Метод конечных элементов в задачах теплопроводности (стр. 6 )

Отсюда следует, что из трех -координат независимыми являются только две любые из них, как и следовало ожидать для двумерного случая. Таким образом, введенные плоские -координаты удовлетворяют всем свойствам базисных функций элемента.

Найдем конкретное выражение для -координаты. Площадь треугольника с вершинами , и , как известно, равна:

.

Разделив на площадь треугольника, видим, что полностью совпадает с базисной функцией , симплекс-треугольника (см. (4.1.5)). Следовательно:

с базисной функцией , симплекс-треугольника (см. (4.1.5)). ; ; . (5.4.7)

; ; . (5.4.7)

Интегрирование с использованием плоских -координат осуществляется согласно формуле:

. (5.4.8)

В трехмерном случае естественными координатами служат, очевидно, отношения объемов, или объемные -координаты. Произвольно выбранной точкой тетраэдр делится на четыре подобъема. Тогда для объемной -координаты будем иметь:

.

Легко показать, что и в этом случае базисные функции равны -координатам:

; ; ; . (5.4.9)

Независимыми являются любые три из четырех объемных -координат.

Интегралы для получения стандартизованных матриц просто находить в объемных -координатах согласно формуле::

. (5.4.10)

Отметим, что в формулах интегрирования с помощью -координат (5.4.6), (5.4.8) и (5.4.10) в знаменателе стоит сумма показателей степени-координат плюс число, соответствующее размерности элемента. Это правило помогает легко запомнить формулы интегрирования.

Базисные функции элемента, или -координаты, можно использовать и для установления связи между декартовой и естественной системами координат:

, , x = x(ξ,η) = [Lm(ξ,η)]{X}; y = y(ξ,η) = [Lm(ξ,η)]{Y}, (5.4.11)

где {X} и {Y} , – вектор-столбцы, элементами которых являются глобальные (в декартовой системе) координаты (в декартовой системе) узлов элемента; индекс показывает, что базисные функции элемента использованы для преобразования координат. Например, радиус-вектор в цилиндрической системе координат можно на основании (5.4.11) представить следующим образом:

, (5.4.12) , (5.4.12)

где – - радиальные координаты узлов симплекс-треугольника. Такая замена очень продуктивна при нахождении стандартизованных матриц элементов, стороны которых не совпадают с координатными линиями системы [1, 2].

При задании двух множеств узлов – одно для определения аппроксимирующей функции элемента, другое – для преобразования координат, возможны три случая:

•а) число узлов для определения формы элемента элемента меньше числа узлов, использу-используемых при определении интерполяционной функции, это

емых при определении интерполяционной функции, это – субпараметрические

элементы:

•б) число узлов одинаковое – изопараметрические элементы;

• в) число узлов в формы больше числа узлов полинома – это суперпараметрические

элементы.
суперпараметрическ Возможность задания двух независимых множеств узлов поз­воляет сочетать как интерполяционные полиномы высокого порядка с элементами простой геометрии, так и элементы сложной формы с простыми интерполяционными полиномами [2, 6].

5.65 Средние температуры элемента

Как будет показано в следующей главе, учет температурной зависимости

Как будет показано в следующей главе, учет температурной зависимости теплофизических параметров, расчет конвективного и радиационного компонент теплообмена требуют знания средних – объемной и поверхностной –температур элемента. Они определяются, как известно, формулами:

; , (5.5.1)

где -номер поверхности.

где -номер поверхности.

С учетом версии МКЭ:

стандартизованные выражения для средних температур конкретного элемента каталога будут следующими:

; . (5.5.1)

; . (5.5.1)

После интегрирования согласно (5.5.1) стандартизованные соотношения для средних температур элементов каталога программируются.

Сопоставляя (5.5.1) с (5.2.7) и (5.2.8), видим, что средние температуры фактически уже найдены, поскольку интегралы в сравниваемых выражениях одинаковы. В (5.5.1) достаточно внести лишь объем элемента и площади -x поверхностей.

В заключение укажем, что базисные функции элемента должны удовлетворять не только сформулированным в п. 4.4 необходимым условиям, но и достаточным:

, , (5.5.2)

которые должны выполняться одновременно. В задачах теплопроводности достаточность условий (5.5.2) (второе из них может рассматриваться как нормировочное) вытекает из следующих физических соображений: объемная нагрузка в узле независимо от характера – (равномерного или неравномерного –) ее распределения по узлам может быть только положительной, а сумма узловых нагрузок должна равняться величине объемной нагрузки элемента в целом. К этим же выводам можно прийти и анализируя формулы (5.5.1) для средних температур.

Задание 5

5.1 Получите базисные функции всех элементов каталога.

5.2 Получите все стандартизованные матрицы второго, третьего и шестого
элементов каталога, используя -координаты.

5.3 Найдите среднеповерхностные температуры одногопятого из элементов мента каталога.

каталога.

ГЛАВА 6. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ

Формой реализации метода конечных элементов как численного метода решения краевой задачи теории поля является вычислительная программа, представляющая собой задаваемую ее алгоритмом последовательность стандартных процедур. В предшествующих главах были описаны методы и способы стандартизации отдельных вычислительных аспектов программы по реализации МКЭ. В данной главе рассмотрен завершающий этап построения программы – получение системы алгебраических уравнений, позволяющей определить поле значений искомой величины, в частности, температуры. В последних трех пунктахараграфах главы затронуты некоторые вопросы методического характера.

6.1 Задание краевых условий задачи

В пятой главе была описана методика получения стандартизованных матриц элемента, которые заносятся в программу. В качестве множителей эти матрицы содержат величины, которые либо отражают свойства элемента – объемная теплоемкость и коэффициенты теплопроводности в соответствующих матрицах, либо задаются граничными условиями задачи:, – коэффициент конвективного теплообмена и комплексный коэффициент в поверхностных компонентах стандартизованной матрицы теплопроводности (см. (5.2.3)) и вектора тепловой нагрузки (см. (5.2.8)), соответственно.

