. (1.1.14)

Здесь − символ Кронекера, равный, как известно,

При записи (1.1.14) учтено, что для цилиндрической системы S = 2 –, для сферической S = 3 − все , а для декартовой вместо S = 0 (все ) формально положено S = 1.

Обобщенное нестационарное уравнение (1.1.14) является математической моделью процесса переноса независимо от его физического содержания. Для конкретизации процесса достаточно задать физический смысл входящих в уравнение коэффициентов, что однозначно определит и физическую природу функции u(xi,τ). В электрической интерпретации, например, соответствующие величины будут связаны с величинами проводимости, источника зарядов и потенциала [7]. В интересующем нас процессе теплопроводности коэффициенты kii являются главными значениями тензора анизотропной теплопроводности [2, 24], η = cpρ − объемная теплоемкость, w − объемная плотность мощности внутреннего источника (стока) тепла, а искомая скалярная величина u(ξi,τ) − температура .

1.2 Краевые условия задачи

В задачах теории поля единственность решения уравнения переноса (1.1.14) обеспечивается заданием краевых условий задачи: начального поля

искомой величины в момент времени, выбранный за нулевой :

, (1.2.1)

и граничных условий, которые в задачах теории поля чаще всего формулируются в виде следующих условий на границе (или ее части) области определения задачи:

а) задано поле температур−так называемое главное граничное условие:
, ; (1.2.2)

б) задано обобщенное условие сложного теплообмена [1] − или естественное граничное условие:

, (1.2.3)

в

Входящие в (1.2.3) слагаемые описывают теплообмен: - кондуктивный; -конвективный (на внешних и внутренних поверхностях элемента); − радиационный (внешний и внутренний); − внешний поверхностный источник тепла, зависящий в общем случае от времени. Поверхность представляет собой -й участок внешней или внутренней границ, и в совокупности образует oбe границы области в целом (в случае ее многосвязности).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В задачах теплопроводности принято граничные условия задачи подразделять на четыре рода, а именно:

1-го рода – Т(хi,τ) = f(хi), при этом функция может быть задана в виде константы, например, Т(хi,τ) = Тс;

2-го рода – (qλ + qc)Si = 0; где qc – внешний поверхностный источник энергии (Вт/м2), чаще всего равный константе; кондуктивный компонент описывается законом Фурье;

3-го рода – (qλ + qα)Si = 0; связывает кондуктивный и конвективный удельные потоки на поверхности Si; конвективный компонент описывается законом Ньютона;

4-го рода – полагаются непрерывными температурные поля и удельные тепловые потоки на границе раздела двух сред: Тi(xi)Sk = Tj(xj)Sk; qλi(xi)Sk = qλj(xj)Sk.

По определению граничное условие – это условие энергетического сопряжения на внешней поверхности тела при наличии двух (трех) механизмов теплообмена или на границе раздела двух сред. По сути – это условия теплового баланса на поверхности раздела.

Кондуктивный компонент т описывается законом Фурье и в в

обобщенной криволинейной системе координат согласно (1.1.5) имеет вид:

. (1.2.4)

Конвективный компонент в аналитической теории теплопроводности обычно

обычно выражают законом Ньютона [20]:

, (1.2.5)

где – -коэффициент теплообмена при свободной естественной или смешавынужденной конвекцияхи, вопросам расчета которого посвящена обширная литература [19–-29], но в аналитической теории теплопроводности он полагается заданным в виде некоторого числа; ; Тср.– -температура среды или теплоносителя.

Радиационный компонент нелинейно зависит от температуры и, согласно закону Стефана-Больцмана [30]:

, (1.2.6)

где− полусферическая интегральная степень черноты поверхности; = 5,67·10-8 Вт/м2К4 – − постоянная Стефана-Больцмана. Вопрос учета этого компонента будет подробно проанализирован позже (см. п. 6.4).

Запишем естественное граничное условие (1.2.3) с учетом (1.2.4)−(1.2.6) в обобщенном виде:

, (1.2.7)

где под понимается величина:

. (1.2.8)

В целях линеаризации граничного условия радиационный компонент зачастую представляют в виде, аналогичном конвективному компоненту [20, 24, 32]:

,

где , и затем объединяют с конвективным компонентом, вводя суммарный коэффициент теплообмена . Величину рассчитывают, полагая − некоторой характерной температуре изучаемого процесса [32]. Если при описании внешнего радиационного теплообмена с такой процедурой линеаризации можно согласиться, то для внутреннего теплообмена подобная замена нежелательна, так как.к. в этом случае радиационный компонент рассчитывается с учетом оптико-геометрического фактора – средних разрешающих угловых коэффициентах излучения (УКИ), обусловленного взаимным расположением теплообменивающихся поверхностей и их степеней черноты.

