Геометрия и алгебра

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Бизнес-информатики

Программа дисциплины

ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА

для направления 080500.62 «Бизнес-нформатика»

подготовки бакалавра

Автор программы:

НАПЕДЕНИНА Е. Ю., канд. педаг. наук, доцент, *****@***ru

Одобрена на заседании кафедры (Департамента) высшей математики «___»____________ 20 г

Зав. кафедрой Ф. Т. АЛЕСКЕРОВ

Рекомендована секцией УМС по Бизнес-информатике «___»____________ 20 г

Председатель [Введите ]

Утверждена УС факультета Бизнес-информатики «___»_____________20 г.

Ученый секретарь [Введите ] ________________________[подпись]

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

2  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080500.62 «Бизнес-нформатика» подготовки бакалавра, изучающих дисциплину Геометрия и Алгебра.

Программа разработана в соответствии с:

·  федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки бакалавров 080500.62 «Бизнес-информатика»;

·  ООП для направления 080500.62 «Бизнес-информатика»;

·  рабочим учебным планом университета по направлению 080500.62 «Бизнес-информатика», утвержденным в 2012г.

3  Цели освоения дисциплины

Целью дисциплины является обеспечение фундаментальной подготовки в одной из важнейших областей современной математики; ознакомление с примерами применения векторной алгебры; формирование навыков решения геометрических задач в различных системах координат; ознакомление с основами классической и современной алгебры; обучение основным алгебраическим методам решения задач, возникающих в других математических дисциплинах и в практике; ознакомление с историей развития алгебры и геометрии и вкладом российских ученых.

Дисциплина «Геометрия и алгебра» относится к числу фундаментально-прикладных математических дисциплин, в силу того, что она является широко используемым аппаратом для всех разделов математики и, в частности, в стремительно развивающейся вычислительной математике и технике. Отбор изучаемого материала продиктован его важностью для подготовки специалиста. Во всех разделах дисциплины большое внимание уделяется построению алгоритмов для решения практических задач.

4  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать:

–  точные формулировки основных понятий,

–  возможности координатного метода для исследования различных геометри­ческих объектов,

–  основные теоремы о структуре множества решений систем линейных уравнений,

–  основные задачи векторной алгебры и аналитической геометрии,

–  основные виды уравнений простейших геометрических объектов,

–  основные свойства важнейших алгебраических структур,

–  основы линейной алгебры, в частности, свойства числовых характеристик матриц: определитель, ранг, размерность пространства строк и столбцов,

–  векторные пространства и их свойства;

уметь:

–  интерпретировать основные понятия на простых модельных примерах,

–  свободно использовать координатный, векторный, матричный или операторный способы записи математических соотношений,

–  использовать математический язык и математическую символику при построении организационно-управленческих моделей,

–  строить и изучать математические модели конкретных явлений и процессов для решения расчетных и исследовательских задач,

–  определять возможности применения теоретических положений и методов математических дисциплин для постановки и решения конкретных прикладных задач,

–  исследовать простейшие геометрические объекты по их уравнениям в различных системах координат,

–  оперировать с числовыми и конечными полями, многочленами, матрицами,

–  решать основные задачи линейной алгебры, в частности системы линейных уравнений,

–  применять изучаемые методы построения решений систем линейных уравнений,

–  решать типовые математические задачи курса, используемые при принятии управленческих решений;

владеть:

–  навыками использования методов аналитической геометрии и векторной алгебры в смежных дисциплинах и экономике,

–  методами линейной алгебры для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических,

