Wie lässt sich der Shapley-Wert eindeutig bestimmen und interpretieren?

Im Kontext kooperativer Spiele mit übertragbarer Nutzenfunktion (TU-Spiele) stellt der Shapley-Wert eine zentrale Lösungskonzeption dar, die auf der Idee der fairen Aufteilung des Gesamtwerts einer Koalition basiert. Diese Aufteilung erfolgt unter Berücksichtigung des durchschnittlichen Grenzbeitrags jedes Spielers über alle möglichen Reihenfolgen seines Eintritts in die Koalition.

woraus sich die symmetrische Struktur des Beitrags jedes Spielers zu jeder Teilkoalition ergibt. Zugleich gilt

was die Effizienzbedingung sicherstellt – der Gesamtwert einer Koalition wird vollständig aufgeteilt, ohne Verluste.

Ein bemerkenswerter Aspekt der Definition liegt in der Möglichkeit, jeden einzelnen Komponentenwert $\text{Sh}_i(I, v)$ als Funktion von $\text{Sh}_1(I, v)$ und bekannten Größen auszudrücken. Das resultiert aus einer rekursiven Struktur:

für alle $i \neq 1$. Diese Beziehung ermöglicht eine analytische Herleitung der individuellen Shapley-Werte, ohne dass jede Permutation explizit berechnet werden muss.

Über alle $\#I!$ möglichen Permutationen gemittelt ergibt sich der Shapley-Wert:

Diese Definition interpretiert den Shapley-Wert als Erwartungswert des Grenzbeitrags eines Spielers unter gleichverteilter Unsicherheit über die Reihenfolge der Koalitionsbildung.

Ein klassisches Beispiel illustriert die Verteilung: In einem Spiel mit drei Spielern, bei dem Spieler 1 und 2 jeweils einen rechten Handschuh und Spieler 3 einen linken Handschuh besitzen, ergibt ein Paar den Wert 1, einzelne Handschuhe haben keinen Nutzen. Die Koalitionswerte lauten:

Bei allen möglichen Reihenfolgen der Spieler lässt sich der Grenzbeitrag von Spieler 3 ermitteln. In vier der sechs Permutationen bringt sein Eintritt den Wert 1, in den übrigen zwei den Wert 0. Somit beträgt sein durchschnittlicher Beitrag

Der Shapley-Wert erfüllt mehrere zentrale Axiome: Effizienz, Symmetrie, Linearität sowie das Nullspieleraxiom, nach dem ein Spieler, dessen marginaler Beitrag stets null ist, keinen Anteil erhält. Dennoch liegt der Shapley-Wert nicht notwendigerweise im Kern eines Spiels. Dies zeigt sich im Handschuhbeispiel, wo der einzige Kernauszahlungspunkt $(0, 0, 1)$ ist. Der Grund liegt in der Instabilität gegenüber Blockaden durch Untergruppen, etwa durch $\{2, 3\}$, die eine alternative Allokation vorschlagen können, bei der 3 mehr als $\frac{2}{3}$ erhält und 2 ebenfalls besser gestellt ist.

Der ökonomische Gehalt dieser Theorie wird deutlich, wenn man das Verhalten der Spieler im Gleichgewicht betrachtet. In Situationen asymmetrischer Ressourcenverteilung – etwa im Handschuhspiel – reflektiert der Shapley-Wert sowohl die Knappheit als auch die strategische Substituierbarkeit bestimmter Spieler. Dabei bleibt er stets konsistent mit der individuellen Wertschöpfung, aber nicht notwendigerweise stabil gegenüber Gruppenabweichungen.

