Метод конечных элементов в задачах теплопроводности (стр. 8 )

В общем случае полиномиальная пробная функция может только тогда дать точное решение на элементе конечного размера, когда полином является полным и имеет бесконечную степень. Последовательность линейно независимых функций считается полной, если можно найти такое число N и набор постоянных аi , при которых для произвольной допустимой функции u того же пространства R справедливо неравенство

для любой наперед заданной величины ε. Поскольку на практике возможно использовать конечное число членов, представление пробной функции в виде полинома не может быть ничем иным, как приближением к точному решению. Это означает, что на элементе конечного размера пробная функция в виде полинома конечной степени всегда содержит ошибку.

Элементный вклад (5.1.5) содержит функцию и ее производные до порядка n включительно. Полиномиальное представление для должно содержать, как минимум, степень n, если n-я производная отлична от нуля. Выбирая полиномы n-ой степени, получим в пределах элемента следующие представления:

(6.4.1)

Отсюда видно, что, поскольку полином для является полным, каждая из производных имеет в своем представлении член, не зависящий от х. По мере того, как размер элемента стремится к нулю, каждая из производных стремится к своему точному значению, и, следовательно, также ведет себя и элементный вклад. В результате процедура сходится.

Вышесказанное позволяет сформулировать критерий 1 ограниченной

сходимости: условием сходимости является представление переменной внутри элемента в виде полного полинома как минимум степени n, где n – наивысший порядок производной в определяющем (ключевом) интеграле (5.1.5).

Когда для представления переменной используется полином более высокой степени, чем указанный минимум, от аппроксимации можно ожидать большей точности и меньшей ошибки пробной функции и, как следствие, более высокой скорости сходимости.

Наряду с понятием полноты, вводится еще одна характеристика пробной функции, – согласованность. Пробная функция рассматривается как согласованная, если переменная и ее производные вплоть до порядка n-1 непрерывны при переходе через границу между элементами, где n – порядок самой высокой производной в ключевом интеграле (5.1.5) для элементного вклада. Это позволяет сформулировать критерий 2 ограниченной сходимости : условие сходимости состоит в том, что элементы должны быть согласованными, т. е. при переходе через границу между элементами должны быть непрерывны сама функция и ее производные вплоть до порядка n-1 включительно. Отсюда следует, что квадратичные и более высокого порядка элементы, будучи, согласно определению, согласованными, безусловно обеспечивают сходимость метода конечных элементов в версии как метода Галеркина, так и вариационного. Для одного и того же класса задач критерии 1 и 2 являются достаточными условиями сходимости метода конечных элементов независимо от его формулировки.

Существует еще один критерий 3 сходимости, связанный с размером элемента, а именно, условие сходимости состоит в том, что по мере стремления к нулю размера элемента, члены с производными и функцией в уравнениях должны стремиться к функции той гладкости, что и точное решение в предположении непрерывности последней.

Из изложенного выше может сложиться впечатление, что все типы элементов, для которых гарантируется сходимость, одинаково полезны. Это не совсем так, поскольку на практике очень важна еще и точность. Как можно

практически оценить вычисленного решения? Если иметь в виду общий случай, то, к сожалению, никак. Одним из двух способов, однако, часто можно получить достаточный показатель точности.

Первый из них очевиден: путем сопоставления с известным аналитическим решением.

Второй метод требует предварительного определения типа сходимости для конкретной формулировки МКЭ и для конкретной задачи. Если окажется, что сходимость улучшается монотонно по мере уменьшения размеров элемента, то можно решать задачу несколько раз с последовательно уменьшаемыми элементами, и для получения решения экстраполировать результаты.

Монотонная сходимость МКЭ к точному имеет место, если:

• тип элемента удовлетворяет условиям полноты и согласованности по

критериям 1 и 2;

• размеры сетки уменьшаются таким образом, чтобы элементы каждого

последующего уровня представляли собой части соответствующих

элементов предыдущего уровня;

• подмножество разбиений каждого уровня содержится в подмножествах

предыдущего уровня.

Представление зависимой переменной на элементе не должно зависеть от используемой системы координат, или, точнее, должно быть геометрически инвариантным для ортогональных преобразований системы координат. Это принято называть пространственной, или геометрической изотропией. Кроме инвариантности геометрическая изотропия также гарантирует вдоль любой границы или ребра элемента полноту полиномиального представления того же порядка, что и внутри элемента.

Когда в качестве пробной функции выбран полный полином, то элемент обладает геометрической изотропией. Если из полинома исключаются некоторые члены, то это следует сделать так, чтобы элемент, соответствующий неполному полиному, оставался по-прежнему геометрически изотропным. При

определении того, какие члены можно отбросить, ясно, что симметричные пары (как x2, y2 или x3, y3, или x5y2, x2y5) не вносит несимметричность по отношению к той или иной координате при условии, что порядок исходного полинома не уменьшился.