–  основными алгоритмами линейной алгебры.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС/ НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения	ОК-1	студент дает определения изучаемым понятиям линейной алгебры, воспроизводит доказательство ее теорем и вспомогательных утверждений, распознает и анализирует взаимосвязи осваиваемых объектов и математических конструкций, основываясь на знании их свойств, демонстрирует навыки формулирования цели исследования и выбора технических приемов ее достижения	регулярные упражнения, включающие разбор стандартных технических приемов, самостоятельное решение задач по геометрии и алгебре, изучение лекционного материала и дополнительной литературы с целью тщательной подготовки к семинарским занятиям и контрольным работам
готовность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий математический аппарат	ОК-2	студент способен к распознаванию естественнонаучных аспектов широкого круга проблем профессиональной деятельности, обладает необходимыми навыками применения понятийного аппарата и методов линейной алгебры, как одной из дисциплин математического и естественнонаучного блока, в ходе их решения	широкое ознакомление студентов с достижениями современного естествознания с привлечением всех возможностей коммуникационных технологий на примерах использования методов линейной алгебры в приложениях к задачам социально-экономического моделирования
способен логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь	ОК-6	студент способен четко и логически излагать свои мысли, обладает необходимыми навыками применения математических конструкций и методов доказательств и рассуждений	изучение методов построения доказательств математических утверждений, регулярные упражнения, изучение теоретического материала
осознает сущность и значение информации в развитии современного общества; владеет основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации	ОК-12	студент владеет стандартными приемами работы с электронной почтой, совершенствует навыки поиска данных в сети Интернет, воспроизводит полученную информацию в виде твердых копий и использует ее в учебном процессе	регулярное получение, хранение, обработка и анализ текущих материалов по дисциплине в форме электронных документов, содержащих лекции, задания и примеры решения задач из расчетных заданий, которыми преподаватель снабжает студентов в ходе выполнения учебного плана
имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией	ОК-13	студент использует современные компьютерные технологии при выполнении учебного плана, применяет компьютерные вычислительные среды для самопроверки и проведения компьютерных экспериментов, интерпретирует и поясняет результаты своих исследований	совершенствование в компьютерных классах и в ходе выполнения самостоятельных работ в овладении комплексами компьютерной математики типа Mathcad, MATLAB, Maple, Mathematica
способен работать с информацией из различных источников	ОК-16	в ходе подготовки к семинарским занятиям, лекциям и при выполнении домашних расчетных заданий студент получает и совершенствует навыки работы с информационными источниками различного типа	систематическое изучение конспектов и электронных версий лекций, литературы по учебному плану, руководств по работе в вычислительных компьютерных средах, обсуждения возникающих вопросов с преподавателем и коллективом учебной группы, поиск нужной информации в библиотеках и сети Интернет
использовать основные методы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности для теоретического и экспериментального исследования	ПК-19	студент демонстрирует знакомство с законами естественнонаучных дисциплин и владение их методами в ходе учебной подготовки к решению задач профессиональной деятельности	развитие навыков теоретического анализа и активное привлечение средств визуализации, моделирования и компьютерного эксперимента в ходе выполнения расчетных заданий по линейной алгебре
использовать соответствующий математический аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа и систематизации информации по теме исследования	ПК-20	студент использует аппарат линейной алгебры и инструментальные компьютерные средства, систематически анализирует получаемую информацию в ходе выполнения текущих учебных планов	решение задач домашних расчетных заданий, имеющих характер самостоятельного исследования с применением современных вычислительных средств и компьютерного экспериментирования
готовить научно-технические отчеты, презентации, научные публикации по результатам выполненных исследований	ПК-21	студент владеет современными средствами подготовки отчетов о проделанной работе, применяет компьютерные методы в ходе компоновки и организации текстов, оценивает необходимость включения в них иллюстративных материалов и интерпретирует полученные результаты	грамотное выполнение и оформление домашних расчетных заданий и другой отчетности по изучаемой дисциплине

5  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Дисциплина «Геометрия и алгебра» относится к числу дисциплин базовой части математического и естественнонаучного цикла и блоку дисциплин, обеспечивающих профессиональную подготовку бакалавров по направлению 080500.62 «Бизнес-информатика».

Для успешного усвоения данной дисциплины необходимо, чтобы студент владел знаниями, умениями и навыками, сформированными в процессе изучения программы общеобразовательной школы. Дисциплина основывается на знании числовых систем и функций, изученных в средней школе, а также на основных понятиях курса «Математический анализ», и широко использует умения и наглядные представления, полученные при изучении планиметрии и стереометрии.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  «Математический анализ»,

·  «Дискретная математика»,

·  «Дифференциальные уравнения»,

·  «Математическая логика и теория алгоритмов»,

·  «Теория вероятностей и математическая статистика»,

·  «Теория управления»,

·  «Теория игр и исследование операций»,

·  «Теория полезности и принятия решений»,

·  «Методы оптимизации»,

·  «Численные методы»,

·  «Эконометрика»,

·  «Математическое моделирование»,

·  «Информационная безопасность».