1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи

Классификация методов решения тесно связана с видом математической

фФормулировки задачи теплопроводности. Кроме того, их можно разделить по общим

общим признакам на три большие группы: точные аналитические, приближенные аналити- чееские и численные методы.

Аналитические методы позволяют получить функциональные зависимости для распределения температуры и проанализировать влияние

*Этот пункт может быть опущен читателем, знакомым с методами решения краевых задач, без ущерба для понима­ния последующего материала.

различных факторов на тем-

пературное поле исследуемого объекта [20 –24]. Для математической на температурное поле исследуемого объекта [20-24]. Для

математической формулировки задачи в виде дифференциального уравнения теплопроводности и соответствующих краевых условий определение температурного состояния тела связано с непосредственным решением этого уравнения. Возможности точных аналитических методов в этом случае ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики материала не зависят от температуры, а граничные условия выражается линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности тела. Сферу применения точных аналитических методов удается расширить путем линеаризации нелинейных задач. Однако при этом погрешности, внесенные в математическую формулировку при

линеаризации, в некоторых случаях могут быть настолько существенными, что

приведут к большим количественным ошибкам, а иногда исказят и физический смысл полученного решения [44].

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [26]. Возможности точных аналитических методов в случае анизотропности теплофизических свойств крайне ограничены. Наконец, эти методы приложимы к получению и исследованию температурного поля тел (конструкций) простой геометрической формы, (пластина, цилиндр, шар) и лишь при осесимметричных граничных условиях. Тем самым, задание локальных граничных условий, наиболее часто встречающихеся в реальных конструкциях, исключается из рассмотрения исключается..

_________________________________________________________________________

٭ Этот пункт может быть опущен читателем, знакомым с методами решения краевых задач, без ущерба для понима­ния последующего материала.

Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений теплопроводности разработаны методы последовательных приближений (простой итерации [24] или усреднения функциональных поправок [24]), возмущений (малого параметра), различные

асимптотические и вариационные методы [20, 24].

Инженерные методы расчета температурных полей конструкций (или их элементов) сочетают в себе как приближенные аналитические, так и численные методы [19, 31, 36, 44, 52].

Методы численного решения являются приближенными, так как они базируются на переходе от непрерывной (континуальной) математической модели процесса теплопроводности к приближенной дискретной модели. Однако выбор параметров дискретной модели позволяет регулировать степень приближения, а гибкость и универсальность численных методов в сочетании с удобством их реализации на ЭВМ дает возможность получать приемлемые для инженерной практики результаты.

С точки зрения достоверности определения температур элементов конструкции и возможностей учета влияния всех существенных факторов, наиболее эффективными являются численные методы. Совершенствование и распространение вычислительной техники превращают эти методы в удобный,

аА, зачастую, и единственный, инструмент анализа тепловых режимов конструкций и агрегатов различного назначения на стадиях их проектирования

и экспериментальной отработки [31, 38, 47, 48, 50– ,52,52].

Численные методы базируются, как правило, на уравнении переноса, представленном в дифференциальной или в интегральной формахе. Различия между ними состоят в способе использования уравнения и краевых условий. Одними из широко распространенных являются методы, основанные на конечно-разностной аппроксимации уравнения и граничных условий. Однако по точности они уступают численным методам решения нелинейных интегральных уравнений [24].

При решении тепловых задач комплексного проектирования объектов космической техники широко используется так называемый метод изотермических элементов (метод алгебраического приближения), основанный на системе уравнений элементарного баланса тепловых потоков в дискретной модели конструкции, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней (элементов) [32, 45 – -52]. Достоинство метода – исключительная геометрическая гибкость; недостаток – сложность расчета кондуктивных связей между элементами и, главное, отсутствие полной физической адекватности исследуемому процессу переноса (игнорирование контактного термического сопротивления на границе между элементами).

Задание 1

1.1 Получите выражения уравнения переноса (1.1.14) в декартовой,

цилиндрической и сферической системах координат – S = 1,2,3..

1.2 Проделайте эту же операцию для граничных условий (1.2.7).

ГЛАВА 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КРАЕВЫХ

ЗАДАЧАХ

ТЕОРИИ ПОЛЯ

Метод конечных элементов является численным методом и основан на замене объекта (конструкции или ее части) совокупностью подобластей (элементов), для каждой из которых отыскивается приближенное решение задачи теплообмена. Это означает, что для каждого элемента необходимо записать дифференциальное уравнение переноса и граничные условия, характеризующие процессы теплообмена на граничных поверхностях именно этого элемента, и затем получить решение в том или ином виде. Объединение "элементных" решений по определенному правилу дает решение задачи для объекта в целом. В этой главе будет изложена основная концепция МКЭ.