Wichtig ist zu verstehen, dass die Berechnung des Shapley-Werts auf vollständiger Information und symmetrischer Erwartungsbildung basiert. In realen Märkten oder politischen Allianzen können jedoch asymmetrische Informationen, Friktionen und Koordinationsprobleme dazu führen, dass faktische Allokationen vom theoretischen Wert abweichen. Auch berücksichtigt der Shapley-Wert keine Verhandlungsmacht, strategisches Verhalten oder exogene Restriktionen. Die strukturelle Eleganz der Lösungskonzeption steht daher in Spannung zur praktischen Implementierbarkeit in komplexen, dynamischen Systemen. Seine Stärke liegt primär in der normativen Analyse und der Untersuchung gerechter, axiomatisch fundierter Verteilungen in kooperativen Kontexten.

Die Auswirkungen externer Effekte und Pareto-Effizienz im Kontext der Walrasianischen Gleichgewichte

Das Coase-Theorem besagt, dass, unter bestimmten Bedingungen, die Zuweisung von Rechten zu Marktteilnehmern unabhängig von ihrer anfänglichen Verteilung die Gesamtmenge der externen Effekte nicht beeinflussen sollte. Dies bedeutet, dass es möglich sein könnte, Marktgleichgewichte zu erreichen, in denen alle beteiligten Parteien durch Verhandlungen ohne staatliche Intervention zu einer effizienten Lösung gelangen. In ihrer Arbeit weisen Hervés-Beloso und Moreno-García (2022) jedoch darauf hin, dass diese Neutralität in Bezug auf externe Effekte nur unter sehr speziellen Umständen erfüllt wird, insbesondere wenn die Definition der Rechte (wie Emissionsrechte) die Effizienz des Gleichgewichts beeinflusst.

Dies ist besonders auffällig, wenn man sich die Funktionsweise von Märkten mit externen Effekten ansieht. In einem Markt mit zwei Konsumenten, die unterschiedliche Mengen an Rechten an einer Ressource halten, kann die Einführung eines externen Effekts die Preisbildung erheblich verändern. Das Beispiel mit den Konsumenten 1 und 2, die jeweils unterschiedliche Mengen an Emissionsrechten besitzen, verdeutlicht, dass die Zuteilung von Rechten und die entsprechenden Präferenzen für Konsumgüter das endgültige Marktgleichgewicht und dessen Effizienz entscheidend beeinflussen können.

Ein weiteres bemerkenswertes Ergebnis dieses Modells ist, dass die Existenz von externen Effekten und die Art und Weise, wie diese behandelt werden, Einfluss auf die Pareto-Effizienz des Marktes haben können. Insbesondere die Frage, wie Emissionsrechte oder Konsumrechte verteilt werden, kann darüber entscheiden, ob ein Marktgleichgewicht optimal oder suboptimal ist. Die rechtliche Zuweisung dieser Rechte hat dabei nicht nur Auswirkungen auf die Verteilung des Wohlstands, sondern auch auf die Umverteilung von Ressourcen, die zu einer Verbesserung der Gesamtwohlfahrt führen kann.

Es wird deutlich, dass die Idee der "Coase-Neutralität", die ursprünglich besagt, dass das Gesamtniveau von externen Effekten unabhängig von der Verteilung der Rechte bleibt, nicht immer aufrechterhalten werden kann. Besonders in Märkten, in denen die Zuweisung von Rechten eine wichtige Rolle spielt, muss die Frage nach der optimalen Verteilung der Ressourcen und der externen Effekte immer wieder neu überdacht werden. So lässt sich feststellen, dass externe Effekte in vielen modernen Wirtschaftsansätzen nicht einfach als triviale Störungen betrachtet werden können, die durch eine einfache Marktlösung ausgeräumt werden. Vielmehr erfordert es ein tiefes Verständnis der Marktstruktur und der jeweiligen rechtlichen Rahmenbedingungen, um zu effektiven und effizienten Lösungen zu gelangen.

