Метод конечных элементов в задачах теплопроводности (стр. 1 )

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Калининград – 2010

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. КАНТА

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Издание третье, переработанное и дополненное

Рекомендовано Министерством образования и науки

Российской Федерации в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по специальностям теплофизического,

теплоэнергетического и теплотехнического профиля

Калининград - 2010

УДК 621. 43

Румянцев конечных элементов в задачах теплопроводности: Учебное пособие / Изд. 3-е, перераб. – Российский госуниверситет им. И. Канта. – Калининград. 2010. – 95 с.

ISBN –

В учебном пособии рассматриваются основы метода конечных элементов в формулировке метода взвешенных невязок – метода Галеркина – применительно к нестационарным задачам сложного теплообмена в объектах различного назначения (авиационно-космических, теплоэнергетики и теплотехники). Пособие содержит большое количество задач, решение которых способствует практическому освоению материала. Приведенная в пособии подробная процедура получения алгоритма вычислительной программы наполнена физическим смыслом, что должно способствовать осознанному использованию получивших широкое распространение “тяжелых“ программ типа “NISA“, “ANSYS“ и многих других, базирующихся на методе конечных элементов, и, особенно, физически грамотному заданию граничных условий.

Предназначено для студентов, аспирантов и инженеров теплофизического (теплотехнического) профиля. Изложено в форме, доступной для самостоятельного изучения и получения практических навыков решения инженерных задач сложного теплообмена численным методом конечных элементов.

Печатается по решению редакционно-издательского Совета Российского государственного университета им. И. Канта.

Рецензенты: кафедра

кафедра

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………….5

ГЛАВА 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ …………………………………12

1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной

системе координат ………..............................................................................12

1.2 Краевые условия задачи ……..……………………………………………….15

1.3 Краткая характеристика методов решения краевой задачи………………...18

Задание 1 ……………………………………………………………………….20

ГЛАВА 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КРАЕВЫХ

ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПОЛЯ……................................................................20

2.1 Методы взвешенных невязок..……………………………………………......20

2.2 Основная концепция метода конечных элементов ………………………….23

Задание 2 ...…………………………………………………………………….26

ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МКЭ ………………………………26

3.1Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов ……………………27

3.2 Дискретизация области на элементы...………………………………………29

3.3 Нумерация элементов и узлов ………...…………...........................................31

3.4 Индексация узлов, формирование таблицы входных данных……………...33

Задание 3 ...……………………………………………………………………34

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТА ...…......................35

4.1 Метод Крамера .............……………………………………………………....36

4.2 Метод Лагранжа …...………………………………………………………....40

4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа …...……………………………….42

4.4 Эрмитовы элементы …………………………………………………………43

4.5 Свойства базисных функций……………………..........................................44

Задание 4 ……………………………………………………………………..46

ГЛАВА 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ МКЭ ….........................................47

5.1 Общее решение краевой задачи методом Галеркина………………...........47

5.2 Матричное представление элементного вклада …………………………..50

5.3 Формирование глобальных матриц ………………………………………..53

5.4 Стандартизация матриц элемента...………………………………………..55

5.5 Естественная система координат…………………………………………...57

5.6 Средние температуры элемента…………………..........................................60

Задание 5 …………………………………………...........................................61

ГЛАВА 6. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА

КОНЕЧНЫХ ЭЛЕММЕНТОВ..................................................................61

6.1 Задание краевых условий задачи ……………………………………………62

6.2 Решение системы динамических уравнений ……………………………….64

6.3 Учет температурной зависимости свойств элемента ...…............................67

6.4 Радиационный компонент теплообмена ………………………………….. 69

6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность и

пространственная изотропия…………………………………………………72

Задание 6……………………………………………………………………....76

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.….…..…………………………………………………....77