6  Тематический план учебной дисциплины

№	Название темы	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоят. работа
Лекции	Семинары
Первый модуль
1	Введение. Некоторые сведения из теории определителей и систем линейных уравнений.	10	4	2	4
2	Векторная алгебра.	8	2	2	4
3	Системы координат и простейшие задачи, решаемые с использованием векторной алгебры.	8	2	2	4
4	Прямая линия на плоскости.	8	2	2	4
5	Прямая и плоскость в пространстве.	14	2	4	8
6	Алгебра матриц.	18	4	4	10
		66	16	16	34
Второй модуль
7	Определители матриц. Обратимые матрицы.	18	4	4	10
8	Матрицы и системы линейных уравнений.	18	4	4	10
9	Линейные пространства.	20	4	4	12
10	Линейные преобразования линейных пространств. Билинейные и квадратичные формы.	20	4	4	12
		76	16	16	44
Третий модуль
11	Евклидовы пространства.	18	4	4	10
12	Линейные преобразования евклидовых пространств.	22	4	4	14
13	Элементы общей алгебры. Кольца и поля.	34	8	8	18
		74	16	16	42
ИТОГО:	216	48	48	120

7  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры
1	2	3
Текущий (неделя)	Контрольная работа	8		4	Письменная работа (80 мин)
Промежуточный	Зачет		+		Письменная работа (120 мин)
Итоговый	Экзамен			+	Письменная работа (120 мин), 4-5 дней оценки результатов

7.1  Критерии оценки знаний, навыков

Для любого из оговоренных в пункте 6 форм контроля требования к ответам студента соотнесены с указанными в пункте 3 компетенциями. Оценки по всем формам контроля выставляются по 10-ти балльной шкале:

  высшая оценка в 10 баллов выставляется при отличном выполнении задания, то есть при наличии полных (с детальными пояснениями и культурой выкладок), оригинальных и правильных решений задач, верных ответов и высококачественного оформления работы,

  оценка в 7-8-9 баллов выставляется при наличии решений задач и правильных ответов, но при отсутствии какого-либо из выше перечисленных отличительных признаков, как, например: детальных выкладок или пояснений, качественного оформления, представления алгоритма или последовательности решения задач,

  оценка в 6 баллов выставляется при наличии отдельных неточностей в ответах или неточностях в решении задач непринципиального характера (описки и случайные ошибки арифметического характера),

  оценка в 5 баллов выставляется в случаях, когда в ответах и в решениях задач имеются неточности и ошибки, свидетельствующие о недостаточном понимании вопросов и требующие дополнительного обращения к тематическим материалам,

  оценка в 4 балла выставляется при наличии серьезных ошибок и пробелов в знаниях по контролируемой тематике,

  оценка в 3 балла выставляется при наличии лишь отдельных положительных моментов в представленной работе,

  оценка в 2 балла выставляется при практически полном отсутствии положительных моментов в представленной работе,

  оценка в 1 или 0 баллов выставляется в случаях, когда небрежные записи, неправильные ответы и решения, кроме того, сопровождаются какими-либо демонстративными проявлениями безграмотности или неэтичного отношения к изучаемой теме и предмету в целом.

8  Содержание дисциплины

Раздел 1. Векторная алгебра

Тема 1. Введение.

1.  Краткие сведения из истории возникновения и развития линейной алгебры и аналитической геометрии. Приложения, в которых используются алгебраические методы, и сведения из аналитической геометрии.

2.  Предмет курса. Принципы построения и изучения курса. Краткое содержание. Роль и место курса в формировании специалистов в области бизнес-информатики.

3.  Рекомендации по изучению курса, самостоятельной работе и литературе. О формах контроля и отчетности при изучении курса.

4.  Основные понятия из теории рекуррентных соотношений. Метод математической индукции.

Тема 2. Некоторые сведения из теории определителей и систем линейных уравнений.

1.  Определители матриц второго и третьего порядка. Примеры.