Ein weiterer wichtiger Punkt, der hier von Bedeutung ist, betrifft die Realität der Marktwirtschaft. In der Praxis sind Märkte oft von Unvollkommenheiten geprägt, und es gibt viele Fälle, in denen die Annahmen des Coase-Theorems nicht erfüllt sind. Beispielsweise kann es in realen Märkten zu Informationsasymmetrien kommen, die Verhandlungen und die effektive Zuweisung von Rechten erschweren. Diese Unvollkommenheiten können dazu führen, dass Märkte nicht in der Lage sind, Pareto-effiziente Ergebnisse zu erzielen, selbst wenn die theoretischen Bedingungen dies vermuten lassen.

Zusätzlich zeigt das Beispiel der externen Effekte, dass die Berücksichtigung von Marktunvollkommenheiten eine wichtige Rolle spielt. Wenn externe Effekte wie Emissionen oder Umweltverschmutzung nicht angemessen berücksichtigt werden, können Märkte ineffizient werden. Daher müssen wirtschaftspolitische Interventionen wie Steuern, Subventionen oder Emissionsrechte als Mittel zur Korrektur dieser Marktmängel in Betracht gezogen werden, um die gesamtwirtschaftliche Effizienz zu fördern.

Existenz eines Walrasianischen Gleichgewichts: Eine Analyse der Bedingungen und Konsequenzen

Die Untersuchung der Existenz eines strikt positiven Walrasianischen Gleichgewichts ist ein zentraler Aspekt der allgemeinen Gleichgewichtstheorie, die mit den Konzepten der Überschussnachfrage und der Preisbildung arbeitet. Der Walras’sche Gesetz besagt, dass bei gegebenen Preisen der Überschuss an Nachfrage in einem Marktsystem immer null ist. Das bedeutet, dass für jedes Preisniveau, das sich innerhalb der konvexen Menge der möglichen Preise befindet, die Überschussnachfrage in einer Art und Weise strukturiert ist, dass sie das Gleichgewicht des Marktes garantiert, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind.

Ein solches Gleichgewicht entsteht, wenn die Überschussnachfrage an einem Punkt auf der Preisfläche, der durch $S^{1,L-1}$ repräsentiert wird, 'vergeht', das heißt, der Überschussnachfragvektor wird null. In geometrischer Hinsicht bedeutet dies, dass der Vektor der Überschussnachfrage ZEpo(p) entlang der Tangentialebene an $S^{1,L-1}$ verläuft und dort in den inneren Bereich zeigt, was das Erreichen eines Gleichgewichts markiert.

Ein weiteres interessantes Konzept in der Walrasianischen Theorie ist das der freien Entsorgbarkeit, das auftritt, wenn man die Randbedingungen, die die Überschussnachfrage einschränken, lockert. In solchen Fällen genügt es, wenn die Überschussnachfrage den Bedingungen (H), (W) und (C) entspricht, ohne die strengen Anforderungen an die Randbedingung. In diesem Fall existiert ein freies Entsorgungs-Walrasianisches Gleichgewicht, was bedeutet, dass es möglich ist, eine Preisstruktur zu finden, bei der Überschussnachfrage nur in dem Sinne existiert, dass sie nicht positiv ist. Diese Art von Gleichgewicht beschreibt einen Markt, in dem das Angebot auf die Nachfrage trifft, aber nicht zwingend auf den Punkt, an dem alle Märkte gleichzeitig in einem Zustand der Gleichgewichtspreise sind.

Zusätzlich zu den oben erwähnten Modellen, die auf der Annahme basieren, dass die Überschussnachfrage als Funktion und nicht als Korrespondenz betrachtet wird, gibt es auch Fälle, in denen die Reaktionen der Konsumenten und Produzenten als Korrespondenzen behandelt werden müssen. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn Produzenten unter konstanten Skalenerträgen arbeiten oder wenn Konsumenten Güter als perfekte Substitute betrachten. In solchen Fällen können die Reaktionen der Marktteilnehmer nicht als eindeutige Funktionen beschrieben werden, sondern erfordern die Berücksichtigung mehrerer möglicher Entscheidungen, die als Mengen von Antworten dargestellt werden.