ПРИЛОЖЕНИЕ 1………………………………………………………………………81

ПРИЛОЖЕНИЕ 2………………………………………………………………………84

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………......…. ……………………..4

ГЛАВА 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ………………….... ………………10

1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе

координат ……………………………………………………... ……...10

1.2 Краевые условия задачи ……..…………………………...……………15

1.3 Краткая характеристика методов решения краевой задачи …………17

Задание 1 .……………………..………………………............. …….....20

ГЛАВА 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КРАЕВЫХ

ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПОЛЯ .…………………………..…....................... ……...20

2.1 Методы взвешенных невязок ..………………………………………...20

2.2 Основная концепция метода конечных элементов …...……. ……….24

Задание 2 ...…………………………………………………………….31

ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МКЭ ………………... ………………32

3.1 Базовый каталог конечных элементов …..……….…………. ……….32

3.2 Дискретизация области на элементы...…………………….... ………35

3.3 Нумерация элементов и узлов ………...……………………...........

3.4 Индексация узлов, формирование таблицы входных данных………39

Задание 3 ...……………………………………………………………. 41

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТА ...…............................ 42

4.1 Метод Крамера.............………………………………………............. 42

4.2 Метод Лагранжа …...………………………………………................. 47

4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа …...……………….. ………50

4.4 Свойства базисных функций ………………………………................ 51

Задание 4 …………………………………………………………….. 54

ГЛАВА 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ МКЭ ………………………………. 54

5.1 Общее решение краевой задачи методом Галеркина……………… 54

5.2 Матричное представление элементного вклада ………….………… 55

5.3 Формирование глобальных матриц …………………………. ………59

5.4 Стандартизация матриц элемента ...………………………................. 61

5.5 Средние температуры элемента….………………………..…........... 67

Задание 5 ……………………………………………………..…68

ГЛАВА 6. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ ……….……………………................................... 69

6.1 Задание краевых условий задачи …………………………….. 69

6.2 Решение системы динамических уравнений ……………….. .72

6.3 Учет температурной зависимости свойств элемента...…...... 75

6.4 Радиационный компонент теплообмена ……………………. 80

Задание 6 ……………………………………………………....84

Список литературы ….…..…………………………………………….... 85

Приложение 1 …….………………………………………………………. 89

Приложение 2 ………………...……………………..……………………. 91

ВВЕДЕНИЕ

Теорией теплопередачи или теплообмена называется наука, изучающая процессы переноса тепла в пространстве с неоднородным температурным полем. Наука о теплообмене насчитывает несколько столетий, но настоящего расцвета она достигла лишь в XX веке, найдя широкое применение при решении назревших практических задач техники. Из раздела теоретической физики учение о теплообмене превратилось в самостоятельную научно-техническую дисциплину.

Особенно сложные и важные задачи стоят в области изуче­ния теплообмена в современной авиационной, ракетной и космической технике. При сверхзвуковых скоростях полета значительно изменяются условия теплопередачи в отдельных элементах конструкции летательного аппарата, возникает необходимость его охлаждения или защиты от аэродинамического нагрева. Проблема тепловой защиты космического летательного аппарата, изучаемая в течение последних 30-40 лет, не утратила своей актуальности и сегодня, несмотря на достигнутые опреде­ленные успехи [19, 32, 36, 45-52].

Не менее важные и сложные проблемы учета теплообмена возникают при конструировании современных авиационных и ракетных двигателей. Высокая тепловая напряженность реактивных двигателей, использование криогенных топлив и многие другие важные вопросы требуют от современного конструктора этих двигателей умения произвести сложный инженерный расчет теплообмена в них и в их агрегатах.

Большое значение теория теплообмена имеет в расчетах как самих тепловых режимов летательных аппаратов, так и систем их обеспечения, а также систем жизнеобеспечения экипажа, надежной работы радиоэлектронной аппаратуры и т. д. [46-52].

На теории теплообмена базируются методы получения тепловой энергии, распределения, транспортирования, использования с помощью тепловых машин, аппаратов и установок, − паровых и водогрейных котлов, теплообменни

теплообменников, паровых и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания и т. п. Анализ процессов теплообмена в теплоэнергетических и теплосиловых установках позволяет выявить их, влияние на эффективность работы этих установок и определить пути ее повышения [21, 22, -23, 35 – 38]. В современной атомной энергетике теория теплообмена используется для расчета тепловых режимов ядерных энергетических установок, проектирования систем их обеспечения и безопасности [39].

