Wie Fehler in Messungen übertragen werden: Eine Untersuchung der Fehlerfortpflanzung und ihre Bedeutung

Die Fehlerfortpflanzung ist ein zentrales Thema in der physikalischen Messung und Datenanalyse. In vielen Experimenten wird eine Größe gemessen, die sich aus anderen gemessenen Werten zusammensetzt. Die Fehler, die in den einzelnen Messungen auftreten, beeinflussen direkt das Ergebnis und seine Unsicherheit. Um präzise und verlässliche Messungen zu erzielen, ist es wichtig zu verstehen, wie sich Fehler von den Einzelmessungen auf komplexere Größen übertragen. In diesem Abschnitt werden wir uns mit der linearen Fehlerfortpflanzung und deren Anwendung auf verschiedene physikalische Messgrößen befassen.

Ein grundlegendes Prinzip bei der Fehlerfortpflanzung ist die Annahme, dass der Fehler in einer Messung symmetrisch zur wahren Größe μ verteilt ist. Diese Annahme ermöglicht eine lineare Näherung der Fehlerverbreitung, wenn die Fehler klein sind und keine signifikante Abhängigkeit des Fehlers von μ über den Fehlerbereich hinweg besteht. Diese Bedingung wird jedoch nicht immer erfüllt, zum Beispiel bei der Poisson-Verteilung bei niedrigen Zählzahlen. In solchen Fällen muss eine differenzierte Betrachtung erfolgen, die über die einfache lineare Annahme hinausgeht.

Lineare Fehlerfortpflanzung

Angenommen, wir haben eine Messung $x_m \pm \delta x$ und eine Funktion $y(x)$ , die von der Messgröße $x$ abhängt. Die Fehlerfortpflanzung kann dann durch die Taylor-Entwicklung der Funktion $y$ um den Messwert $x_m$ beschrieben werden. Das bedeutet, dass wir $y(x)$ als eine Reihe von Potenzen von $\Delta x = x - x_m$ entwickeln:

y = y(x_m) + y'(x_m) \Delta x + \frac{y''(x_m)}{2!} (\Delta x)^2 + \dots

Für die Fehlerfortpflanzung nehmen wir an, dass die höheren Potenzen von $\Delta x$ vernachlässigbar sind und der Fehler in erster Näherung linear ist. Dies führt zu der Beziehung, dass der Fehler in $y$ als Produkt der Ableitung der Funktion $y$ und des Fehlers in $x$ gegeben ist:

\delta y = |y'(x_m)| \delta x

Diese einfache Formel beschreibt die Fehlerfortpflanzung für einfache Funktionen. Beispielsweise gilt für eine lineare Funktion $y = ax^n$ der Fehler:

\delta y = |n| \cdot \frac{\delta x}{|x|}

Für eine Exponentialfunktion $y = ae^{bx}$ ergibt sich:

\delta y = |b| \cdot \delta x

In ähnlicher Weise können Fehlerfortpflanzungen auch für trigonometrische Funktionen wie $y = \tan(x)$ oder logarithmische Funktionen wie $y = \ln(bx)$ durchgeführt werden. Die Berechnung solcher Fehlerfortpflanzungen ist ein wesentlicher Schritt für die Analyse und Interpretation von Experimentergebnissen.

Fehler bei mehreren gemessenen Größen

In der Praxis hängen viele Messgrößen von mehreren unabhängigen Variablen ab. Ein häufiges Beispiel ist die Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts $v = \frac{s}{t}$ , wobei sowohl die Länge $s$ als auch die Zeit $t$ mit Fehlern behaftet sind. In solchen Fällen muss die Fehlerfortpflanzung in Bezug auf beide Variablen berücksichtigt werden.