2.1 Методы взвешенных невязок

Большая группа методов приближенного решения дифференциальных

уравнений базируется на математической формулировке, связанной с

интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок [4, 12, 13].

Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:

, , (2.1.1)

, . (2.1.2)

Здесь L −дифференциальный оператор; xi − пространственные координаты; V и S − объем и внешняя граница исследуемой области; u0– точное решение.

Будем считать, что некоторая функция u также является решением уравнения, и оно может быть аппроксимировано набором функций :

, (2.1.3)

, (2.1.3)

при этом коэффициенты − неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры.

В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов. На первом этапе подстановкой приближенного решения (2.1.3) в уравнение (2.1.1) находится функция ошибка, или невязка, которая характеризует степень отличия от точного решения :

. (2.1.4)

В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты и М по-прежнему неизвестных коэффициентов .

На втором этапе на функцию невязки (2.1.4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших квадратов и метод Галеркина).

В методе коллокаций полагают, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках − точках коллокаций , количество которых равно числу неизвестных коэффициентов . В этих М точках невязка должна равняться нулю, что приводит к системе М алгебраических уравнений для М коэффициентов :

. (2.1.5)

В методах взвешенной невязки сначала формируют взвешенную невязку путем ее умножения на некоторые весовые функции , а затем минимизируют ее в среднем:

. (2.1.6)

В методе наименьших квадратов − методе Рэлея-Ритца − в качестве весовой функции выбирается сама ошибка, т. е. , и требуется, чтобы полученная таким способом величина (функционал) была минимальна:

. (2.1.7)

Для этого должно выполняться условие:

, (2.1.8)

приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

В методе Галеркина в качестве весовых функций берутся сами функции , называемые базисными, и требуется их ортогональность невязке :

. (2.1.9)

Если − линейный оператор, то система (2.1.9) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов .

Рассмотрим метод Галеркина на конкретном примере [4]. Дано уравнение на промежутке :

,

с граничными условиями: , .

Возьмем аппроксимирующую функцию в следующем виде:

,

удовлетворяющей граничным условиям (2.1.2) при любых . На первом этапе находим невязку:

.

Выполним процедуру второго этапа:

, .

Интегрирование приведет к системе двух уравнений:

,

решением которых будут следующие значения : ; . Приближенное решение имеет вид: .

Сопоставление приближенных результатов, полученных различными методами, с точным решением, дано в таблице 1.

Таблица 1

x

u приближенное

u

точное

метод кол-

локаций

метод

Ритца

метод

Галеркина

0,25

0,045

0,043

0,0440

0,044014

0,50

0,071

0,068

0,0698

0,069747

0,75

0,062

0,059

0,0600

0,060056

Из таблицы 1 видно, что при одинаковых во всех методах аппроксимирующих функциях наилучшее приближение к точному решению обеспечивает метод Галеркина. Кроме того, этот метод применим при решении и нелинейных задач, включая те, для которых не существует функционала, необходимого при использовании метода Рэлея-Ритца.

2.2 Основная концепция метода конечных элементов

Главная трудность при непосредственном применении классических методов взвешенных невязок связана с выбором базисных функций для области определения в целом. Эти функции должны не только удовлетворять граничным условиям, но и достаточно полно описывать геометрию и другие характеристики задачи. Все эти условия обычно очень трудно выполнить, особенно для объектов (конструкций) сложной геометрии при наличии сложного теплообмена, и поэтому возможности методов в их классическом смысле весьма ограничены.

С появлением быстродействующих ЭВМ получила развитие идея локализации аппроксимирующих функций в малых областях (подобластях), называемых конечными элементами [2, 3, 4, 6].

Пусть имеется некоторая область определения задачи, ограниченная контуром , как это изображено на рис. 2.1. Внутри этой области и на ее контуре можно задать произвольное количество точек с координатами . Значения искомой функции в этих точках пусть будут . Соединяя точки прямыми линиями, получим подобласти, совокупность которых аппроксимирует область в целом. При этом криволи-

подобласти, совокупность которых аппроксимирует геометрически область в целом. При этом криволинейные участки контура L заменяется прямолинейными. Важно отметить, что полученная сетка из элементов, с помощью которой моделируется область определения за-

дачи, не является регулярной ни Рис. 2.1 Разбиение области на элементы

геометрически, ни топологически. Это означает, что размеры и формы подобластей

Рис. 2.1 Разбиение области на элементы

которой моделируется область определения задачи, не является регулярной ни геометрически, ни топологически. Это означает, что размеры и формы подоб(элементов) могут изменяться произвольно, их взаимные соединения не обязательно должны следовать какой-либо регулярной структуре. Последнее обстоятельство обеспечивает геометрическую гибкость метода.

Важной особенностью МКЭ является то, что первоначально при локальной аппроксимации функции на конечных элементах, их можно рассматривать независимо друг от друга. Это значит, что каждый элемент можно считать изолированным от всей совокупности и аппроксимировать функцию на этом элементе с помощью ее значений в его узлах независимо от того, какое место займет рассматриваемый элемент в связанной модели, и от поведения функции на других конечных элементах. С математической точки зрения это означает следующее. Для каждого элемента записывается локальная (элементная) аппроксимирующая функция:

, , , (2.2.1.)

где − число узлов, принадлежащих -му элементу; − значения искомой функции в его узлах; − базисная функция; − объем элемента.

Поскольку каждый элемент рассматривается отдельно, то его свойства изучаются независимо от других элементов, т. е. дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями решается для каждого -го элемента, например, методом Галеркина [2, 3, 4, 12]:

(2.2.2)

(2.2.2)

Полученные на основании (2.2.2) матрицы для отдельных элементов, которые содержат в качестве неизвестной узловые значения функции , формируют в глобальные матрицы для всей области определения. Разрешая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, определяют значения искомой функции в узлах, что позволяет найти приближенное решение задачи для всей области в целом:

, , , (2.2.3)

где – число элементов, совокупность которых аппроксимирует область в целом.

Реализация в рамках МКЭ представления области определения совокупностью конечных элементов обусловливает следующие важные преимущества МКЭ, обеспечивая его широкое применение для решения задач теории поля:

1) • локальная аппроксимация на каждом элементе единственным образом опре-

деляется значениями искомой функции в узловых точках;

2) • обеспечивается широкая вариация задания граничных условий на отдельных

участках границы (внешней и внутренней) области;

3) • криволинейные участки границ области могут быть аппроксимированы пря-

мыми линиями;

4) • размеры и геометрическая форма элементов могут быть разными;

5) • взаимные соединения элементов не обязательно должны следовать какой-

либо регулярной структуре;

6) • свойства материала каждого элемента могут быть индивидуальными и, к тому

же, анизотропными;

7) • обеспечивается возможность повышения точности решения задачи путем уве-

личения количества элементов, ограничиваемого лишь мощностью использу-

емой ЭВМ;

8) • вследствие наличия общих узловых точек, глобальные матрицы являются лен -

точными, т. е. содержат большое число нулей, незаносимых в память. ЭВМ.

В соответствии с концепцией МКЭ основными этапами его применения к решению краевых задач теории поля являются следующие:

1) • построение сетки из конечных элементов, взаимосвязанных в узловых точках.

При этом границы внешних элементов аппроксимируют границу области в

целом;

2) • получение базисных функций элементов;

3) • построение матричного представления для каждого элемента на основании

(2.3.5);

4) • объединение всех элементов в ансамбль путем матричных преобразований;

5) • задание краевых условий для элементов;

6) • решение результирующей системы уравнений: обыкновенных дифференци-

альных первого порядка (нестационарный процесс) или алгебраических (ста-

ционарный процесс);

7) • вывод и оценка результатов; расчет любой другой функции, зависящей от

значений в узлах найденного решения задачи, например, средних − объемных

или поверхностных − температур элемента.

Эти этапы будут подробно рассмотрены в последующих главах.

Задание 2

2.1 На основании формул п. 2.1 получите методами коллокаций и Ритца приведенные в таблице данные.

2.2 В приведенном в п. 2.1 примере понизьте на единицу степень полинома и получите решение методом Галеркина. Сравните с данными в таблице и сделайте выводы.

2.3 Используя метод Галеркина, найдите решение уравнения

с граничными условиями при , . Примите в первом приближении .

2.4 Н Найдите приближенные значения , удовлетворяющей дифференциальному уравнению

,

при и изменении в интервале 0 ÷ 1. Примите .

ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МКЭ

Первый этап конечно-элементной процедуры – декомпозиция исследуемого

объекта (конструкции или ее частей) на конечные элементы, взаимосвязанные в узловых точках, – включает в себя следующие операции:

• выбор типов элементов, совокупность которых аппроксимирует объект;

Из за большого объема эта статья размещена на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8