Метод конечных элементов в задачах теплопроводности (стр. 4 )

, (4.1.8б))

где [ e(x,y)] – матричная строка базисных функций; {} – вектор-столбец значений функций в узлах элемента.

Степень аппроксимирующего полинома определяет число узлов, которым должен обладать элемент, – оно должно равняться числу неизвестных коэффициентов , входящих в полином. Например, если вместо (4.1.1) взять полином 2-ой степени:

,

то для определения элемент должен содержать шесть6 узлов – q =1,2…..6.

Располагать дополнительные узлы нужно следует на сторонах треугольника, желательно (но не обязательно) в их серединах, как показано на рис. 4.2. Элементы с полиномом 2-ой степени называют квадратичными, 3-ей степени - кубичными и т. д. Находить базисные функции этих элементов очень сложно, так как для этого необходимоужно раскрывать определители q-го порядка.

Если дополнительные узлы соединить прямыми, то треугольный элемент разобьется на четыре треугольные подобласти меньшего размера. Замена квадратичного элемента четырьмя линейными существенно упрощает математическую процедуру

математичесотыскания решения,, – так как система алгебраических уравнений становится линейной. При этом точность решения

Рис. 4.2 Расположение дополнительных узлов на сторонах элемента

задачи не снижается [6].

Аппроксимирующую функцию (4.1.1) для двумерного треугольника легко обобщить на трехмерный элемент – тетраэдр – добавлением третьей – z-ой координаты:

, . (4.1.911)

Рис. 4.3

Из вида (4.1.911) следует, что формулы для тетраэдра получаются, минуя всевсе процедуры, из формул для треугольника простым увеличением на единицу порядка определии ранга матрицы (4.1.6):

;

4.1.12)

; ; (4.1.10)

процедуры, из формул для треугольника простым увеличением на единицу порядка определии ранга матрицы (4.1.5). При этом элементы

где элементы – алгебраические дополнения определителя , т. е. являются становятся определителями 3-го порядка.

Базисные функции тетраэдра будут иметь вид, аналогичный функциям треугольного элемента (4.1.45) или (4.1.67):

, , (4.1.113)

или

. (4.1.12а)4)

Формула интерполяционной функции для тетраэдра имеет вид:

(4.1.12б))

Квадратичный тетраэдр заменяется восемью линейными элементами путем соединения дополнительных узлов прямыми линиями.

Описанный первый способ получения базисных функций, основанный на решении уравнений методом Крамера, удобен для простых, так называемых симплекс-

элементов, допускающих использование полного полинома первого порядка. Число узлов симплекс-элементов на единицу больше его размерности, т. е. минимально возможное. Для элементов, контуры которых не совпадают с координатной сеткой системы, перв1-ый способ является единственно возможным.

4.2 Метод Лагранжа

Достоинство первого способа состоит в его применимости к любым элементам независимо от их размерности и количества узлов. С его помощью при известном в явном виде аппроксимирующем полиноме -го ранга базисные функции в принципе всегда могут быть найдены, так как матрица типа (4.1.2) обратима, поскольку ее определиотличен от нуля, – площадь или объем элемента никогда не равны нулю. Однако Ууниверсальность метода Крамера нивелируется его неэффективностью при числе узлов элемента .

К элементам, образованным координатными линиями, целесообразно применять более простой метод Лагранжа.

Рассмотрим аппроксимацию функции полиномом -го ранга, считая, что значения функции заданы как в точках . Из численного анализа известно, что функция может быть задана как полином -ой степени:

, (4.2.1)

где – полином Лагранжа, определяемый равенством:

. (4.2.2)

Если под понимать аппроксимирующую элементную функцию , то из сопоставления (4.2.1) с (2.2.1) видно, что полиномы Лагранжа – это базисные функции элемента, а базовые точки – координаты его узлов, или узловые точки.

Проиллюстрируем метод Лагранжа на примере изображенного на рис. 4.4 элемента, образованного координатными линиями декартовой системы [4].

Использование равенств (4.2.1) и (4.2.2) на стороне 1–-2 (y=const), позволяет определить u(x) на этой стороне:

,

где ; ;

Аналогично на стороне 4–3 получим:

.

Аналогично на стороне 4-3 получим:

.

Применяя эти же рассуждения для сторон с , найдем:

, где ; .