Для иллюстрации отбрасывания симметричных пар полного полинома, рассмотрим содержащий десять членов полной кубической полином от двух переменных:

.

Элемент, которому соответствует этот полный полином, обладает геометрической изотропией, но то же имеет место при использовании следующих неполных кубических полиномов:

,

или .

В последних выражениях кубические члены сохранены, чтобы порядок исходного кубического полинома не уменьшился.

В заключение заметим, что в практике метода конечных элементов полные полиномы, как правило, не употребляются.

Видно, что как сами температуры, так и их временная производная достаточно сильно отличаются друг от друга при нулевых и ненулевых значениях .

Задание 6

6.1 Почему при определении по (6.4.7) разности нужно привлекать значения и и , т. е. на предыдущих двух, а не на одном временном шаге?

6.1 2 Как изменится динамическое уравнение для элемента, если

радиационный компонент представить в граничных условиях

выражением , а не в виде числа, определяемого на

предыдущем шаге, согласно (6.5.1)? Какие трудности программного и

математического характера должны при этом возникнуть?

радиационный компонент представить в граничных условиях выражением , а не в виде числа, определяемого на предыдущем шаге, согласно (6.5.1)? Какие трудности математического и программного характера должны при этом возникнуть?

6.23 Возможны ли случаи, когда радиационный компонент можно не не

учитывать? следует учитывать?

67

Список рекомендуемой литературыСПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

По методу конечных элементов

1.  Румянцев конечных элементов в задачах теплопроводности: Учеб. пособ. Изд-во Калининградского госуниверситета, 19975, 10170 с.

2.  Дж. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

3.  деФриз. .Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.

4.  Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974.

5.  Коннор Дж., Метод конечных элементов в механике жидкости. М.: Судостроение, 1979.

6.  Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред. М.:
Мир, 1976, 464 с.

7.  Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986.

8.  , , Выслоух конечных элементов в задачах динамики. М.: Изд-во МГУ, 1980.

9.  , , Свешников уравнения: Учеб. пособ, М.: Наука, 1985, 231 с.

10. Кочин исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Нау - ка, 1965, 426 с.

11. , , Пытьева геометрия с элементами линейной алгебры: Учеб. пособ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986, 140 с.

12. Волков методы. М.: Наука, 1982, 254 с.

13. Марчук вычислительной математики. М.: Наука, 1977, 536 с.

14. РумянцевА. В., Васильев нестационарной осе симметричной задачи теплопроводности методом конечных элементов с использованием комплекс-элемента. Деп. ВИНИТИ, 94.

15.Румянцев теплоносителя в длинном неизотермическом канале. Деп. ВИНИТИ, 95.

16. , , Васильев не
нестационарной осесимметричной задачи теплопроводности методом конечных элементов с учетом радиационного теплообмена. Деп. ВИНИТИ, 94.

17. , , Хоменко угловых коэффициентов излучения коническо-цилиндрической камеры с торцами. Деп. ВИНИТИ, 94.

, , Васильев угловых 68

коэффициентов

излучения коаксиальной камеры с кольцевыми торцами. Деп. ВИНИТИ, IP №

1654-В95.

По основам теплообмена и тепловому проектированию

19.

Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике: Учебник для авиационных специальностей вузов./ , , и др. М.: Машиностроение, 1992, 582 с.

20. Лыков теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967, 599 с.

21. , , Селиверстов термодинамика и теплопередача. М.: Высшая школа, 1979, 444 с.

22. Юдаев термодинамика: Теплопередача. М.: Высшая школа, 1988, 479 с.

23. , , Сукомел .
М.: Энергия, 1975, 424 с.

24. Зарубин B. C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатомиздат, 1983, 328 с.

25. Темкин методы теплопроводности. М.: Энергия, 1973, 464 с.

26. Лыков . Справочник. М.: Энергия, 1978,
480 с.

27. Дрейцер теплообмен в каналах: Учеб.
пособ. М.: Иизд-во МАИ, 1984, 77 с.

28. , Соковишин -конвективный теплообмен: Справочник. Минск: Наука и техника, 1982, 400 с.

29. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы. М.: Мир, 1987, 592 с.

30. З Теплообмен излучением. И.: Мир, 1975, 934 с.

31. Зарубин B. C. Температурные поля в конструкции летательных
аппаратов. М.: Машиностроение, 1978, 184 с.

32. , , Сургучев тепло-
обмена космического аппарата. а. М.: Машиностроение, 1979,
208 с.