2.  Системы линейных уравнений (2 уравнения и 2 неизвестных, 3 уравнения и 3 неизвестных, 2 уравнения и 3 неизвестных). Элементарные преобразования систем. Равносильные системы.

3.  Метод Крамера для систем с двумя и тремя неизвестными.

Тема 3. Векторная алгебра.

1.  Линейные операции с векторами плоскости (пространства) и их свойства.

2.  Векторы. Единичные орты плоскости и пространства. Координаты векторов.

3.  Скалярное произведение, вычисление в координатах.

4.  Векторное произведение, вычисление в координатах.

5.  Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл.

6.  Свойства рассматриваемых операций над векторами.

Раздел 2. Аналитическая геометрия

Тема 4. Системы координат и простейшие задачи, решаемые с использованием векторной алгебры.

1.  Аффинная, декартова и полярная системы координат. Координаты точек плоскости (пространства).

2.  Деление отрезка в заданном соотношении. Вычисление площадей треугольника и параллелограмма.

3.  Вычисление объема параллелепипеда и тетраэдра.

Тема 5. Прямая линия на плоскости.

1.  Различные виды уравнений прямой.

2.  Простейшие приложения: вычисление угла между прямыми, определение взаимного расположения двух прямых, условия параллельности и перпендикулярности, определение взаимного расположения точек относительно прямой, вычисление расстояния от точки до прямой, вывод уравнений биссектрис угла.

Тема 6. Прямая и плоскость в пространстве.

1.  Различные виды уравнений плоскости.

2.  Простейшие приложения: вычисление расстояния от точки до плоскости, нахож­дение угла между плоскостями, исследование взаимного расположения плоскостей, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

3.  Различные уравнения прямой в пространстве.

4.  Простейшие приложения: вычисление угла между прямыми, нахождение угла между прямой и плоскостью, исследование взаимного расположения прямой и плоскости.

Раздел 3. Линейная алгебра

Тема 7. Алгебра матриц.

1.  Определение матрицы. Частные виды матриц.

2.  Операции с матрицами и их свойства.

3.  Элементарные преобразования матриц.

4.  Ступенчатый вид матрицы. Вид Гаусса.

Тема 8. Определители матриц. Обратимые матрицы.

1.  Перестановки элементов конечного множества. Инверсии в перестановках. Четность перестановок. Подстановки. Порядок подстановки. Разложение подста­новки в произведение независимых циклов. Умножение подстановок.

2.  Определитель матрицы. Свойства определителей.

3.  Миноры, алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по элементам строки и столбца.

4.  Определитель с углом нулей. Определитель произведения двух матриц.

5.  Обратимые матрицы. Критерий обратимости матриц. Формула для вычисления обратной матрицы.

6.  Вычисление определителя матрицы и нахождение обратной матрицы с исполь­зованием элементарных преобразований.

Тема 9. Матрицы и системы линейных уравнений.

1.  Ранг матрицы. Теорема о ранге матриц. Теорема о базисном миноре. Ранг произве­дения матриц.

2.  Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Критерии совместности и определенности систем линейных уравнений.

3.  Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные.

4.  Метод Крамера для решения квадратных систем линейных уравнений. Матричные уравнения.

Тема 10. Линейные пространства.

1.  Линейные векторные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Свойства, связанные с линейной зависимостью. Линейная оболочка системы векторов.

2.  Базисы системы векторов. Их существование и равномощность. Нахождение базиса системы векторов с использованием ступенчатой матрицы.

3.  Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах.

4.  Изменение координат вектора при изменении базиса. Матрица перехода от «старо­го» базиса к «новому».

5.  Подпространства линейных пространств и их базисы. Свойства линейно независи­мых систем векторов в подпространстве. Размерность линейной оболочки конечной системы векторов.

6.  Подпространство решений однородной системы линейных уравнений, его базис и размерность. Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы линейных уравнений. Связь между решениями неоднородной и соответ­ствующей однородной систем. Векторная форма записи решений.

Тема 11. Линейные преобразования (операторы) линейных пространств. Билинейные и квадратичные формы.

1.  Линейные операторы и их матрицы. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса. Подобие матриц.

2.  Образ и ядро линейного отображения. Операции над линейными операторами.

3.  Собственные значения, собственные векторы линейных операторов. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

4.  Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.

5.  Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

6.  Билинейные и квадратичные формы. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.

7.  Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

Тема 12. Евклидовы пространства.

1.  Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского, длины векторов и углы между векторами.

2.  Матрица Грама. Ортонормированный базис, процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

3.  Ортогональные матрицы. Переход от одного ортонормированного базиса к другому.

4.  Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом про­странстве. Ортогональная проекция вектора на подпространство (задача наилуч­шего приближения).

Тема 13. Линейные преобразования евклидовых пространств.

1.  Самосопряженные преобразования евклидовых пространств.

2.  Свойства собственных векторов и собственных значений. Существование ортонор­мированного базиса из собственных векторов самосопряженного преобразования в евклидовом пространстве.

3.  Ортогональные преобразования. Приведение квадратичной формы к главным осям с помощью ортогональной замены переменных.

Раздел 4. Элементы общей алгебры

Тема 14. Элементы общей алгебры. Кольца и поля.

1.  Бинарные операции на множестве и их классификация. Группоиды. Нейтральные и симметричные элементы.

2.  Группы, кольца, поля. Примеры и простейшие свойства.

3.  Отношение делимости целых чисел. Деление с остатком. Наибольший общий делитель целых чисел и его нахождение с использованием алгоритма Евклида. Наименьшее общее кратное целых чисел. Простые числа. Основная теорема арифметики.

4.  Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма записи. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Геометрические свойства корней из комплексного числа. Решение квадратных уравнений.

5.  Кольцо многочленов над полем. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. НОК и НОД многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Каноническое разложение многочлена.

6.  Сравнимость целых чисел по модулю. Построение кольца классов вычетов по заданному модулю. Описание обратимых элементов и делителей нуля в этом кольце. Функция Эйлера и ее свойства. Решение сравнений. Китайская теорема об остатках.

7.  Сравнимость многочленов. Кольцо классов вычетов кольца многочленов. Построение полей заданного порядка.

9  Образовательные технологии

9.1  Методические рекомендации по организации изучения учебной дисциплины

Цель обучения достигается применением традиционных педагогических технологий.

Лекция является одним из важнейших видов учебных занятий. Ее основное назначение – дать систематизированные основы научных знаний по дисциплине, раскрыть содержание, закономерности и тенденции развития изучаемого предмета, рекомендовать методику применения теоретических знаний на практике, сконцентрировать внимание обучаемых на наиболее сложных и узловых вопросах, стимулировать их активную познавательную деятельность, формировать творческое мышление и потребность в самообразовании.

Лектор должен свободно владеть материалом. Зачитывание текста лекции по подготовленным материалам не рекомендуется. Не рекомендуется давать материал для конспектирования под диктовку, за исключением формулировок ключевых выводов. Рекомендуется проверять качество конспектирования обучаемыми лекционного материала.

В случае слабой проработки студентами материалов предыдущих лекций, следует обращать особое внимание на напоминание пройденного материала и необходимость самостоятельной подготовки к лекциям.

Основной упор в методике проведения семинарских занятий должен быть сделан на отработке и закреплении учебного материала в процессе выполнения домашних заданий, включающих в себя задачи как практического, так и теоретического характера.

10  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

10.1  Тематика заданий текущего контроля

Контрольная работа №1

1.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера

.

2.  В ортонормированном базисе даны векторы . Найти вектор такой, что .

3.  Вычислить площадь и угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и : .

4.  Даны вершины треугольника . Составить уравнения медианы, биссектрисы и высоты треугольника, проведенных из вершины С.

5.  Найти точку , симметричную точке относительно прямой

.

6.  Даны точки . Найти:

(а) объем пирамиды ABCD;

(б) расстояние между прямыми (АС) и (ВD).

Контрольная работа №2

1.  Выполнить умножение матриц , а в тех случаях, когда оно не определено, пояснить почему.

.

2.  Вычислить определитель:

.

3.  Решить матричное уравнение , где

.

4.  Найти ранг матрицы в зависимости от параметра λ

.

5.  Используя метод Гаусса исследовать систему на совместность; в случае совместности решение записать в виде суммы какого-либо частного решения и общего решения соответствующей однородной системы (выписать векторы, образующие ФСР)

.