,

где ; .

Собирая полученные выражения, для аппроксимирующей функции элемента будем иметь:

.

Видно, что попарные произведения полиномов Лагранжа соответствуют базисным функциям элемента:

;. ;,

;. .

Здесь – площадь элемента.

Обобщая эти соотношения на трехмерный элемент – координатную ячейку, придем к его математическому описанию в виде произведения трех лагранжевых полиномов, справедливому при любом :

, p ≠ q, (4.2.4)

где ξi – текущая переменная; ζi – координаты q-го и p-го узлов; p – индексы узлов, с которыми узел q расположен на координатных

поверхностях .

Как следует из (4.2.4), методом Лагранжа легко получить базисные функции всех элементов каталогаа, кроме, очевидно, второго, шестого и седьмого.

4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа

Особенность упомянутых выше 2-го, 6-го и 7-го элементов в том, что они лишь частично образуются координатными поверхностями системы. Поскольку число их узлов , применять к ним универсальный метод Крамера нецелесообразно. Возможен другой, более эффективный способ, сочетающий методы Крамера и Лагранжа.

Введем иерархию элементов, подразделив их на порождающие с , и порождаемые с . Порождение элемента можно осуществить трансляцией порождающего элемента в общем случае в произвольном направлении, или его поворотом вокруг некоторой оси на угол – для ограниченно симметричных, или на – для осесимметричных элементов. В результате размерность порожденного элемента увеличится на единицу.

Так как порождающий элемент не образован координатными поверхностями, то его базисные функции находятся методом Крамера при , а затем к нему применяется метод Лагранжа, который равнозначен операциям трансляции или поворота. В силу этого, достаточно базисные функции порождающего двумерного элемента умножить на полином Лагранжа в направлении орта трансляции, чтобы получить базисные функции порожденного объемного элемента :

, . (4.3.1)

Применяя обобщенный метод Крамера-Лагранжа ко второму элементу каталога, для его базисных функций получим следующее выражение:

, при (4.3.2)

где – базисные функции (4.1.7) треугольного элемента; а полиномы Лагранжа равны:

; . (4.3.3)

Эти же формулы описывают и седьмой элемент базового каталога, если в

Эти же формулы описывают и седьмой элемент базового каталога, если в

базисных функциях переменныезаменить на , а в полиноме Лагранжа – на :

. (4.3.4)

У шестого элемента на полиномы Лагранжа умножаются лишь базисные функции узлов и .

Все полностью симметричные элементы базового каталога относятся к порожденным поворотом на порождающих их двумерных элементов. В силу того, что при этом , базисные функции порожденных и порождающих их элементов идентичны.

4.4 Эрмитовы элементы

Наряду с лагранжевыми элементами могут быть использованы и эрмитовы элементы. Базисные функции для эрмитовых элементов могут быть получены аналогичным образом, но с использованием эрмитовых полиномов вместо лагранжевых. При этом узловой вектор будет включать узловые значения не только функции, но и ее производные.

Для иллюстрации рассмотрим одномерный элемент с r узлами, причем узлы не обязательно расположены равномерно. Пусть у каждого узла имеется две степени свободы – функция u и ее производная du/dx. Следовательно, пробная функция для элемента может быть записана в виде:

(4.4.5)

У базисной функции Nij в этом равенстве первый индекс обозначает порядок дифференцирования по соответствующей узловой переменной, а второй – номер узла. Для того, чтобы в (4.3.5) в узле k давало uk и ∂uk/∂x, функции N0i (x) и N1i(x) должны (при i≠j) удовлетворять соотношениям:

N0i(Xi) = 1, N1i(Xi) = 0, N′0i(Xi) = 0, N′1i(Xi) = 1,

(4.4.6)

N0i(Xj) = 0, N1i(Xj) = 0, N′0i(Xj) = 0, N′1i(Xj) = 0.

Этим равенствам удовлетворяют эрмитовы полиномы:

, , j ≠ i . (4.4.7)

В качестве конкретного примера рассмотрим случай r=2. Равенство (4.4.5) при этом примет вид:

(4.4.8)

где базисные функции (записанные по индексам i,j) получены из (4.4.7) и (4.4.8):

(4.4.9а))

(4.4.9б))

Для двумерных эрмитовых элементов интерполяция применяется дважды:

первая – в направлении x, а вторая – в направлении y, что дает базисные функции в виде произведения одномерных базисных функций.

