.1 «Функции и отображения». Понятие функции, область определения, область значений. Способы задания функции. Образ и прообраз элемента, множества. Сложная функция. Постоянная функция, монотонная функция. Взаимнооднозначное отображение, обратная функция. Классификация элементарных функций.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.2 «Предел функции» Промежутки. Понятие окрестности точки, проколотая окрестность. Понятие предельной точки множества, определение предела, геометрическая интерпретация предела функции. Понятие непрерывности функции (приращение аргумента и приращение функции, два определения непрерывности и теорема об их равносильности)	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.2 «Предел функции» Бесконечно малые функции. Ограниченные функции. Основные теоремы о бесконечно малых и ограниченных функциях. Бесконечно большие функции. Основные свойства бесконечно больших функций. Основные теоремы о пределах: критерий существования предела функции, предел постоянной функции, теоремы о пределе суммы, произведения, частного: теорема о единственности предела функции; теорема о пределе промежуточной функции: теоремы о предельном переходе в неравенствах и равенствах. Теорема о существовании предела сложной функции.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.3 «Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке» Основные теоремы о непрерывных функциях: теорема о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций; теорема о непрерывности сложной функции; теорема о непрерывности элементарных функций. Раскрытие неопределенностей: первый замечательный предел; понятие факториала; второй замечательный предел; понятие о неопределенностях. Теорема Вейерштрасса, теорема Больцано, теорема о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Типы точек разрыва.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.4.  «Дифференциальное исчисление» Понятие производной и дифференциала функции. Геометрический смысл производной, касательная и нормаль к кривой. Необходимое условие дифференцируемости функции. Основные правила дифференцирования. Основные свойства дифференциала. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Определение экстремума функции. Теоремы о функциях, дифференцируемых на промежутке: теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Правило Лопиталя.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.4.  «Дифференциальное исчисление». Исследование функции методами дифференциального исчисления: достаточные признаки монотонности и постоянства функции. Достаточный признак существования экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Критерий локального экстремума, основанный на второй производной. Понятие выпуклости, вогнутости функции. Точки перегиба. Признаки выпуклости (вогнутости) функции. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построение графика.	ОПК-3 ПК-4
6	-	Модуль 2 «Интегральное исчисление»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1 «Неопределенный интеграл». Первообразная функции. Теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл. Теорема существования. Свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования: метод разложения; подстановки; по частям; интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен; интегрирование рациональных функций и простейших иррациональных функций; интегрирование тригонометрических функций. Понятие о неберущихся интегралах.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.2 «Определенный интеграл».  Понятие интегральной суммы. определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Теорема существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.2. «Определенный интеграл» Понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом, теорема о его дифференцируемости. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о замене переменной в определенном интеграле. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур. Тема 2.3. «Несобственные интегралы» Понятие несобственных интегралов 1 и 2 рода	ОПК-3 ПК-4
36	8	Практические занятия
22	8	Модуль 1 «Теория пределов и дифференциальное исчисление»	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.1 «Отображения и функции» Понятие функции. Образ, прообраз элемента, множества. Композиция отображений. Взаимнооднозначное отображение.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.1 «Отображения и функции» Обратная функция. Графики взаимообратных функций. Действия над числовыми функциями	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.2 «Предел функции» Вычисление пределов. Неопределённость 0/0, ∞/∞, 0∙∞. Первый замечательный предел	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.2 «Предел функции» Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей: , . Второй замечательный предел.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Самостоятельная работа по темам: «Отображения и функции, «Предел функции».	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.3 «Непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке» Исследование функции на непрерывность. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность. Типы точек разрыва.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.4. «Дифференциальное исчисление» Нахождение производных элементарных функций. Нахождение производной сложной функции. Нахождение дифференциала функции.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.4. «Дифференциальное исчисление» Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Правило Лопиталя.	ОПК-3 ПК-4
4	-	Тема 1.4. «Дифференциальное исчисление» Исследование функции методами дифференциального исчисления: достаточные признаки монотонности и постоянства функции; достаточные признаки существования экстремума функции (признак, основанный на 1-й производной и признак, основанный на 2-й производной); достаточные признаки выпуклости, вогнутости функции; достаточное условие существования точек перегиба; асимптоты вертикальные и наклонные. Общая схема исследования функции и построение графика.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Контрольная работа по модулю 1 по темам «Непрерывность функции», «Дифференциальное исчисление».	ОПК-3 ПК-4
14	-	Модуль 2 «Интегральное исчисление»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1. «Неопределенный интеграл» Методы интегрирования: метод разложения; подстановки, подведения под знак дифференциала.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1«Неопределенный интеграл». Интегрирование по частям.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1. «Неопределенный интеграл». Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование рациональных функций.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема2.1.  «Неопределенный интеграл». Интегрирование тригонометрических функций, простейших иррациональных выражений.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.2. «Определенный интеграл» Вычисление определенных интегралов. Вычисление площадей плоских фигур	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.3. «Несобственные интегралы» Исследование на сходимость несобственных интегралов 1 и 2 рода.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Модульная контрольная работа «Интегрирование»	ОПК-3 ПК-4
Второй семестр
18	-	Лекции