Таким образом, курс "теплопередача" является одной из важнейших теплотехнических дисциплин, необходимых для современного инженера в области авиационной, ракетной и космической техники, в теплотехнике и теплоэнергетике. Цель изучения дисциплины − подготовка студентов к оусвоению теории и методов расчета теплообмена в спецкурсах, и к использованию полученных знаний и навыков в на стадии курсового и дипломного проектировании впоследствии в профессионал ьной

деятельности и на стадии курсового и дипломного проектирования.

Проектирование теплотехнического устройства независимо от назначения последнего неотъемлемой своей частью содержит тепловое моделирование [45-52].

Тепловое моделирование представляет собой типичную задачу оптимального управления тепловым режимом. Главное содержание задач оптимизации в том, чтобы из различных возможных реализаций рассматриваемого процесса выбрать такую, при которой тепловой режим был бы наилучшим по некоторому заранее указанному критерию [39- ,42,43,42].

Выбор оптимальных тепловых режимов невозможен без методов и средств точного решения прямой задачи теплопроводности. Как правило, это требование первично [44]. Методы и средства решения ординарных задач оптимального управления и обратных задач теплопроводности необходимы, важны, оптимизируют расчеты, но требования к ним вторичны. Задачи прогноза, задачи конструктивных расчетов можно решать, лишь имея математическую модель прямой задачи теплопроводности, метод и средства ее

решения, каковым является тепловой режим теплотехнического устройства в целом или отдельных его подсистем (элементов) [45].

Под тепловым режимом традиционно понимается последовательность (во времени) температур всех частей теплотехнического устройства, необходимых для его нормального функционирования на любом этапе. Именно такое содержание понятия "тепловой режим" однозначно определяет смысл задачи обеспечения теплового режима или понимания состояния, связанного с нарушением теплового режима [32].

В инженерной практике температурные требования обычно формулируются как требования к диапазону температур, в пределах которого обеспечивается одинаковая надежность работы всех элементов устройства. Чем уже диапазон допустимых температур, тем больше весовые и энергетические затраты на обеспечение теплового режима. Поэтому так важен учет всех компонент теплообмена, приводящий к расширению диапазона температур, снижение требований к системе обеспечения режима [45-52].

В настоящее время все большее значение в инженерной практике теплового проектирования приобретает математическое моделирование процессов теплообмена в сложных системах. Оно позволяет заранее с помощью относительно простых средств, проверить расчетным путем правильность принятых инженерных решений и устранить возможные ошибки на стадии проектирования до изготовления системы. Сущность математического моделирования кратко можно выразить триадой "модель-алгоритм-программа". Речь идет о замене объекта его моделью и о дальнейшем исследовании на ЭВМ с помощью вычислительно - логических алгоритмов [40, 41., 42, 46, 50].

Математическая тепловая модель может быть выражена различными средствами − от языка функционального анализа и дифференциальных уравнений до вычислительного алгоритма и машинной программы.

Математическая модель должна отражать структуру и характерные особенности рассматриваемых процессов или явлений, иметь подробное формализованное математическое описание в виде системы дифференциальных уравнений и функциональных соотношений, а также моделирующий алгоритм. Математическая модель должна быть, по возможности, универсальной, т. е. обеспечивать расчеты и моделирование сложного нестационарного теплообмена в многоэлементных системах любой геометрической конфигурации с локально распределенными динамическими внутренними и внешними тепловыми нагрузками.

На стадиях от эскизного проектирования до экспериментальной отработки включительно одной из основных задач математического моделирования является определение действительных значений температур в характерных точках объекта и систем обеспечения теплового режима,. иИх соответствия требуемым значениям во всем расчетном диапазоне, изменения внутренней тепловой нагрузки и внешних воздействий при заданной структуре и параметрах разрабатываемого объекта.

