Задачи на движение (стр. 1 )

Задачи на движение

Для успешного решения задач на движение нужно твердо знать ключевую формулу – формулу движения, в которой связаны путь, скорость и время движения:

S=vt, где

S – это пройденный путь или расстояние;

v – это скорость движения, то есть расстояние, пройденное за единицу времени;

t – время движения.

Зная эту формулу, можно легко вывести из нее формулу для скорости или времени: v=S/t; t=S/v.

Практические советы для успешного решения:

Вспоминаем ключевую формулу S=vt. Для наглядности можно ее записать. Определяемся, какую величину обозначим за икс, расписываем через икс все данные. Особое внимание обращаем на величины, входящие в формулу-ключ: скорость, время, расстояние. Эти величины – основа решения задач на движение. Зачастую бывает удобно всю информацию разместить в таблице. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым единицам измерения. Записываем уравнение. Решаем уравнение. При получении двух корней, за ответ берем корень, подходящий по условию задачи.

Типы задач на движение:

Задачи на движение по прямой. Задачи на движение по окружности. Задачи на движение по воде.

I. Задачи на движение по прямой

Типы задач на движение по прямой:

Задачи на движение одного объекта. Задачи на движение двух объектов. Задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях. Задачи на движение в одном направлении. Задачи на среднюю скорость движения. Задачи на движение протяженных объектов, например, поездов.

Задачи на движение одного объекта.

Используя формулы, найдите неизвестные величины в таблице:

Расстояние	124 км	595 км
Скорость	62 км/ч	28 км/ч
Время	7 ч	3 ч

Покажем теперь на примере, как составить уравнение задачи на движение.

Задача 1: «Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.»

Как составить таблицу по условию задачи? Вот один из приемов.

В первый столбец таблицы нужно записать ту величину, которая по условию задачи известна. В нашем примере – это расстояние. Во второй столбец нужно записать ту величину, которую нужно найти. Эту величину удобно брать за икс, тогда решив уравнение, мы сразу ответим на вопрос задачи. В нашем примере неизвестная величина – это скорость. В третий столбец запишем ту величину, которая осталась. В нашем примере – это время.

Расстояние, км	Скорость, км/ч	Время, ч
Из А в В	70	х – 3		=
Из В в А	70	х

Теперь нужно найти в условии задачи предложение, которое свяжет время, затраченное на путь из А в В, и время, затраченное на путь из В в А. Вот оно: «В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B». Теперь можно составить уравнение:

Решаем уравнение и получаем ответ: 10 км/ч.

Рассмотрим еще один пример.

Задача 2: «Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Пешеход прошёл путь из А в В за 2 часа 45 минут. Время его движения на спуске составило 1 час 15 минут. С какой скоростью пешеход шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 2 км/ч? Ответ выразите в км/ч».

Приведем величины задачи к единым единицам измерения:

2 ч 45 мин = 2 ч = ч; 1 ч 15 мин = 1 ч =  ч.

Теперь составим таблицу.

Время, ч	Скорость, км/ч	Расстояние, км
Подъем		х – 2	(х – 2)	8 км
Спуск	х	х

Уравнение:  (х – 2) +  х = 8.

Ответ: 4 км/ч.

Тренировочные задачи.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч. (7) Дорога между пунктами А и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км. Турист прошёл путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 1 час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его движения на подъёме меньше скорости движения на спуске на 3 км/ч? (4) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 128 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч. (16)

Задачи на движение двух объектов

Задача 1: «Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч».

Если расстояние явно не задано, можно ввести вспомогательную переменную, которая после составления уравнения сократится.

Расстояние, км	Скорость, км/ч	Время, ч
Первый автомобиль	S	x		=
Второй автомобиль	S	24	x+16

Составляем уравнение:

Разделим обе части уравнения на S:

Ответ: 32 км/ч.

Задача 2: «Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.»

Расстояние, км	Скорость, км/ч	Время, ч
Велосипедист	75	х		На 6 ч >
Автомобилист	75	х+40

Составляем уравнение:

Ответ: 10 км/ч.

Тренировочные задачи:

Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч. (52) Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч. (16) Два велосипедиста одновременно отправились в 88–километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч. (8) Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч. (45) Иван и Алексей договорились встретиться в N-ске. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в 275 км от N-ска и едет с постоянной скоростью 75 км/ч. Иван в момент разговора находится в 255 км от N-ска и ещё должен по дороге сделать 50-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в N-ск одновременно с Алексеем? (90)

Задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях.

При решении задач на встречное движение полезно использовать понятие «скорость сближения», которая находится сложением скоростей движущихся объектов. Как связаны между собой расстояние, скорость и время при движении тел навстречу друг другу?