Современная математика часто пользуется схемой: построение моделей – исследование моделей (создание теорий) – интерпретация. В процессе обучения математике очень важен этап интерпретации.
Геометрические интерпретации (иллюстрации) удобны и доступны для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с их использованием алгебраическая задача перестаёт быть абстрактной и отвлечённой, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащегося. Геометрический образ откладывается в сознании и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически. Это позволяет решать такие задачи, которые алгебраическими методами решать весьма затруднительно, если вообще возможно.
Мы разберём некоторые аспекты формирования у учащихся геометрического мышления в процессе обучения их решению алгебраических задач одного из разделов школьного курса алгебры «Модули». Эта тема трудна для восприятия, так как применение формального определения модуля при решении задач часто вызывает у учащихся трудности, связанные с плохим пониманием данного понятия. Это вызвано не столько логически-математическими обстоятельствами (кроме определения модуля, больше никаких фактов знать не нужно), сколько методическими.
Модуль – это целый мир геометрических образов, простых и понятных, часто очень красивых и запоминающихся. Под таким девизом и должен излагать учитель «модульный материал». Но здесь надо соблюдать аккуратность. К примеру, трактовка модуля как неотрицательной величины, как расстояния между точками числовой прямой при решении заданий, содержащих переменную, оказывается не всегда удачной. Вместе с тем, когда учащиеся уже знакомы с графиком функции f(x) (рис. 1), с модулем можно связать такой геометрический образ, как излом (преломление).
Используя этот простой образ, мы сразу можем представить, например, g(x)=|x+1|, сдвинув график f(x) на 1 влево по оси абсцисс, аналогично строим образ h(x)=|2x+1|. И т. д.
Ещё один образ восприятия модуля с помощью геометрического образа состоит в использовании «преломляющей» симметрии. Этот подход позволит вне зависимости от вида элементарной функции f(x) интерпретировать выражение её модуля иначе: линия функции на графике | f(x)| преломляется в особых точках. Эти точки «преломления» графика есть нули функции. После излома осевая симметрия относительно оси абсцисс отображает продолжение графика функции f(x) вверх (рис. 2). При этом число нулей совершенно несущественно, а простой образ «нуль функции – преломление её графика» гораздо эффективнее, нежели формальные алгебраические рассуждения. Таким образом, когда для ключевого понятия найден простой, понятный геометрический образ, всё остальное (в том числе формальные выкладки, преобразования и т. п.) воспринимается намного эффективнее.
Приведём примеры использования геометрических образов модуля при решении более сложных алгебраических заданий.
ПРИМЕР 1. Построим график функции
f(x)=|x|+|x+1|
Р е ш е н и е. 1) Традиционная методика решения этой задачи состоит в разбиении числовой оси на интервалы и выявление функции f(x) на каждом интервале.
Указанный способ содержит существенный отрицательный момент. Формальная запись этого решения понятна для математика, но школьник плохо воспринимает подобные преобразования функции, так как у учащегося нет представления о конечном виде графика такой функции, нет чёткого и понятного геометрического образа. Методически более перспективные подходы к обучению решению такого рода задач – их геометрические интерпретации.
2) При обсуждении замечаем, что построение графика суммы функций не требует обязательного нахождения значений всего аналитического выражения. Для этого изобразим графики функций f(x)=|x| и g(x) на одном чертеже (рис. 1), а затем начнём их «складывать». Далее может завязаться небольшая дискуссия по вопросу о том, какой вид имеет график суммы, в результате которого учащиеся приходят к правильному ответу.
В чём здесь преимущество? В том, что при первом подходе решение предлагается извне, от учителя, а во втором, оперируя простыми геометрическими объектами (прямые, точки), учащиеся самостоятельно находят решение.
3) Ещё один подход основан на указанном выше геометрическом образе модуля – изломе (преломлении). Число модулей определяет число изломов.
Таким образом, для определения точек излома графика найдём y(0)=1,
y(-1)=1. Отметим на координатной плоскости В(0;1) и А(-1;1). Далее соединим отрезком точки A и B. Таким образом, средняя часть графика построена (рис. 3). Крайние звенья графика – лучи. Найдём дополнительные точки для их построения: С(-2;3) и Д(1;3). Проводим лучи АС и ВД. График готов. Теперь можно обсудить некоторые его свойства. Скажем, средняя часть параллельна оси абсцисс (горизонтальна), а крайние симметричны относительно прямой х=0,5. Самостоятельное выявление свойств объекта способствует его осмысленному и прочному восприятию. Учитель может попросить доказать эти свойства. Тогда ответы учеников потребуют согласования геометрических и алгебраических соображений, выхода на качественно иной уровень знания математики.