Wenn $y(x_1, x_2)$ eine Funktion von zwei gemessenen Größen $x_1$ und $x_2$ ist, dann ergibt sich der Fehler in $y$ durch die Taylor-Entwicklung:

\delta y = \sqrt{\left(\frac{\partial y}{\partial x_1} \delta x_1\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial x_2} \delta x_2\right)^2 + 2 \cdot \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{\partial y}{\partial x_2} \delta x_1 \delta x_2 \cdot R_{12}}

Hierbei ist $R_{12}$ der Korrelationskoeffizient zwischen den Fehlern in $x_1$ und $x_2$ . In den meisten Fällen sind die Messgrößen unkorreliert, und der Fehler vereinfacht sich zu:

\delta y = \sqrt{\left(\frac{\partial y}{\partial x_1}\right)^2 (\delta x_1)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial x_2}\right)^2 (\delta x_2)^2}

Dies gilt insbesondere, wenn die gemessenen Größen in einem Produkt auftreten, zum Beispiel bei der Berechnung der Fläche eines Rechtecks $F = ab$ . Der Fehler in der Fläche wird dann durch die Fehler in $a$ und $b$ bestimmt und kann wie folgt berechnet werden:

\delta F = \sqrt{b^2 (\delta a)^2 + a^2 (\delta b)^2}

In vielen Fällen ist es sinnvoll, relative Fehler zu verwenden, insbesondere wenn es um die Fehlerfortpflanzung in Produkten oder Quotienten geht.

Kovarianzmatrix und Fehlerellipsen

Für mehrere messbare Größen, die miteinander korreliert sind, wird die Fehlerfortpflanzung durch eine Kovarianzmatrix $V$ beschrieben. Die Kovarianzmatrix enthält alle Informationen über die Korrelationen zwischen den verschiedenen Messgrößen und ist positiv definit und symmetrisch. Sie spielt eine zentrale Rolle bei der Berechnung der Unsicherheit eines abhängigen Parameters, der von mehreren Messgrößen abhängt. In der Fehleranalyse wird häufig die Fehlerellipsen-Form verwendet, um das Unsicherheitsbereich in zwei Dimensionen darzustellen.

Für zwei Messgrößen mit normalverteilten Fehlern, wie sie in der Praxis oft vorkommen, wird die Fehlerverteilung durch eine bivariate Normalverteilung beschrieben. Die Kurven konstanten Fehlern sind dann Ellipsen, deren Form von der Korrelation der Messfehler abhängt. Für unkorrelierte Messfehler sind die Fehlerellipsen Kreise, aber bei Korrelationen wird die Ellipse verzerrt. Die Fehlerellipsen sind ein nützliches Werkzeug, um die Unsicherheit in komplexeren Experimenten visuell darzustellen.

Mehrere Funktionen von mehreren Messgrößen

In einigen Experimenten müssen mehrere Funktionen von mehreren Messgrößen gleichzeitig betrachtet werden. Ein Beispiel dafür ist das Bestimmen einer Geraden aus zwei gemessenen Punkten im Koordinatensystem. Die Fehler in der Steigung und dem Achsenabschnitt sind oft miteinander korreliert, und diese Korrelation muss bei der Fehlerfortpflanzung berücksichtigt werden.

In solchen Fällen wird eine allgemeine Fehleranalyse unter Verwendung der Fehlermatrix durchgeführt, wobei jede Funktion von mehreren Messgrößen eine eigene Fehlerkorrelation aufweist. Eine kompakte Darstellung der Fehlerfortpflanzung kann durch die Anwendung von Matrizen erfolgen, wobei die Fehlermatrix $E$ die Unsicherheiten und Korrelationen der verschiedenen Messgrößen zusammenfasst.

Wichtige Aspekte der Fehlerfortpflanzung

Die Fehlerfortpflanzung ist ein unverzichtbares Werkzeug in der experimentellen Physik und anderen wissenschaftlichen Disziplinen, um die Unsicherheit von berechneten Größen zu quantifizieren. Dabei ist es von entscheidender Bedeutung, sowohl unkorrelierte als auch korrelierte Fehler korrekt zu berücksichtigen. Bei mehreren Messgrößen muss die Kovarianzmatrix verwendet werden, um die Wechselwirkungen zwischen den Fehlern zu erfassen und präzise Unsicherheiten zu berechnen. In der Praxis ist es oft hilfreich, den Fehler als relativen Fehler darzustellen, insbesondere bei der Arbeit mit Produkten oder Quotienten. Schließlich spielen Fehlerellipsen eine zentrale Rolle bei der Visualisierung von Unsicherheiten in mehrdimensionalen Messungen.