4.54 Свойства базисных функций элемента

В общем случае элементные аппроксимирующие функции должны быть непрерывными, а их производные до порядка – непрерывными или постоянными внутри элемента и между элементами ( – порядок старшей производной в дифференциальном уравнении краевой задачи). Вследствие того, что по версии МКЭ:

; ,

указанными свойствами должны обладать и базисные функции элемента .

Так как узловые значения функции – это числа с размерностью искомой физической величины , базисные функции элемента должны быть безразмерными. В этом нетрудно убедиться, проанализировав формулы предыдущих параграфов этой главы.

Подставив в базисную функцию (4.2.4) координаты -го узла, получим:

.

Если в выражение (4.2.4) подставить координаты -ых узлов , то оно даст . Таким образом, базисная функция должна удовлетворять следующим необходимым условиям:

, , . (4.54.1)

Просуммируем столбцы матрицы (4.1.6), описывающие коэффициенты

базисных функций (4.1.7) симплекс-треугольника:

, так .как. ;

;

.

Из этих равенств вытекает еще одно необходимое условие, которому должны удовлетворять базисные функции произвольного (а не только треугольного) элемента с произвольным количеством узлов:

, , (4.54.2)

которое может быть отнесено к нормировочному.

Нарушение требования (4.54.2) однозначно свидетельствует, что какие-то (или все) базисные функции элемента определены неверно.

Градиент искомой физической величины определяется производными базисных функций и узловыми значениями :

, . (4.54.3)

Согласно (4.2.4) и (4.3.1) первые производные базисных функций элементов каталога будут содержать оставшиеся после дифференцирования текущие переменные и их произведения в первой степени. Такие элементы принято называть мультиплекс-элементами. У этих элементов непрерывными являются и первые производные базисных функций, но только по двум переменным, а вторые производные по этим же переменным постоянны.

У линейного тетраэдра (и треугольника), как видно из (4.1.14), первые производные базисных функций постоянны и равны коэффициентам при текущих переменных. Такие элементы называют симплекс-элементами (простыми). Как было показано выше, суммы коэффициентов равны нулю. Следовательно, для произвольного симплекс-элемента с узлами имеем:

. (4.54.4)

Соотношение (4.54.4) можно считать одним из признаков принадлежности элемента к семейству симплекс-элементов.

Постоянство градиента внутри симплекс-элемента требует использования малых по размерам элементов, чтобы точнее аппроксимировать быстро меняющуюся функцию . Автоматически это обусловливает дискретизацию исследуемой области на большое число элементов со всеми вытекающими отсюда последствиями.

В заключение еще раз заметим, что элементы принято классифицировать на лагранжевы и эрмитовы в зависимости от того, включает ли узловой вектор только значения функции – лагранжевы, или и значения ее производных – эрмитовы элементы [6]. Все элементы базового каталога по этой классифи­кации являются лагранжевыми.

Задание 4

4.1. Найдите базисные функции для элементов:

а); ; б) ; ; ;

в); ; ; ; ; г) докажите справедли-

вость найденных выражений для всех базисных функций;

4.2 Покажите, что для симплекс-треугольника Ni(x,y) = 0 в узлах j и k.

Покажите, что для симплекс-треугольника в уз­лах и .

4.3 Покажите, что в произвольной точке отрезка . Найдите зна-

чения этой функции, изменяя значения x в пределах от Xi до XJk , и постройте

ее график..

4.4 Покажите, что базисные функции 4-го элемента базового каталога удовле-

творяет критерию (4.54.2).

4.5 Методом Лагранжа найдите базисные функции радиальных двумерных тре-

угольника и четырехугольника, лежащих в основании 4-го и 5-го элементов

каталога.

4.6 Методом Лагранжа найдите базисные функции элементов, порождающих

элементы каталога с номерами 8-10.

4.7 Найдите трансляцией базисные функции 5-го элемента базового каталога.

4.8 Найдите базисные функции для элементов или каталога. Проверьте

результат по критерию (4.54.2).

4.9 Возможна ли дискретизация 2-мерной области треугольными элементами

разного порядка?

ГЛАВА 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ МКЭ