Среди численных методов решения дифференциальных уравнений метод конечных элементов (МКЭ) является достаточно наиболее эффективным и универсальным [2, 3, 6].

Метод конечных элементов на сегодняшний день является общепризнанным методом структурного анализа в целом ряде областей науки и техники [1-8]. В значительной мере это объясняется:

• возможностью задания локальных граничных условий;

• простой физической интерпретацией его вычислительных операций;

• большой геометрической гибкостью и применимостью к широкому классу дифференциальных уравнений в частных производных [2, 3, 6];,

• обеспечением единственности получаемого решения во всех точках рассматриваемой области;,

• эффективностью и экономичностью при его машинной реализации в сравнении с другими методами.

Область применения МКЭ существенно расширилась, когда было показано, что возможна не только его вариационная формулировка, но и формулировка на основе метода взвешенных невязок, в частности, метода Галеркина.

Универсальность метода Галеркина обеспечивается использованием непосредственно дифференциального уравнения с его краевыми условиями, описывающвшего исследуемый физический процесс, и не требующий, поэтому предварительного конструирования минимизируемого затем функционала, как это делается в вариационной формулировке МКЭ. Метод Галеркина позволяет получить решение в обобщенном виде в любой системе координат для объекта любой размерности и геометрии с сохранением всех преимуществ метода конечных элементов в целом.

Данное учебное пособие посвящено изложению основ теории МКЭ применительно к краевым задачам теории поля с опорой на метод Галеркина как наиболее универсальный и точный среди других версий. Общие вопросы практической реализации метода изложены в разделах со 2-й по 6-ю главы по

пособия, что позволяет использовать его в инженерной практике различных специальностей. Наибольшее внимание уделено задачам сложного теплообмена в самой общей постановке, и дано их решение в общем виде − в форме алгоритма вычислительной программы.

Побудительной причиной написания пособия послужило следующее: в литературе (и не только учебного характера), посвященной численным методам решения краевых задач теории поля, подобное пособие отсутствует; в монографиях по теории и практике применения МКЭ задачи теплопроводности приводятся лишь в иллюстративных целях, причем для осесимметричных задач в [23] предложеныо совершенно неверныеое решенияе в [23], что как нами показано нами в [14]. Наиболее важный для объектов авиационной и космической техники радиационный компонент теплообмена вообще не рассматривалется.

Материал пособия органически связан с изучаемыми на младших курсах дисциплинами, такими как математический анализ, векторное и тензорное исчисление, дифференциальные уравнения, численные методы анализа, теория теплообмена, программирование и применение ЭВМ. Предполагается, что студент хотя бы в общем виде знаком с целями и задачами проектирования и, в частности, теплового проектирования теплотехнических устройств, соответствующих профилю его будущей специальности [35-38, 40, 41, 47-49].

Из-за ограниченности объема в пособии: опущены некоторые специальные вопросы математического характера, относящиеся больше к теории, нежели к практике применения МКЭ, и; не излагается вариационная формулировка метода. Достаточно подробное освещение этих вопросов имеется в литературе [1-8] и при желании их можно оусвоить самостоятельно, поскольку общие вопросы теории и практики применения МКЭ в пособии даны.

В отличие от традиционного подхода, в пособии рассмотрены только трехмерные (объемные) задачи сложного теплообмена, что естественно с физической точки зрения: конвективный, радиационный теплообмен и внешние поверхностные нагрузки должны учитываться на самих поверхностях элемента, а не на условных границах по его периметру, как это делается в двумерных и одномерных задачах. Такая подмена приводит к количественным несоответствиям, так .как. площади поверхностей элемента и условных границ – это не одна и та же величина, и, кроме того, нормали к ним не совпадают, что особенно скажется при учете ориентационной зависимости внешней нагрузки. Освоив изложенную в пособии методику получения решения трехмерной задачи, не трудно можно при желании найти решение задач иной меньшей размерности. Именно в этих целях в Приложении 2 дан каталог одно - и двумерных элементов.