Домашняя работа

1.  Найти значение выражения , где матрица B имеет вид

.

2.  Выбрать значения i и k так, чтобы произведение входило в определитель 6-го порядка со знаком минус.

3.  В перестановке определить число инверсий и указать общий признак тех чисел n, для которых эта перестановка четна, и тех, для которых она нечетна.

4.  Определить четность подстановки , где и

.

Разложить полученную подстановку Ω в произведение независимых циклов.

5.  Найти матрицу , обратную к матрице , где

, .

6.  Вычислить определитель

7.  (a) Решить систему уравнений с помощью метода Крамера:

,

(b) Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы уравнений:

.

8.  Найти базис линейной оболочки данной системы векторов и выразить все векторы системы через элементы базиса:

9.  Подпространство L1 в ℝ4 порождено векторами и , а подпространство L2 − векторами и . Построить базисы следующих подпространств: пересечения и ортогонального дополнения к сумме .

10.  Линейное отображение A имеет в базисе матрицу . Найти матрицу этого отображения в базисе .

11.  Найти все комплексные корни уравнения . Для найденных корней представить число в алгебраической форме.

12.  Найти все комплексные корни уравнения .

10.2  Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

1.  Система координат. Векторы. Орты, направляющие векторы, направляющие косинусы.

2.  Скалярное произведение, вычисление в координатах.

3.  Векторное произведение векторов, вычисление в координатах. Геометрический смысл.

4.  Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл, вычисление в координатах.

5.  Прямые и плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Параметрическое и каноническое уравнения прямой.

6.  Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

7.  Общее уравнение плоскости в пространстве. Вычисление угла между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

8.  Взаимное расположение прямых и плоскостей.

9.  Сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Алгебра квадратных матриц. Элементарные преобразования систем линейных уравнений и матриц.

10.  Метод Гаусса. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной систем. Главные (базисные) и свободные неизвестные.

11.  Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения, разложение определителя по элементам строки и столбца. Определитель с углом нулей. Определитель произведения двух матриц.

12.  Обратная матрица. Критерий существования и формула обратной матрицы. Метод нахождения обратной матрицы с помощью приписывания единичной матрицы.

13.  Системы уравнений. Решение матричных уравнений с помощью нахождения обратной матрицы.

14.  Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема о базисном миноре. Ранг произведения матриц.

15.  Фундаментальная система решений и общее решение однородной системы линейных уравнений. Теорема Кронеккера-Капелли.

16.  Линейное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Линейная оболочка системы векторов. Базис, размерность. Ранг системы векторов. Координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Теорема об изоморфизме.

17.  Изменение координат вектора при изменении базиса. Матрица перехода от старого базиса к новому.

18.  Подпространства в линейном пространстве. Размерность линейной оболочки конечной системы векторов.

19.  Линейные отображения и линейные преобразования (операторы) линейного пространства. Их матрицы.

20.  Образ и ядро линейного отображения.

21.  Операции над линейными преобразованиями. Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.

22.  Собственное значение, собственный вектор линейного преобразования. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям.

23.  Нахождение собственных значений и собственных векторов. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы.

24.  Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.

25.  Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского, длины векторов и углы между ними.

26.  Матрица Грама. Ортонормированный базис, процесс ортогонализации.

27.  Переход от одного ортонормированного базиса к другому. Ортогональные матрицы.

28.  Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве. Ортогональная проекция вектора на подпространство (задача наилучшего приближения).

29.  Самосопряженные преобразования евклидовых пространств. Свойства их собственных векторов и собственных значений. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного преобразования в евклидовом пространстве.

30.  Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве.

31.  Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.

32.  Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

33.  Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Отыскание ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.

34.  Бинарные операции на множестве и их классификация. Группоиды. Нейтральные и симметричные элементы.

35.  Группы, кольца, поля. Примеры и простейшие свойства.

36.  Отношение делимости целых чисел. Деление с остатком.

37.  Наибольший общий делитель целых чисел и его нахождение с использованием алгоритма Евклида. Наименьшее общее кратное целых чисел.

38.  Простые числа. Основная теорема арифметики.

39.  Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. Модуль и аргумент. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Формула Эйлера. Показательная форма записи.

40.  Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Геометрические свойства корней из комплексного числа. Решение квадратных уравнений.

41.  Кольцо многочленов над полем. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.

42.  НОК и НОД многочленов над полем. Неприводимые многочлены над полем. Каноническое разложение многочлена.

43.  Сравнимость целых чисел по модулю.

44.  Построение кольца классов вычетов по заданному модулю. Описание обратимых элементов и делителей нуля в этом кольце.

45.  Функция Эйлера и ее свойства.

46.  Решение сравнений. Китайская теорема об остатках.

47.  Сравнимость многочленов. Кольцо классов вычетов кольца многочленов. Построение полей заданного порядка.

10.3  Примеры заданий промежуточного /итогового контроля

Зачетная работа

1.  Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма двух любых элементов и и умножение любого элемента на любое число ℝ: множество всех симметричных матриц и , ; сумма , произведение ? (Ответ обосновать.). Если да, то найти размерность и какой-нибудь базис данного линейного пространства.

2.  Дана система векторов .

(a)  Выяснить, будет ли она линейно зависимой или независимой;

(b)  найти ранг и базис этой системы;

(c)  указать какую-нибудь нетривиальную линейную комбинацию этих векторов (если она существует).

3.  (а) Вычислить ; ;

(b) найти тригонометрическую и показательную формы числа ();

(c) используя тригонометрическую форму комплексного числа, вычислить .

4.  Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе :

.

5.  Пусть подпространства U и V линейного пространства ℝ5 порождены векторами и соответственно:

(a)  Задать подпространство U с помощью системы линейных уравнений;

(b)  найти базис U+V;

(c)  найти базис .

Экзаменационная работа

1.  Записать матрицу линейного оператора φ – ортогонального проектирования пространства L=ℝ3 на плоскость , в ортонормированном базисе

.

Найти ядро, ранг и образ оператора φ.

2.  Отображение φ из множества ℝ2 в себя задано формулой

.

Является ли это отображение линейным? Если да, записать его матрицу в стандартном базисе.

3.  В базисе линейный оператор j имеет матрицу . Найти матрицу оператора j в базисе .

4.  Пусть V=ℝ3 − евклидово пространство со стандартным скалярным произведением. Линейное подпространство U – линейная оболочка векторов .

С помощью процесса ортогонализации найти ортонормированный базис U.

5.  Пусть V=ℝ4 − евклидово пространство со стандартным скалярным произведением. Линейное подпространство L – линейная оболочка векторов .

(a)  Найти базис ортогонального дополнения ;

(b)  найти ортогональную проекцию на подпространство L и ортогональную составляющую вектора .

6.  (а) Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей . Указать базис, в котором матрица оператора является диагональной, и записать эту диагональную матрицу.

(b) Вычислить матрицу ℤ.

7.  Пусть V=ℝ3 − евклидово пространство со стандартным скалярным произведением. Самосопряженный оператор А задан в стандартном ортонормированном базисе симметрической матрицей

.

Найти канонический вид оператора (диагональный вид матрицы) и ортонормированный базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора А.

8.  Привести квадратичную форму

(a)  к главным осям (при помощи ортогональной замены переменных),

(b)  к каноническому виду (при помощи метода Лагранжа выделения полных квадратов),

(c)  проверить закон инерции, определив индексы инерции.

9.  Используя критерий Сильвестра, исследовать квадратичную форму

на положительную или отрицательную определенность в зависимости от параметра λ.

10.  Образуют ли группу матрицы вида относительно умножения (a,b,c,d из некоторого поля К, ad≠0)? Найти число элементов группы, если .

11.  В циклической группе G порядка 288 найти: а) все элементы g такие, что g90 =1; б) элементы g такие, что , и в каждом случае подсчитать их количество.

12.  Образуют ли кольцо/ поле числа вида (x,y,z ÎQ)?

13.  Найти НОД двумя способами (используя а) алгоритм Евклида, б) каноническое разложение) и его линейное представление: ;

14.  Решить в целых числах уравнение ;

15.  Найти остаток от деления на 12;

16.  Решить сравнение (mod 2755);

17.  Решить систему сравнений

.