33. Галицейский в авиационных х двигателях.
М.: Ийзд-во о МАИ, 1985, 82 с.

34. Алемасов ракетных двигателей. М.: Оборонгиз,
1965.

35. Теплообмен в энергетических установках космических аппаратов. , , М.: Машиностроение, 1975, 272 с.

36. , Юревич защита. М.: Энергия, 1976, 392 с.

37. Селин на рыбообрабатывающих предприятиях
и промысловых судах. М.: Легк. и пищ. промыш., 1982, 264 с.

Тепловой расчет котельных агрегатов (нормативный метод). М.: Энергия, 1973, 296 с.

38. , С Тепловые расчеты на ЭВМ теплотехнических установок. М.: Энергия, 1975, 198 с.

39. Атомные электрические станции. М.: Высшая
школа, 1978, 311 с.

40. Алифанов процессов теплообмена летательного аппарата. М.: Машиностроение, 1979, 216 с.

41.Попырин моделирование и оптимизация теплоэнергетических установок. М: Энергия, 1978, 415 с.

42. Вигак управление нестационарными тепловыми режимами. Киев.: Наукова думка, 1979, 359 с.

43. , , Шишатский
задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980, 288 с.

44. Коздоба теплофизика. Киев.: Наукова
думка, 1992, 276 с.

45. Панкратов теплового проектирования транспортных космических систем. М.: Машиностроение, 1988, 303 с.

46. Моделирование тепловых режимов космического аппарата и окружающей его среды. Под ред. акад. М.: Машинпостроение, 1971, 380 с.

47. Конструкция и проектирование космического летательного
аппарата. М.: Машиностроение, 1986, 344 с.

48. , , Родионов устройства и конструирования космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1992, 278 с.

49. Малоземов проектных параметров подсистем терморегулирования. М.: Изд-во МАИ, 1986, 344 с.

50. , , Мартиросова моделирование элементов, агрегатов в и систем обеспечения
теплового режима летательных аппаратов. М.: Изд-во о МАИ,
1986, 91 с.

51. , , Кутепов и исследование подсистем обеспечения теплового режима летательных аппаратов. М.: Изд-во МАИ, 1987, 103 с.

52. , Малахов испытания космического аппарата. М.: Машиностроение, 1982, 143 с.

Приложение 1

БАЗОВЫЙ КАТАЛОГ ОБЪЕМНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Осесимметричные объемные элементы

БАЗОВЫЙ КАТАЛОГ ОДНО - И ДВУМЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Осесимметричные одно - и двумерные элементы получается поворотом на порождающих -x одномерных элементов.

Приложение 2

Методика получения стандартизованных матриц элемента

Возьмем для примера 2-ой элемент базового каталога и применим к нему обобщенный метод Крамера-Лагранжа, поскольку он лишь частично образован координатными плоскостями и . Присвоим узлам индексы , соблюдая правило обхода против часовой стрелки.

Рио.П. 2.1

В основании треугольной прямой призмы лежит симплекс-треугольник, трансляцией которого вдоль орта на расстояние образован объемный элемент. Точно так же можно считать, что элемент образован трансляцией верхнего

основания по орту .

Базисные функции легко находятся по обобщенному методу Крамера-Лагранжа, т. е. умножением базисных функций симлекс-треугольников и на полином Лагранжа (см. п. 4.3):

, при (П.2.1)

Полиномы Лагранжа имеют вид:

; . (П.2.2)

Функции для симплекс-треугольника возьмем в виде (4.1.7):

, , (П.2.3)

– удвоенная площадь треугольника (см. 4.1.3). Конкретные значения коэффициентов в (П.2.3) нас пока не интересуют. Правильность базисных функций узлов элемента гарантирована использованием обобщенного метода Крамера-Лагранжа.

Найдем производные базисных функций по текущим переменным :

; ;

. (П.2.4)

Элементарный объем представим в виде

, (П.2.5)

так как производные по и есть постоянные, умножаемые на полином .

Найдем объемную часть матрицы теплопроводности, подставляя в (5.3.2) производные (П. 2.4) с учетоми (П. 23.5):

(П.2.6)

.

Типичные интегралы:

; . (П.2.7)

Компонент будет идентичен , если заменить на . Поэтому запишем эти части матрицы в общем виде:

(П.2.8)

Здесь при , ; при , .

Здесь при , ; при , .

Так как производная по зависит только от , то при интегрировании по объему целесообразно перейти к плоским -координатам:

.

Производя перемножение сцепленных матриц, и интегрируя с учетом (5.3.8), получим окончательно:

(П. 2.9)

Таким образом, объемная часть матрицы теплопроводности элемента будет равна:

. (П.2.10)

Полученные результаты (П.2.8) и (П.2.9) рекомендуется проверить на правильность размерности, которая должна быть :

; ; ; .

В итоге имеем .

Матрицы - стандартизованы и поэтому заносятся в программу. Они станут числовыми, если символы заменить их числовыми значениями, определяемыми по узловым координатам , а коэффициенты теплопроводности –- на их величины согласно физическому каталогу.

Поверхностные части матрицы теплопроводности ( пo числу поверхностей) определяются согласно формуле (5.1.3). Присвоим поверхностям элемента номера:

; ; ; ; .

Матрицы для поверхностей 1 и 2 будут отличаться только коэффициентами , и индексами строк и столбцов, так как этим поверхностям принадлежат разные узлы. Интегрирование по можно провести с помощью -координат. Базисные функции узлов найдем, приравнивая текущую для первой плоскости и - для второй. В итоге будем иметь:

; ; ;

(П.2.11)

; ; ;

Подставим найденные базисные функции в (5.1.3) и проинтегрируем согласно (5.3.8). Получим:

. (П.2.11)

По аналогии:

. (П.2.12)

На самом деле эти матрицы имеют ранг, равный шести, но мы не стали загромождать их выражения нулевыми строками и столбцами. Номера узлов покажут их место в глобальной матрице .

Матрицы для остальных поверхностей находятся так же легко благодаря переходу к плоским - координатам. Типичные интегралы будут иметь вид:

; ; , (П.2.13)

(П.2.13)

, , ; , .;

, , ; , .

Поверхностные сокращенные матрицы для будут иметь одинаковый вид и отличаются коэффициентом , длиной и индексами ненулевых строк и столбцов:

, (П.2.14)

; , ; .

Для определения матрицы достаточно строкам и столбцам матрицы (П.2.14) присвоить индексы соответствующей плоскости. Формула (П.2.14), будучи стандартизованной, также заносится в программу.

Матрица теплоемкости (5.1.5) находится так же легко, только интегрирование с помощью - координат ведется не по , а по , а полином Лагранжа интегрируется по . Типичные интегралы идентичны интегралам (П.2.13):

;

(П.2.15)

, .

Таким образом, матрица теплоемкости будет равна:

, (П.2.16)

где – объем элемента.

-объем элемента.

Умножением элементов матрицы на числовые значения и объема элемента,, сокращенная матрица теплоемкости превращается в числовую и сразу заносится в глобальную соответственно номерам узлов.

Найдем объемную часть вектора тепловой нагрузки согласно (5.1.8):

, (П.2.17)

где – -единичный вектор-столбец.

Из (П.2.17) видно, что распределение по узлам элемента равномерное, независимо от его геометрии. Это означает, что желательно иметь элемент с примерно равными ребрами, чтобы распределение (П.2.17) было приближено к реальному физическому. Числовой вектор (П.2.17) заносится в глобальный вектор .

Поверхностный компонент тепловой нагрузки находится по (5.1.9) так же просто, как и объемный:

. (П.2.18)

По аналогии

. (П.2.19)

Остальные компоненты найдем по формулам:

; (П.2.20)

; (П.2.21)

. (П.2.22)

Превращая вектор-столбцы в числовые, их заносят их соответственно номерам узлов в глобальный вектор .

Таким образом, все стандартизованные и программируемые матрицы для 2-го элемента базового каталога найдены. Остается найти средние температуры по формулам (5.4.1), поскольку они тоже должны находиться программно:

, (П.2.23)

где – -единичная строка, – -вектор-столбец узловых значений температуры.

Интегралы, которые следует взять для вычисления средних поверхностных температур элемента, фактически ужеа взяты –- это выражения (П.2.18) – -(П.2.22). Остаётся лишь единичные вектор-столбцы заменить на единичные строки и умножить их на вектор-столбец значений температуры в узлах, принадлежащих поверхности. В итоге будем иметь общую формулу для средне-поверхностной температуры:

. (П.2.24)

Здесь – - число узлов, принадлежащих поверхности; , – -единичная матричная строка и температура в узлдах, принадлежащих поверхности, соответственно.

Из выражений (П.2.23) и (П. 2.24) видно, что средние температуры находятся как среднее арифметическое температур элемента или плоскости, соответственно:

; . (П.2.25)

Формулы (П.2.23) и (П.2.24) или их аналоги (П.2.25) программируются, так как знание средних температур необходимо при учете температурной зависимости теплофизических свойств материала элемента и радиационного компонента теплообмена.

Описанная процедура стандартизации матриц элемента выполняется для каждого элемента базового каталога.