In der Theorie eines allgemeinen Walrasianischen Gleichgewichts muss man die Suche nach einem Gleichgewichtspreis ausweiten und die Einheiten auf der Preisfläche in Betracht ziehen, die nicht nur durch einfache Einheitsdreiecke definiert sind. Ein alternativer Ansatz ist, eine neue Preisraumstruktur zu finden, die es ermöglicht, sowohl positive als auch null- oder sogar negative Preise zu berücksichtigen. Hierfür sind mathematische Modelle erforderlich, die es erlauben, die Bedingungen für das Gleichgewicht unter den Annahmen einer allgemeinen Walrasianischen Theorie zu formulieren.

Die Bedingungen für das allgemeine Walrasianische Gleichgewicht, bei dem sowohl positive, null als auch negative Preise möglich sind, beruhen auf der Annahme, dass der Überschussnachfragesatz als Korrespondenz betrachtet wird. In dieser erweiterten Form muss das Überschussnachfragemodell keine strikte Exklusivität von Preisniveaus erzwingen, sondern vielmehr ermöglichen, dass Preise in einem breiteren Spektrum von Marktsituationen realisiert werden können.

Die umfassende Existenz eines Walrasianischen Gleichgewichts zu verstehen, erfordert also nicht nur eine mathematische Modellierung der Interaktionen zwischen Konsumenten und Produzenten, sondern auch eine tiefgehende Auseinandersetzung mit den Randbedingungen und der Form der Überschussnachfragemap. Der Übergang von einem strikt positiven Gleichgewicht zu einem freien Entsorgungs-Walrasianischen Gleichgewicht verdeutlicht die Flexibilität und Komplexität der Modelle und zeigt, dass die Existenz eines Gleichgewichts unter verschiedenen Bedingungen und Einschränkungen sich als eine dynamische Herausforderung herausstellt.

Wie stabil ist das Gleichgewicht in der Wettbewerbstheorie?

Das Konzept des Gleichgewichts in der Wirtschaftstheorie ist tief verwurzelt in den Arbeiten von Ökonomen wie McKenzie, McLennan und anderen, die versucht haben, die Existenz und Stabilität von Wettbewerbsgleichgewichten in verschiedenen Marktmodellen zu untersuchen. Im Kern geht es bei der Untersuchung von Gleichgewichten darum, herauszufinden, wie sich die verschiedenen Akteure in einem Markt verhalten, wenn ihre Entscheidungen miteinander in Einklang stehen. Diese Gleichgewichte sind nicht nur theoretische Konstrukte, sondern bilden die Grundlage für die Analyse realer Wirtschaftssysteme.

Ein zentrales Problem, das bei der Bestimmung von Gleichgewichten auftaucht, ist die Komplexität, die sich bei größeren und komplexeren Märkten ergibt. Die Anzahl der Akteure und die Vielfalt an Präferenzen und Strategien können die Berechnung von Gleichgewichten erschweren. In den frühen Arbeiten wurde gezeigt, dass es algorithmische Methoden gibt, um Gleichgewichte zu berechnen, die jedoch unter bestimmten Bedingungen nicht immer zu einem stabilen Ergebnis führen. Es sind fortlaufend neue Techniken erforderlich, um mit dieser Komplexität umzugehen, wie die von McLennan entwickelten fortschrittlichen Verfahren der Fixpunktberechnung.

Die klassische Theorie des allgemeinen Gleichgewichts, wie sie von Arrow und Debreu formuliert wurde, bietet einen eleganten Rahmen, um die Bedingungen zu definieren, unter denen ein Wettbewerbsgleichgewicht existiert. Doch diese Theorie bleibt in der Praxis oft schwer anwendbar, vor allem in Märkten mit unvollständigen Informationen oder bei der Berücksichtigung von externen Effekten, wie sie von Meade und anderen untersucht wurden. Auch in solchen Märkten kann die Bestimmung von Gleichgewichten ein schwieriges Unterfangen sein.

Es ist wichtig zu verstehen, dass das Konzept des Wettbewerbs- oder Marktgleichgewichts nicht nur eine mathematische Fragestellung ist, sondern auch erhebliche wirtschaftspolitische Implikationen hat. Wenn Märkte effizient funktionieren, wie es die Theorie des Wettbewerbsgleichgewichts vorgibt, dann können sie zu einer optimalen Allokation von Ressourcen führen. Doch die Realität sieht oft anders aus: Märkte können versagen, etwa durch Monopole, asymmetrische Informationen oder externe Effekte, die nicht in den Preismechanismus einfließen. In solchen Fällen kann das sogenannte "Wohlfahrtsoptimum" nicht erreicht werden, und es bedarf zusätzlicher Eingriffe, wie sie durch McLaren oder Meagher thematisiert werden.

Die moderne Diskussion um Wettbewerbsgleichgewichte bezieht sich häufig auf die Grenzen der klassischen Modelle und fordert eine Erweiterung dieser Theorien. So stellen McLennan und andere in ihren neueren Arbeiten fest, dass Gleichgewichte nicht immer stabil sind, insbesondere in dynamischen Märkten oder bei zunehmender Komplexität der Marktstrukturen. In diesem Zusammenhang ist auch das sogenannte "Limit-Theorem" von McKenzie von Bedeutung, das auf die Schwierigkeiten hinweist, die bei der Berechnung von Gleichgewichten in unendlich großen Märkten auftreten.

Neben diesen theoretischen und mathematischen Aspekten spielt auch die empirische Forschung eine immer wichtigere Rolle. Die empirische Validierung der Gleichgewichtstheorien ist entscheidend, um festzustellen, wie gut diese Modelle in der realen Welt anwendbar sind. So können neue Datenanalysen dazu beitragen, die Annahmen und Ergebnisse der klassischen Theorie zu überprüfen und weiterzuentwickeln. Die Analyse von Marktdaten und das Testen von Gleichgewichtsvorhersagen durch Methoden wie die Kointegration oder die Nutzung von Marktmodellen in Echtzeit sind nur einige der aktuellen Ansätze, die von Forschern wie McNew oder Milgrom entwickelt wurden.

Das Verständnis von Marktgleichgewichten erfordert nicht nur Kenntnisse in Wirtschaftstheorie, sondern auch ein Gespür für die tatsächlichen Bedingungen und Dynamiken von Märkten. Ein gutes Gleichgewicht in einem Modell ist nicht immer gleichbedeutend mit einem guten Gleichgewicht in der realen Wirtschaft. Marktversagen, wie sie in verschiedenen Branchen beobachtet werden können, erfordern oft tiefere Eingriffe und die Anpassung von Modellen an die sich ständig verändernden Realitäten von Wettbewerb und Märkten.

Wie beeinflussen Marktstrukturen die Effizienz von Wettbewerb und Wohlfahrt?

Marktstrukturen sind ein zentrales Thema in der ökonomischen Analyse, da sie die Art und Weise bestimmen, wie Märkte funktionieren, und direkten Einfluss auf das wirtschaftliche Wohlergehen haben. Einer der Schlüsselbegriffe, der häufig in diesem Kontext diskutiert wird, ist das Wettbewerbsmodell, das auf den Prinzipien der Effizienz und der optimalen Ressourcenallokation basiert. Aber die Realität ist komplexer als das theoretische Modell des perfekten Wettbewerbs. Marktunvollkommenheiten, wie Monopole und Oligopole, können das wirtschaftliche Gleichgewicht erheblich stören und zu suboptimalen Ergebnissen führen.