18.  Решить систему сравнений

19.  Найти число обратимых элементов в кольце ℤ/750. Выяснить, обратимы ли элементы и . Если обратимы, то найти обратные.

20.  Найти НОД многочленов и (над кольцом R = ℤ/2) и его линейное представление.

21.  Разделить над кольцом R = ℤ/5 многочлен на с остатком.

22.  Найти все рациональные корни многочлена .

23.  Решить cравнение ;

24.  Построить поле из 4-х элементов. Задать операции в этом поле с помощью таблиц Кэли.

25.  Найти каноническое разложение многочлена над полями рациональных, действительных и комплексных чисел .

11  Порядок формирования оценок по дисциплине

Текущий контроль успеваемости осуществляется на практических занятиях в форме опросов или самостоятельных работ (по усмотрению преподавателя), а также контроля выполнения текущих домашних заданий (проводится частичный разбор решений задач на практических занятиях). Для промежуточного контроля в течение трех модулей предусматривается проведение 2-х контрольных работ (в первом и третьем модулях) и проверка 1 обязательного домашнего задания (для оценки выполнения домашнего задания проводится контрольная работа во втором модуле). Форма итогового контроля – письменная зачетная работа по окончании второго модуля и письменный экзамен по окончании третьего модуля.

Методика формирования результирующей оценки по курсу:

1)  промежуточная оценка за зачет (2 модуль) W вычисляется по формуле:

,

2)  итоговая оценка по курсу (3 модуль) S вычисляется по формуле:

,

где З – оценка письменной зачетной работы, Э – оценка письменной экзаменационной работы, КР1, КР2 – оценки контрольных работ, АПЗ1, AПЗ2 – оценка активности на практических занятиях. Все формы контроля оцениваются по 10-балльной шкале. Результат подсчета арифметически округляется до целых единиц. Итоговая оценка (за зачет и за экзамен) по 10-балльной и 5-балльной шкалам проставляется в ведомость. ВНИМАНИЕ: оценка за промежуточный/итоговый контроль блокирующая, при неудовлетворительной итоговой оценке она равна результирующей.

Таблица соответствия оценок.

10-балльная шкала
5-балльная шкала	отлично	хорошо	удовлетворительно	неудовлетворительно

12  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

12.1  Базовый учебник

1.  Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2005.

2.  Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. – М.: МНЦМО, 2009.

3.  Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 2. – М.: МНЦМО, 2009.

4.  Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 3. – М.: МНЦМО, 2009.

12.2  Основная литература

5.  Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008.

6.  Бурмистрова Е. Б., Лобанов С. Г. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: Изд-тво ВШЭ, 2007 г.

7.  Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. Т. 1, 2. – М., Гелиос АРВ, 2003.

8.  Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, любое издание.

9.  Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, любое издание.

10.  Сборник задач по алгебре: Учебное пособие/ Под ред. . – М.: МНЦМО, 2009.

11.  Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа (под редакцией и ) – М.: Наука, любое издание после 1981.

12.3  Дополнительная литература

12.  Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. – М.: Наука, 1968.

13.  Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, (любое издание).

14.  Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, (любое издание).

15.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975.

16.  Погорелов А. В. Геометрия. – М.: Наука, 1983.

17.  Скорняков Л. А. Элементы линейной алгебры. Учебное пособие. – М.: Наука, 1980.

18.  Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977.

19.  Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: МФТИ, 2006.

20.  Беклемишева Л. А., Беклемишев Д. В., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.– 3-е изд. СПб.: Лань, 2008.

21.  Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.– М.: Наука, Физматлит, 2000.

22.  Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., Данко С. П. Высшая математика в упражнениях и задачах. 7-е изд. Ч. I. – М.: Оникс, 2009.

12.4  Справочники, словари, энциклопедии

23.  , Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: «Наука», 1974.

24.  , Вл. В.Воеводин. Энциклопедия линейной алгебры. С. - Петербург: БХВ-Петербург. 2006.

12.5  Программные средства

Для успешного освоения дисциплины студенты могут самостоятельно использовать профессиональные пакеты программных средств Mathcad (MATLAB, Maple, Mathematica).

12.6  Дистанционная поддержка дисциплины

Не предусмотрена.

13  Материально-техническое обеспечение дисциплины

Не предусмотрено.