6	-	Модуль 1 «Теория функций многих переменных»	ОК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.1. «Дифференцируемые функции многих переменных». Определение функции многих переменных. Открытый шар, открытый проколотый шар. Окрестность точки. Предельная точка множества. Предел функции многих переменных. Понятие бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной функции многих переменных. Основные теоремы о пределах, о бесконечно малых и ограниченных функциях многих переменных. Полное приращение функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных (два определения непрерывности и теорема об их равносильности). Теорема о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций многих переменных.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.1. «Дифференцируемые функции многих переменных». Частные приращения и частные производные. Определение дифференцируемой функции многих переменных. Полный дифференциал. Понятие сложной функции многих переменных. Теорема о непрерывности сложной функции. Теорема о производной сложной функции. Понятие неявной функции. Теорема о неявной функции. Теорема о производных неявной функции. Производная по направлению. Теорема о производной по направлению. Градиент. Теорема о градиенте. Гиперповерхность уровня. Касательная гиперплоскость к гиперповерхности уровня	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.2. «Локальный экстремум функции многих переменных» Понятие внутренних и граничных точек множества. Понятие локального экстремума функции многих переменных. Критическая точка градиента. Необходимое условие существования локального экстремума. Понятие замкнутого, ограниченного множества. Теорема о функции, непрерывной на компакте. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных второго порядка. Гессиан. Достаточные условия существования локального экстремума. Дифференциал второго порядка функции многих переменных. Тема 1.3. «Условный экстремум функции многих переменных». Понятие условного экстремума функции многих переменных. Уравнение связи. Функция Лагранжа. Необходимые и достаточные условия существования условного экстремума. Случай функции двух переменных.	ОПК-3 ПК-4
12	-	Модуль 2 «Дифференциальные уравнения. Ряды»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1.  «Дифференциальные уравнения. Основные понятия». Понятие дифференциального уравнения n-ого порядка. Решение, общее решение, частное решение, общий интеграл дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши. Простейшие дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1. «Дифференциальные уравнения» Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка (однородные и неоднородные). Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Теоремы об общем решении однородного уравнения в зависимости от корней характеристического уравнения. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения по виду правой части.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.2. «Числовые ряды». Определение числового ряда. Частные суммы. Сходимость, расходимость ряда. Ряд бесконечной геометрической прогрессии. Ряд Стирлинга. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд. Необходимый признак сходимости ряда. Следствие. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.3. «Знакопеременные ряды». Понятие знакопеременного ряда. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Следствие. Абсолютная и условная сходимость.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.4. «Степенные ряды». Понятие функционального ряда. Степенной ряд. Область сходимости. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена  элементарных функций.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.5. «Применение рядов к приближенным вычислениям». Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.	ОПК-3 ПК-4
36	8	Практические занятия
16	6	Модуль 1 «Теория функций многих переменных»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.1. «Дифференцируемые функции многих переменных». Частные производные. Полный дифференциал. Производная сложной функции.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.1.  «Дифференцируемые функции многих переменных» Нахождение производных высших порядков. Проверка тождеств, содержащих частные производные высших порядков. Производные неявной функции двух и более переменных. Дифференциал второго порядка.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.1. «Дифференцируемые функции многих переменных» Производная по направлению, градиент. Касательная гиперплоскость к гиперповерхности уровня. Построение линии уровня функции f(x) в точке, касательной и вектора нормали к линии уровня в точке .	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.2. «Локальный экстремум функции многих переменных» Исследование функции на локальный экстремум	ОПК-3 ПК-4
2	2	Деловая игра по теме «Локальный экстремум функции многих переменных».  Цель игры – обучение моделированию простейшего экономического процесса. Постановка задачи.  Фирма реализует товар в двух регионах по ценам , зависящим от объемов выпуска. Задана функция валовых издержек. Требуется: построить модель задачи о максимизации прибыли; указать экономически обусловленную область изменения объемов выпуска продукции; найти оптимальные объемы поставок товара в указанных регионах, при которых прибыль фирмы будет максимальной; указать оптимальные цены на товар, которые назначит фирма в данных регионах. Группа делится на три команды, каждая из которых получает индивидуальное задание.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 1.3. «Условный экстремум функции многих переменных» Исследование функции на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 1.3. «Условный экстремум функции многих переменных» Функция полезности и потребительский спрос. Бюджетное ограничение.  Кривые безразличия. Задача максимизации функции полезности.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Контрольная работа по модулю 1 по темам «Дифференцируемые функции многих переменных», «Локальный экстремум функции многих переменных», «Условный экстремум функции многих переменных».	ОПК-3 ПК-4
20	2	Модуль 2 «Дифференциальные уравнения. Ряды»	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1. «Дифференциальные уравнения» Решение простейших дифференциальных уравнений n-го порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1. «Дифференциальные уравнения» Решение линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Уравнения Бернулли. Задача Коши.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.1. «Дифференциальные уравнения» Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.2. «Числовые ряды». Определение числового ряда. Частичная сумма ряда. Остаток. Сходимость и расходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Следствие. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: первый и второй признаки сравнения.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.2. «Числовые ряды». Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: Даламбера, Коши, интегральный.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.3. «Знакопеременные ряды». Понятие знакопеременного ряда. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Исследование ряда на абсолютную и условную сходимость.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.4.  «Степенные ряды». Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда, интервал сходимости, радиус сходимости степенного ряда. Исследование сходимости степенного ряда.	ОПК-3 ПК-4
2	2	Тема 2.5 «Применение рядов к приближенным вычислениям» Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в ряд Маклорена элементарных функций. Применение степенных рядов к приближенному вычислению значений функций.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Тема 2.5. «Применение рядов к приближенным вычислениям» Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов и к решению дифференциальных уравнений.	ОПК-3 ПК-4
2	-	Контрольная работа по модулю 2 по темам «Дифференциальные уравнения», «Числовые ряды», «Знакопеременные ряды», «Степенные ряды», «Применение рядов к приближенным вычислениям».	ОПК-3 ПК-4

Аудиторные занятия  – заочная форма обучения