Задачи на движение (стр. 4 )

Тренировочные задачи:

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 30 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 18 км/ч больше скорости другого? (50) Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 10 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 78 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. (63) Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. (80) Часы со стрелками показывают 3 часа ровно. Через сколько минут минутная стрелка в девятый раз поравняется с часовой? (540) Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч. (108)

III. Задачи на движение по воде.

Особенностью задач на движение по воде является тот факт, что на собственную скорость плывущего тела влияет скорость течения воды. Сама  скорость течения считается неизменной. Собственная скорость плывущего тела – это его скорость в стоячей воде (озеро, пруд и т. д.). При движении по течению к собственной скорости плывущего тела прибавляется скорость течения, а при движении против течения – от собственной скорости тела отнимается скорость течения. Скорость плота считается равной скорости течения.

Задача 1: «Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.»

Пусть х км/ч – скорость течения реки.

Расстояние, км	Скорость, км/ч	Время, ч
Против течения	112	11 – х
По течению	112	11 + х		На 6 ч меньше

Уравнение: 
= 6

Ответ: 3 км/ч.

Задача 2: «Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч».

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки.

Расстояние, км	Скорость, км/ч	Время, ч
Против течения	225	х – 1
По течению	225	х + 1		На 2 ч меньше

Уравнение:
= 2

Ответ: 16 км/ч.

Задача 3: «Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?»

Пусть х км – расстояние, которое прошел теплоход.

Скорость, км/ч	Расстояние, км	Время, ч
По течению	25 + 3=28	х/2	30 – 5=25
Против течения	25 – 3=22	х/2

Уравнение:
= 25

Ответ: 616 км.

Тренировочные задачи:

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч. (11) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. (5) Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. (16) От пристани A к пристани B отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч. (20) Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте  В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна  7 км/ч. (2) Пристани А и В расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоян­ной скоростью из А в В. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч. (10) Расстояние между пристанями А и В равно 120 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч. (22)

Самостоятельная работа

Вариант 1

Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 180 км. На сле­ду­ю­щий день он от­пра­вил­ся об­рат­но в А со ско­ро­стью на 8 км/ч боль­ше преж­ней. По до­ро­ге он сде­лал оста­нов­ку на 8 часов. В ре­зуль­та­те ве­ло­си­пе­дист за­тра­тил на обратный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

До­ро­га между пунк­та­ми А и В со­сто­ит из подъёма и спус­ка, а её длина равна 19 км. Ту­рист прошёл путь из А в В за 13 часов. Время его дви­же­ния на спус­ке со­ста­ви­ло 6 часов. С какой ско­ро­стью ту­рист шёл на спус­ке, если ско­рость его дви­же­ния на подъёме мень­ше ско­ро­сти дви­же­ния на спус­ке на 1 км/ч?

Задачи на работу

Задачи на работу схожи с задачами на движение. Для их решения используется такая же математическая модель, что и при решении задач на движение. Речь идет о ключевой формуле:

V = p*t, где

V – объем работы;

p – производительность труда, скорость работы (объем работы, выполненной за единицу времени);

t – время работы.

Если в задаче объем в явном виде не задан, то его можно принять равным единице.

Задачи на совместную работу решаются с помощью такой же математической модели, что и задачи на движение навстречу: роль скорости сближения здесь играет общая производительность.

Ключевая задача: «Первый мастер может выполнить некоторую работу за х часов, а второй может выполнить эту же работу за у часов. За какое время они выполнят эту работу, работая вместе?»

Так как объем работы не задан, то можно принять его равным единице. Тогда:

- производительность первого мастера, то есть такую часть работы он выполняет за 1 час;

- производительность второго мастера;

  - общая производительность мастеров, то есть такую часть работы они выполняют за 1 час, работая вместе;

- время, за которое они выполнят эту работу, работая вместе.

Также в задачах на работу выделяют группу задач на трубы и бассейны, решение которых не имеет никаких отличий от решения других задач на работу.

Задача 1: «Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?»

Объем работы принимаем равным единице.

- производительность первого мастера;

- производительность второго мастера;

- общая производительность;

1:  = 4 (ч) – время, за которое мастера выполнят работу, работая вместе.

Ответ: 4 ч.

Задача 2: «Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?»