ПРИМЕР 2. Решить уравнение
|x-1|-|x-3|-2=- х0,5
Р е ш е н и е. а) Строим график функции f(x)=|x-1|-|x-3|-2 (рис. 4). Для этого достаточно найти f(0)=-4 ; f(1)=-4; f(3)=0;f(4)=0. Соединяем точки прямыми, получим график функции f(x).
б) Для построения графика g(x)= хо,5 достаточно отобразить симметрично относительно оси абсцисс график «корня».
в) Далее можно быстро завершить решение, заметив, что графики функций имеют единственную точку пересечения, расположенную в интервале (1;3), где |x-1|=x-1, |x-3|=3-x. Поэтому x-1-(3-x)-2=- х0,5, 2x+х0,5-6=0. Последнее уравнение сводится к квадратному, в решении которого ученикам желательно предоставить свободу выбора (геометрический или алгебраический способ решения), что способствует реализации дифференциации обучения математике.
Другой подход к завершению решения: учитель просит объяснить, почему точка пересечения единственная, какие свойства функций f(x) и g(x) обеспечивают это обстоятельство? (В контексте задания происходит эффективное усвоение такого понятия, как монотонность функции.)
ПРИМЕР 3. Решить графически уравнение
||x-1|+2|=1
Один из возможных вопросов учеников может быть такой: «А зачем решать графически, ведь уравнение решений не имеет:|x-1|>=0, |x-1|+2>=2, ||x-1|+2|>=2, т. е. ||x-1|+2| не равно 1?»
Тогда учитель изменяет приведённое уравнение, а может попросить это сделать учеников так, чтобы испортить «алгебраические» рассуждения. Стоит изменить +2 на –2, «простота» решения пропадает, так как модуль опустить невозможно: ||x-1|-2|=1. Полученное уравнение, конечно, решается алгебраически, но геометрическое решение вполне может с ним конкурировать. Можно даже устроить небольшое соревнование, кто быстрее решит «алгебраист» или «геометр».
Р е ш е н и е (геометрический способ). Построить график функции y=||x-1|-2|. Предварительно разбираем с учащимися построение таких графиков. Замечаем, что точки с абсциссами x1 и x2 соответственно симметричны точкам с абсциссами x3 и x4 относительно прямой х=1 (рис. 5). Отсюда x2=0 и x3=2. Корень x4>3, поэтому для его нахождения имеем х-1-2=1, x4=4,
х1=-2.
З а м е ч а н и е. Геометрический метод имеет более общий характер. Стоит усложнить задачу, и это проявится. Скажем, решение уравнения ||x-1|-2|=a, где а - параметр, алгебраическим методом весьма сложно, и здесь уже «геометрия» работает в полном объёме.
Таким образом, обсуждая различные методы решения задач, отмечаем, что геометрический подход к абстрактным алгебраическим объектам позволяет увидеть то, что не видит алгебра. Поэтому решение математической задачи становится для учеников не только целью, но и средством для возникновения интереса к овладению математическими знаниями.
МОУ Краснокустовская сош
Доклад
на тему:
«Творческое обучение»
Учитель математики
2007 – 2008 учебный год
Учитель математики знакомит учащихся с понятиями, которые часто не могут быть представлены в виде конкретных образов. Материал имеет абстрактный характер, наверное, поэтому по математике и русскому языку наибольшее количество неуспевающих. Из этого вытекают задачи изучения законов логического мышления и развитие интереса.
В результате работы можно сделать вывод: ученики будут учиться с желанием, если им интересно, понятно, и они знают, зачем учатся.
Учитывая, что интересы учащихся различных классов отличаются друг от друга, нужно продумывать соответствующие задания.
Изучение нового материала
На первых уроках по теме необходимо использовать исторический материал. Педагогу нужно иметь и использовать в работе папку – накопитель «Из истории математики». Составить альбом – толковый словарь математических терминов. Например, А – аксиома – бесспорное утверждение, уважение, почёт, авторитет. У Евклида – разум.
Здесь же сведения о математической символике, знаках. Например, знаки «<», «>» введены англичанином Гарри Оттом в 1631 году, знак умножения «.» - в XVII веке Кеплером и т. д.
Альбом постепенно заполняется учителем и учениками, используется при изучении нового материала, термины могут быть включены в математические диктанты.
Карточки для опроса
В 5 классе каждый ученик готовит себе карточку (рис. 1). Числа в первой строке и в первом столбце проставляет учитель или другой ученик. Во время опроса, например, можно сказать: «в клеточках по большой диагонали запишите произведение чисел» или «В правом столбце – сумму». Если работать карандашом, то затем результаты можно стереть и использовать карточку многократно.
1,2 | 5 | 0,3 | 1,21 | 0,4 | 2 | 0,01 | 15 | 1,9 | |
1,01 | |||||||||
3,1 | |||||||||
4 | |||||||||
0,8 | |||||||||
100 | |||||||||
0,25 | |||||||||
1,5 | |||||||||
0,5 | |||||||||
50 |
Подготовка к зачёту по теме «Производная» в 11 классе. На стенде – таблица (рис. 2) с функциями, производные которых надо найти. Готовясь к зачёту, учащиеся опрашивают по этой таблице друг друга. Для зачета достаточно указать производные любых пяти функций. Если ученик отвечает верно, то ставится «зачёт».
y=x/4-1,5 y’(x) | y=log3(x+8) y’(x) | y=2ex+1 y’(1) | y=2x2-3x+7 y’(x) | y=log35x y’(x) | y=3x2-4x+6 y’(x) | y=2xx2 y’(x) | y=5e[ y’(x) | y=ln5x y’(x) | y=x3-4 y’(x) |
y=ex y’(x) | y=2/3+7x y’(x) | y=4x+6 y’(x) | y=x5 y’(2) | y=x5-6x4+8 y’(x) | y= -cos10x y’(x) | y=81-4x y’(x) | y=(1-x)1/4 y’(x) | y=sin2x y’(x) | y=5x/2 y’(x) |
y=sinx/4 y’(x) | y=(2x+3)1/3 y’(x) | y=5x-1/5 y’(0) | y=7,1x y’(x) | y=x3 y’(x) | y=e7x y’(x) | y=3tgx y’(x) | y=99x y’(x) | y=ex/6 y’(x) | y=cos3x y’(x) |
y=x7 y’(x) | y=-e3[ y’(x) | y=tg7x y’(x) | y=-x-3 y’(x) | y=1/2sin2x y’(45o) | y=61-x y’(x) | y=x1/4 y’(x) | y=-ctgx y’(x) | y=x-1,4 y’(x) | y=3x y’(x) |
y=23x y’(x) | y=cos3x y’(x) | y=x3 y’(x) | y=3ex y’(x) | y=14-x y’(x) | y=xe y’(3) | y=e1,2x y’(x) | y=x7,805 y’(x) | y=1-x y’(x) | y=e2x+3 y’(x) |
y=1/(x-1)1/2 y’(x) | y=x8 y’(x) | y=(x-4)1/5 y’(x) | y=cos6x y’(x) | y=5x y’(x) | y=-x/2-1/8 y’(x) | y=lgx y’(x) | y=3,14 y’(x) | y=11x y’(2) | y=x5,3 y’(x) |
y=log6x2 y’(x) | y=3x y’(x) | y=log4x y’(x) | y=ln2x y’(x) | y=-e-x y’(x) | y=2log2x y’(x) | y=6/7x+4 y’(x) | y=log6x y’(x) | y=7x8-x6 y’(0) | y=log5x y’(x) |
Творческие работы учащихся
Лучшие работы учащихся можно заносить в специальный альбом. Это своеобразная копилка, которую используют в качестве образцов оформления, дидактического материала, во внеклассной работе. Для сбора материала объявляется конкурс на лучшую работу, которую, например, можно использовать для устного счёта. На каждом уроке рассмотреть одну работу, а затем выбрать лучшее задание.
Пример задания по теме «Десятичные дроби» (5 класс).
Кто возглавлял восстание рабов – самое крупное в истории?
9,19 + 24,92; 29,07 – К;
7,91 – 0,328; 9,36 – Т;
0,807 + 5,103; 5,91 – А;
81,5 – 15,06; ключ 66,44 – Р;
117% от 8; 7,582 – П;
4,96 – 0,94; 34,11 – С;
153% от 19. 4,02 – А.
Эти небольшие штрихи учительской деятельности по воспитанию интереса к изучению математики могут помочь учителям в их работе.