Элементы высокого порядка – квадратичные, кубичные и т. д., а также сопутствующие им вопросы численного интегрирования в пособии не рассматриваются, ибо линейные мультиплекс-элементы обеспечивают достаточную для инженерных расчетов точность получаемого с помощью МКЭ

решения задачи сложного теплообмена. Как правило, погрешности задаваемых параметров при тепловом проектировании довольно велики, и это делает нецелесообразным поиск более точного решения.

Задачей данного пособия является практическое оусвоение студентами (или специалистами теплотехнического профиля) одного из наиболее эффективных современных методов численного решения нестационарной задачи сложного теплообмена в объектах самого различного назначения, и методики получения обобщенного алгоритма универсальной вычислительной программы. Изучение материала пособия должно носить последовательный характер с обязательным выполнением заданий к каждой главе. Чтение лекций следует совмещать с практическими занятиями, ориентированными на выполнение приведенных в пособии заданий. Завершать курс желательно вычислительным практикумом по расчету температурного поля элементов конкретных достаточно простых конструкций. На изучение курса, как показывает 3025-ти летний опыт его преподавания, достаточно 90 часов аудиторных занятий (54 лекционных и 36 практических занятий) и примерно 36 часов для самостоятельной работы.

В настоящее время получили широкое распространение “тяжелые“ программы расчета, такие, например, как “NISA”, “ANSYIS”, “SOFISTIKA” и другие, базирующиеся на конечных элементах и позволяющие численно исследовать процессы различной физической природы в многоэлементных системах и в сложных конструкциях. Освоение данного пособия позволяет осознанно использовать эти программы, особенно в части физически грамотного задания граничных условий и последующего анализа полученных результатов расчета. Пособие окажется полезным студентам как теплофизического профиля, так и, особенно, студентам математического профиля, подходящих к решению физических задач с формальных математических позиций. Опыт преподавания показал, что cтуденты-математики быстрее осваивают математические аспекты “тяжелой” программы, но наполнение ее физическим смыслом вызывает у них большие трудности. В принципе, пособие следовало бы сопроводить перечнем теплофизических свойств веществ и их размерностью, но это привело бы к существенному увеличению его объема пособия. Представляется достаточным дать ссылку на справочную литературу.

Опыт чтения курса показал, что последовательность изложения материала во втором издании пособия не совсем логична: во второй главе дается общее решение краевой задачи в рамках МКЭ, в то время как студенты еще не ознакомлены с другими его аспектами. Поэтому в третьем издании этот материал перенесен в 5-ю главу. В четвертой главе добавлены сведения об эрмитовых элементах, которые могут использоваться в случае больших градиентов температуры без того, чтобы увеличивать количество лагранжевых элементов, как обычно поступают в подобных случаях. В шестой главе убран пункт 6.4, посвященный частному вопросу учета конвективного компонента при течении теплоносителя по неизотермическому каналу. Вместо него приведены необходимые, на наш взгляд, сведения математического характера, относящиеся к вопросам сходимости и точности получаемого с помощью метода конечных элементов численного решения задачи теплопроводности. В остальном материал пособия сохранен практически без изменений принципиального характера..

Представляется желательным снабдить пособие инструкцией пользователя “тяжелой“ программы, типа “NISA“ или “ANSYS“, что позволило бы проверить освоение студентами (и не только ими) всего материала пособия на конкретных примерах путем сопоставления аналитического решения задачи с полученным численным. К сожалению, такая инструкция по объему сопоставима с объемом пособия, и поэтому она будет издана отдельно, как самостоятельное приложение к пособию. Работа подготовительного характера в этом направлении ведется с помощью аспирантов и наиболее грамотных студентов, что позволит завершить ее в ближайшее время.

ГЛАВА 1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Физические процессы обычно описываются дифференциальными уравнениями различного порядка с начальными и граничными условиями к ним. В зависимости от искомой величины − векторной или скалярной − решение уравнения описывает в общем случае пространственно-временное распределение этой величины, называемое ее векторным или скалярным полем. В этой главе будут приведены выражения дифференциального уравнения переноса ((т. е. типа известных из курса дифференциальных уравнений уравнения Лапласа и Пуассона) и граничных условий к ним в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат и дана краткая характеристика аналитических методов его решения.