Wie funktioniert die Methode der kleinsten Quadrate in der statistischen Schätzung?

In vielen praktischen Anwendungen in der Wissenschaft und Technik ist es notwendig, eine Funktion an gemessene Datenpunkte anzupassen. Ein Standardverfahren zur Lösung dieses Problems ist die Methode der kleinsten Quadrate, bei der die Parameter einer gegebenen Funktion so bestimmt werden, dass die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen den gemessenen Punkten und der angepassten Kurve minimiert wird.

Das Verfahren basiert auf der Idee, dass Fehler in den Messungen unvermeidlich sind und durch ein statistisches Modell, wie etwa eine Normalverteilung, beschrieben werden können. Angenommen, wir haben eine Reihe von Messpunkten $x_i, y_i \pm \delta_i$ und eine Funktion $t(x, \theta)$ , die einige unbekannte Parameter $\theta$ enthält. Um die optimalen Werte für $\theta$ zu finden, minimieren wir die Größe $\chi^2$ , die die quadratischen Abweichungen gewichtet nach den Unsicherheiten $\delta_i$ darstellt. Mathematisch formuliert sich dies wie folgt:

\chi^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(y_i - t(x_i, \theta))^2}{\delta_i^2}

Das Ziel ist es, die Parameter $\theta$ so zu wählen, dass $\chi^2$ einen minimalen Wert erreicht, was bedeutet, dass die bestmögliche Anpassung an die Daten erfolgt.

Im klassischen Fall, wenn die Fehler unabhängig und normalverteilt sind, kann dieses Verfahren mit der Maximum-Likelihood-Methode gleichgesetzt werden. Die Wahrscheinlichkeit der Messwerte, gegeben die Parameter $\theta$ , ist dann proportional zu einer Exponentialfunktion der Form:

f(y_1, \dots, y_N | \theta) \propto \exp \left(- \sum_{i=1}^{N} \frac{(y_i - t(x_i, \theta))^2}{2 \delta_i^2} \right)

Der Log-Likelihood-Wert ist dann:

\ln L(\theta | y) = - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \frac{(y_i - t(x_i, \theta))^2}{\delta_i^2}

Die Minimierung von $\chi^2$ entspricht also der Maximierung der Likelihood, was im Fall normalverteilter Fehler die optimale Schätzung der Parameter ergibt.

Es ist wichtig zu betonen, dass die Methode der kleinsten Quadrate nur dann zuverlässig funktioniert, wenn die Annahme der Normalverteilung und Unabhängigkeit der Fehler gilt. In realen Anwendungen können die Fehler jedoch oft korreliert sein oder einer anderen Verteilung folgen. In solchen Fällen müssen die Fehlerkorrelationen berücksichtigt werden, was die Berechnung des $\chi^2$ -Wertes und der Parameterfehler erschwert. Ein Beispiel für eine solche Erweiterung ist die Einführung einer Gewichtsmatrix, die die Fehlerkorrelationen zwischen den Messpunkten berücksichtigt. Die entsprechende Generalisierung der $\chi^2$ -Summe für korrelierte Fehler lautet:

\chi^2 = \sum_{i,j=1}^{N} (y_i - t(x_i, \theta)) C_{ij} (y_j - t(x_j, \theta))

wobei $C_{ij}$ die Elemente der Kovarianzmatrix $C$ darstellen. Hierbei handelt es sich um die Inverse der Fehlerkovarianzmatrix $V^{ -1}$ , die die statistischen Beziehungen zwischen den Fehlern der Messpunkte beschreibt. Wenn die Fehler korreliert sind, wird die Berechnung des $\chi^2$ -Werts deutlich komplizierter, aber das Verfahren bleibt grundsätzlich dasselbe: Wir minimieren den $\chi^2$ -Wert, um die besten Parameter zu finden.

Die Methode der kleinsten Quadrate ist jedoch nicht unfehlbar. Ein häufiges Problem tritt auf, wenn die Fehler nicht normalverteilt sind oder wenn es Ausreißer in den Daten gibt. In solchen Fällen kann das Verfahren zu verzerrten oder unzuverlässigen Ergebnissen führen. Ein anschauliches Beispiel hierfür ist die Kalibrierung eines digitalen Uhrzeitkanals, bei dem die Fehlerbalken die Breite des Kanals und nicht die Unsicherheit der Messung widerspiegeln. In einem solchen Fall führt die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Fehlerbalken zu einer falschen Kurvenanpassung, die nicht mit den tatsächlichen Messdaten kompatibel ist. Eine alternative Methode, die alle Fehlerbalken berücksichtigt, ist notwendig, um die richtigen Parameter zu schätzen.

Ein weiteres häufig auftretendes Problem bei der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate ist die Nichtlinearität der zugrunde liegenden Funktion. In solchen Fällen muss die Methode iterativ angewendet werden, da eine analytische Lösung wie im linearen Fall nicht möglich ist. Ein Beispiel hierfür ist die Anpassung einer linearen Funktion an eine Gruppe von Messpunkten, bei der die Fehler in den Y-Koordinaten berücksichtigt werden müssen. In der linearen Regression wird die Funktion $y(x) = ax + b$ an die Daten angepasst, wobei $a$ und $b$ die unbekannten Parameter sind. Um die Parameter zu bestimmen, wird die folgende Gleichung aufgestellt:

\chi^2 = \sum_{i=1}^{N} \frac{(y_i - a x_i - b)^2}{\delta_i^2}

Durch Ableiten der Funktion nach $a$ und $b$ und Setzen der Ableitungen gleich Null, erhält man die sogenannten Normalengleichungen, die zur Berechnung der Schätzwerte für $a$ und $b$ führen. Es zeigt sich, dass die Fehler der geschätzten Parameter in diesem Fall nicht korreliert sind, was die Berechnungen vereinfacht. Ein nützlicher Trick, der die Berechnungen weiter vereinfacht, besteht darin, den Ursprung des Koordinatensystems auf den Schwerpunkt der Messpunkte zu verschieben, wodurch die Schätzungen für $a$ und $b$ in einem neuen Koordinatensystem berechnet werden, das den Fehler minimiert.

In der Praxis ist es ratsam, immer die verschobene Form der linearen Funktion zu verwenden, um die Parameter fehlerfrei zu schätzen. Dies ist besonders wichtig, wenn man die Unsicherheiten in den Messwerten richtig erfassen möchte.

Endtext

Wie wird die Effizienz und Konsistenz von Schätzern in der Statistik bewertet?

Die Konsistenz von Schätzern ist ein zentrales Konzept in der statistischen Analyse. Ein Schätzer ist dann konsistent, wenn er, mit zunehmender Stichprobengröße $N$ , immer genauer den wahren Wert des Parameters $\theta_0$ widerspiegelt. Dies impliziert, dass der Schätzer in der Langzeitperspektive dazu tendiert, den wahren Wert zu treffen. Ein Beispiel für einen konsistenten Schätzer sind die Moment-Schätzer $t_N$ , die durch den Mittelwert und die Varianz der Stichprobe berechnet werden. Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen konvergieren die Stichprobenmomente, die als Schätzer für die jeweiligen Momente der Verteilung $f(x)$ verwendet werden, gegen die wahren Momente, sofern diese existieren.

Die Verzerrung (Bias) eines Schätzers, also der Unterschied zwischen dem Erwartungswert des Schätzers und dem wahren Wert $\theta_0$ , spielt ebenfalls eine zentrale Rolle. Ein Schätzer ist unverzerrt, wenn seine Verzerrung für jede Stichprobengröße $N$ gegen null geht. Das bedeutet, dass der Schätzer in der asymptotischen Grenze, also für große Stichprobenzahlen, keinen systematischen Fehler aufweist. Ein konsistenter Schätzer ist daher asymptotisch unverzerrt, was bedeutet, dass die Verzerrung mit zunehmendem $N$ immer kleiner wird und schließlich null erreicht.