In einer idealen Marktstruktur mit vollständigem Wettbewerb werden die Preise von Angebot und Nachfrage bestimmt, ohne dass es einer externen Intervention bedarf. In dieser Struktur sind die Ressourcen effizient zugeteilt, und es gibt keine Möglichkeit für einen Akteur, den Preis in einem bedeutenden Ausmaß zu beeinflussen. Ein solcher Markt führt zu einem Zustand der Pareto-Effizienz, bei dem niemand besser gestellt werden kann, ohne jemand anderen schlechter zu stellen. Das Wettbewerbsmodell beruht auf dem Prinzip, dass durch freien Marktzugang und Konkurrenz optimale Produktions- und Konsummuster entstehen.

Ein weiteres entscheidendes Konzept in diesem Bereich ist das des „Wohlfahrtsverlusts“, der entsteht, wenn der Wettbewerb eingeschränkt wird und Märkte nicht effizient arbeiten. In einem monopolistischen Markt führt der Wohlfahrtsverlust dazu, dass die Konsumenten weniger konsumieren als in einem Markt mit freiem Wettbewerb, während der Monopolist höhere Gewinne erzielt. Dieser Verlust an sozialer Wohlfahrt ist ein zentrales Thema in der Untersuchung von Marktstrukturen und den möglichen Eingriffen der Regierung, um das Marktgleichgewicht zu verbessern. Marktkontrollen, wie etwa die Regulierung von Preisen oder die Förderung von Wettbewerb durch Anti-Monopol-Gesetze, sind mögliche Maßnahmen zur Bekämpfung der negativen Effekte von Monopolen.

Eine spannende Frage ist, wie in diesen Marktstrukturen das Konzept der Fairness und Gerechtigkeit berücksichtigt werden kann. In einigen Fällen, wie zum Beispiel in Märkten für öffentliche Güter, können Kooperationsmechanismen oder spezifische Regelungen notwendig sein, um eine gerechte Verteilung der Ressourcen zu erreichen. Hierbei kann die Anwendung von Konzepten wie dem Shapley-Wert oder dem Lindahl-Gleichgewicht von Bedeutung sein, um Lösungen für die gerechte Verteilung von Kosten und Nutzen zu finden.

Es gibt auch Untersuchungen, die sich mit der Frage befassen, ob jeder Marktteilnehmer von Wirtschaftswachstum profitieren kann. In einer idealen Welt, in der Märkte vollständig wettbewerbsfähig sind, würde das Wachstum zu einer Wohlstandssteigerung für alle führen. In der Realität jedoch ist dies nicht immer der Fall, und es gibt oft Widerstände gegen den Nutzen des Wachstums. Eine Reihe von Faktoren wie Einkommensungleichheit, Marktzugang und die Art der produzierten Güter beeinflussen, ob und wie Wachstum die Gesellschaft insgesamt verbessert.

Darüber hinaus ist es wichtig, dass wir die Komplexität der verschiedenen Marktmechanismen verstehen. Ein Markt, der als „perfekt wettbewerbsfähig“ betrachtet wird, stellt nicht immer die realistischste Annahme dar. Auch Märkte mit monopolistischer Konkurrenz oder oligopolistischen Strukturen haben in der Praxis ihre eigenen Dynamiken, die nicht immer durch einfache ökonomische Modelle erfasst werden können. Hier ist es erforderlich, eine Vielzahl von Modellen zu berücksichtigen, um die tatsächlichen Auswirkungen von Marktmacht und der internen Dynamik von Unternehmen zu verstehen.

Schließlich ist es entscheidend zu verstehen, dass Markteffizienz und Wettbewerb nicht immer dasselbe sind. Ein Markt kann wettbewerbsfähig erscheinen, jedoch aufgrund von asymmetrischen Informationen, unvollständiger Konkurrenz oder externen Effekten trotzdem ineffizient sein. Märkte funktionieren nur dann optimal, wenn alle relevanten Informationen transparent sind und die Teilnehmer in der Lage sind, auf dieser Basis rationale Entscheidungen zu treffen.