Введенный в п. 1.2 комплексный коэффициент (см.(1.2.8)) описывал сложный теплообмен на границах элемента и объединял три его компонентаы:

, , (6.1.1)

, , (6.1.1)

где – число ограничивающих элемент поверхностей.

Объединение физически разнородных механизмов в было произведено чисто математически на том основании, что все поверхностные компоненты, образующие вектор тепловой нагрузки, описываются единой формулой (5.2.8).

Задать граничные условия – это значит указать геометрическую, физическую и количественную характеристики поверхностного теплообмена. Геометрическая характеристика сводится к указанию поверхности элемента, на которой осуществляется тот или иной вид теплообмена; физическая описывает механизм (компонент – ) теплообмена; количественная – его интенсивность.

В целях стандартизации процедуры задания граничных условий для элементов базового каталога, поверхностям каждого его элемента присвоены номера 1, 2, 3, 4, 5, 6, а его узлам –- индексы . Это позволяет задавать поверхность, на которой осуществляется теплообмен, не индексами принадлежащих ей узлов, а присвоенным ей в каталоге номером, что существенно сокращает объем вводимой информации. Процедура задания граничных условий представлена в таблице 4.

Таблица 4

Таблица входных данных (=0)

Номер элемента	Ин- декс и глоб. номер узла	Координаты узлов	Конв- ектив- ный т/о	Ради- ацион- ный т/о	По- верх- ност- мощ- ность	Объ- ем- ная мощ- ность	Век- тор нач. тем- пера- тур
Гло- баль- ный	Физ. ка- та- лог	Баз. ка- та- лог	ξ1	ξ2	ξ3
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
e	eфк	ekei	i j . . . q	Xi Xj . . . Xq	Yi Yj . . . Yq	Zi Zj . . . Zq	α1 α2 . . . α6	S1 S2 . . . S6	q1 q2 . . . q6	w	{T0}
12	9	7	1 3 7 6 2				250 128		580 322	6300	293

Радиационный компонент содержит степень черноты поверхности , величи-

на которой (и ее температурная зависимость) занесена в физический каталог. Поэтому при задании граничных условий достаточно указать лишь номер поверхности элемента, на которой осуществляется радиационный теплообмен, не приводя самого значения , – оно определяется номером элемента по физическому каталогу.

Граничные условия для каждого элемента вводятся в расширенную таблицу входных данных, содержащую в себе и ее геометрическую часть (cм. стр. 40).

В таблице 4 наряду с граничными условиями –- позиции 8, 9, 10, указаны элементы с объемным источником (стоком) тепла –- поз. 11, и начальное условие

– поз. 12, т. е. вектор значений среднеобъемных температур элементов, задаваемых пользователем программы по тем или иным соображениям. Лишь базируясь на таблице входных данных, стандартизованные матрицы элемента можно превратить в числовые. Тем самым числовыми становятся и глобальные матрицы.

Таблица входных данных (=0)

В общем случае объемная тепловая нагрузка зависит от времени, так как является активным элементом в системе обеспечения теплового режима (СОТР) объекта [49 – -52]. При релейном управлении она задается в программе отдельной временной циклограммой.

Внешний тепловой поток обычно тоже является функцией времени вследствие его ориентационной зависимости при движении объекта, например, космического аппарата по орбите [32]. Зависимость может задаваться аналитически или, что реже, временной циклограммой, как это показано в таблице 5.

6.2 Решение системы динамических уравнений

Задание граничных условий позволяет программно превратить

глобальные матрицы в числовые. В стационарном случае это означает, что

получена система R (по количеству узлов) алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами при неизвестных узловых значениях или , которая может быть разрешена с помощью стандартной программы (например, “GELG”, реализующей метод Гаусса).

В нестационарном случае получается система R обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с числовыми глобальными матрицами [1]:

.

, , (6.2.1)

с начальным условием, включенным в таблицу данных:

. (6.2.2)

Система уравнений (6.2.1) вместе с (6.2.2) представляет собой известную

Таблица 5

Временная циклограмма q(τ)

Время (мин.)	Номер элемента	Номер поверхности	Величина мощности (Вт)
0 ÷ 30	3 5 12	1 4 3	20 35 74
30 ÷ 60	3 7 14	2 1 6	51 40 62

6.2 Решение системы динамических уравнений

Задание граничных условий позволяет программно превратить глобальные матрицы в числовые. В стационарном случае это означает, что получена система алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами при неизвестных узловых значениях или , которая может быть разрешена с помощью стандартной программы (например, GELG, реализующей метод

Гаусса).

В нестационарном случае получается система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с числовыми глобальными матрицами [1]:

, , (6.2.1)

с начальным условием, включенном в таблицу данных:

. (6.2.2)

Система уравнений (6.2.1) вместе с (6.2.2) представляет собой известную задачу Коши. Для ее решения применим метод конечных элементов, для чего представим (см. рис. 6.1) временную ось совокупностью отрезков (элементов), не обязательно одинаковой длины , хотя последнее и удобнее. Кривая дает графическое изображение временной зависимости температуры не в отдельном глобальном r-ом узле, а всего вектора значений температуры в R глобальных узлах, т. е. – это вектор-столбец размером . Для отображения этого факта на рисунке и применен жирный шрифт.

Используя версию МКЭ, аппроксимирующую функцию на -ом временнόм элементе представим в виде:

, (6.2.3)

где – матричная строка базисных временных функций;

– вектор-столбец всей совокупности значений температу-

ры в -м и в -м узлах -го временнόго элемента.