Ein weiteres wichtiges Kriterium ist die Effizienz eines Schätzers. Die Effizienz beschreibt die Genauigkeit eines Schätzers und ist direkt mit der Varianz des Schätzers verbunden. Ein effizienter Schätzer hat die geringste mögliche Varianz, wenn alle Schätzer für denselben Parameter $\theta$ betrachtet werden. Für große $N$ erfüllt ein effizienter Schätzer zwei Hauptbedingungen: Erstens wird der Fehler des Schätzers asymptotisch normalverteilt mit einem Mittelwert von null, und zweitens ist die Varianz des Schätzers mindestens so klein wie die aller anderen Schätzer, die diese erste Bedingung erfüllen.

Ein Beispiel für den Vergleich der Effizienz verschiedener Schätzmethoden zeigt die Schätzung des Erwartungswerts $\mu$ einer Normalverteilung. Es gibt mehrere Schätzmethoden, wie den Stichprobenmittelwert, den Stichprobenmedian und den Mittelwert der Extremwerte. Für große Stichproben ist der Stichprobenmittelwert der effizienteste Schätzer, da seine Varianz mit $\sigma^2 / N$ wächst, während die anderen Methoden eine höhere Varianz aufweisen. Allerdings variiert die Effizienz je nach Verteilung. Beispielsweise ist der Stichprobenmedian für eine Laplace-Verteilung effizienter als der Stichprobenmittelwert.

Die Cramér-Rao-Ungleichung bietet eine theoretische Grundlage, um die Effizienz eines Schätzers zu bewerten. Sie stellt sicher, dass die Varianz eines Schätzers nie unter einen bestimmten Wert sinken kann, der durch die Information über den Parameter in der Stichprobe begrenzt ist. Der Schätzer erreicht diese untere Grenze nur, wenn er der sogenannte "Minimum Variance Bound" (MVB) Schätzer ist, was bedeutet, dass der Schätzer sowohl minimal variierend als auch ausreichend ist.

Ein weiteres relevantes Konzept ist der Maximum-Likelihood-Schätzer (MLE), der unter gewissen Bedingungen konsistent ist. Dies bedeutet, dass der MLE für eine große Anzahl von Beobachtungen dazu tendiert, den wahren Parameterwert korrekt zu schätzen. Der MLE ist auch ein asymptotisch unverzerrter Schätzer, was bedeutet, dass die Verzerrung für sehr große Stichproben null wird. Unter gewissen Regularitätsbedingungen ist der MLE auch asymptotisch effizient, was bedeutet, dass er den kleinsten möglichen Fehler in Bezug auf die Varianz hat.

Die Effizienz des Maximum-Likelihood-Schätzers wird durch seine Asymptotik weiter beschrieben: Er folgt asymptotisch einer Normalverteilung mit dem wahren Parameterwert als Mittelwert und einer Varianz, die mit der Stichprobengröße $N$ abnimmt. Dies bedeutet, dass der MLE bei sehr großen Stichproben eine optimale Schätzgenauigkeit bietet.

Es ist jedoch zu beachten, dass nicht in allen Fällen ein effizienter Schätzer existiert. Für manche komplexen Verteilungen ist es möglich, dass alle verfügbaren Schätzmethoden eine höhere Varianz haben als der Maximum-Likelihood-Schätzer oder der Stichprobenmittelwert.

Darüber hinaus sollte man bedenken, dass die Effizienz eines Schätzers in der Praxis nicht immer das einzige Kriterium für die Wahl des besten Schätzers ist. In einigen Fällen spielen auch andere Faktoren wie die Robustheit des Schätzers oder die einfache Berechenbarkeit eine Rolle. Beispielsweise könnte ein weniger effizienter Schätzer in einer bestimmten Situation stabilere Ergebnisse liefern, auch wenn er nicht die niedrigste mögliche Varianz hat.

Wie man außergewöhnliche Beziehungen zu Stakeholdern aufbaut: Ein praktischer Leitfaden
Wie politische Spenden und Steuererleichterungen die Demokratie beeinflussen
Warum der „weiße Arbeiter“ zur Trump-Wählerschaft wurde: Einblicke in die politische Transformation der Arbeiterklasse