1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат

Диапазон физических задач, решаемых с помощью этого уравнения, достаточно велик. Приведем лишь некоторые из встречающихся в инженерной практике: теплопроводность [1], фильтрация в пористой среде [2, 3], невихревое течение идеальной жидкости [5], задачи механики сплошных сред [4, 6] и электромагнетизма [7].

Вид нестационарного уравнения переноса хорошо известен из курса дифференциальных уравнений [9]:

ii = 1, 2, 3. (1.1.1.1)

где ∆− лапласиан (дифференциальный оператор 2-го порядка); u(xi,τ) − искомая функция, описывающая поле значений физической величины; w(xi,τ) − задаваемая функция координат и времени; τ − время; k, η − коэффициенты, физический смысл которых обусловлен природой исследуемого процесса;, xi, τ − текущиеая переменныеая.

Размерность и геометрическая форма области существования функции u(xi,τ) определяются, очевидно, геометрией изучаемого объекта (конструкции или ее элемента) Поэтому целесообразно записать уравнение (1.1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат, что даст возможность применять его к объекту любой геометрии и размерности. Как станет ясно впоследствии, такая форма записи будет полезна при использовании метода конечных элементов (МКЭ) для решения уравнения.

Введем некоторую криволинейную ортогональную систему координат ξi (i=1,2,3) , единичные орты которой равны

. (1.1.21.2)

Здесь − радиус-вектор точки с координатами , а модуль его производной по криволинейной координате , называемый параметром Ляме, равен:

, j =1, 2, 3. (1.1.1.3)

Элементы длины, площади поверхности и объема в этой системе координат связаны с приращениями координат через параметры Ляме:

; ; (1.1.1.4)

Градиент функции есть вектор, который в криволинейной системе координат описывается формулой [9]:

. (1.1.1.5)

Оператор Лапласа может быть записан так:

.

С учетом ортогональности системы координат подстановка (1.1.5) в последнее выражение даст [11, 25]:

, (1.1.6)

где − якобиан преобразования декартовой системы координат в криволинейную, равный произведению параметров Ляме:

. (1.1.7)

Таким образом, дифференциальное уравнение (1.1.1) в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат будет иметь вид:

. (1.1.8)

Конкретный вид уравнения (1.1.8) в той или иной системе координат можно получить, если задать функции связи между декартовыми и криволинейными координатами.

Очевидно, что в декартовой системе , в силу чего все параметры Ляме ; следовательно, и . В итоге на основании (1.1.8) имеем уравнение переноса в декартовой системе координат:

. (1.1.9)

Связь между координатами декартовой и цилиндрической системами координат − , , − выражается известными соотношениями [11]:

; ; .

Подставляя производные этих функций связи в (1.1.3), найдем параметры Ляме и якобиан:

; ; ; , (1.1.10аa))

что после внесения их в уравнение (1.1.8) дает:

. (1.1.11)

В случае сферической системы координат –- , (азимутальный угол), (полярный угол) –- связь между координатами также известна [11]:

; ; .

Параметры Ляме и якобиан будут следующими:

; ; h3 = r ; , (1.1.10 б))

и уравнение примет вид:

. (1.1.12)

Заметим, что согласно (1.1.4):

. (1.1.13)

Из курса аналитической геометрии [11] известно, что орты криволинейной ортогональной системы координат направлены по нормали и по касательным и к соответствующим координатным линиям и не сохраняют свои направления в пространстве при изменении координат точки, оставаясь при этом ортогональными. Введем понятие порядка симметрии S системы координат, равном числу изменяющих свое направление ортов при изменении координат точки., Тогдато полученные выражения дифференциальных уравнений (1.1.9), (1.1.11) и (1.1.12) могут быть представлены в обобщенном виде: