V фестиваль рефератов по математике учащихся школ г. Екатеринбурга (стр. 2 )

В работе обоснована актуальность поставленной проблемы,

проведен анализ литературных данных по золотому сечению. Изучена история золотого сечения, рассмотрено золотое сечение в различных объектах: архитектуре, живописи, музыке и биологии.

Для этого необходимо было решить следующие задачи:

- исследовать основные принципы «золотого сечения»

- проанализировать практическое применение «золотого сечения» в нашей жизни

- рассмотреть «золотое сечение» в объектах живописи (написанных мною картинах «Любимая Мася», «Автопортрет», «Ангел мира» и «Летний букет»), музыки (исследовать известные музыкальные произведения) и в человеческом организме (рассчитать отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению, измеренных у членов моей семьи).

В работе «Любимая Мася» (портрет кошки) с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Композиционный центр кошки делит картину по золотому сечению по вертикали. Пропорции тела кошки гармоничны.

Работы «Автопортрет» и «Ангел мира» также построены по законам золотого сечения. В этих работах и горизонтальное (соотношение стола и натюрморта, земли и неба) и вертикальное отношение (соотношение человека и композиции) составляет примерно равно 1,6.

В своей последней работе «Летний букет» я попыталась расположить композицию на листе так, чтобы она соответствовала нормам золотого сечения: кувшин с цветами занимает 0,6 от листа, также центр этого этюда (розовой цветок) выстроен композиционно правильно.

Получилось, что в не зависимости от того, пишешь ты «чувством» или геометрически правильно, в работе сохраняется замечательная пропорция, и картины получаются законченными и правильно построенными.

Живые организмы тоже подчиняются этим же законам золотого сечения.

На примере своей семьи я рассмотрела сердечный ритм всех членов семьи. Как видно, у бабушки, которой 82 года, имеющей много различных заболеваний отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,523, то есть далеко от золотой пропорции. А у остальных членов семьи это отношение близко к 1,64, что говорит о здоровье всех нас.

На основании вышеизложенного я могла сделать вывод, что чувство золотого сечения дано человеку изначально: красивые картины, великолепные музыкальные произведения построены по замечательной пропорции и имеют величайшую ценность, они являются эталоном красоты и гармонии.

Фракталы и фрактальные деревья

М. Гордо
Руководитель:
Учитель математики первой категории
МОУ СОШ 208

В начале XVII века Галилей утверждал, что книга природы написана на языке математики и «письмена» ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры. В XX веке Галилей дополнил бы этот язык еще одним объектом – фракталом.

Фрактал – это то, о чем много людей говорит в наши дни, от физиков до учеников средней школы. Он появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Фрактал – это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах. Отсюда следует принцип самоподобия. Части фракталов подобны всей фигуре, то есть они похожи на всех уровнях. Люди заметили, что, несмотря на известную «новомодность» фрактала, заложенная в нем идея самоподобия восходит к древним традициям.

Все в науке делят на классы и виды. Фракталы не являются исключением. Приведем классификацию фракталов: алгебраические, геометрические, стохастические, рукотворные и природные фракталы.

Мы рассматривали геометрические и природные фракталы, к которым относятся фрактальные деревья. Существует множество заблуждений, связанных с фрактальностью деревьев. Древовидные объекты во многом напоминают фракталы: они строятся пошагово, выглядят фрактально и иногда даже являются фракталами. Однако в большинстве случаев это сходство является только внешним. Остановимся подробнее на Пифагоровом дереве. Это разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны». Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Одним из свойств Пифагорова дерева является то, что, если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице. Если в классическом Пифагоровом дереве угол равен 45 градусам, то также можно построить обобщённое Пифагорово дерево при использовании других углов. Такое дерево называют «обдуваемое ветром Пифагорово дерево». Каждая ветка таких деревьев действительно подобна самим деревьям.

Мною сделаны первые шаги в освоении фрактальной геометрии. Для этого я освоил ЛОГО-миры. С помощью этого инструмента были построены кустик, куст, дерево и как главное завершение этих шагов – Пифагорово дерево.

Фракталы в наше время стали объектом пристального внимания учёных и художников. Их красота является предметом самых заинтересованных обсуждений. Выставка «Границы Хаоса», представляющая портреты фрактальных структур, имела сенсационный успех в мире. Впервые в истории культуры результаты математических расчётов демонстрировались как произведения искусства.

Лента Мёбиуса в жизни современного человека

и
Руководитель:
учитель математики высшей категории
МОУ СОШ с углублённым изучением предметов
художественно-эстетического цикла №50

Лента Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (т. е. на 180°), склеенная с его другим концом. Немецкий математик и астроном Август Фердинанд Мёбиус (17 ноября 1790г. – 26 сентября 1868г.) описал ленту еще в XIX веке, однако, открытия связанные с её свойствами, совершаются до сих пор, и до сих пор лента Мёбиуса волнует умы людей различных творческих профессий, сподвигая их на создание предметов искусства. Всё это говорит об актуальности выбранной нами темы. Разговаривая со своими товарищами из других классов, мы обнаружили, что с лентой Мёбиуса практически никто не знаком, так как в курс математики средней школы изучение её не входит. Нам захотелось рассказать о ней как можно большему числу учащихся.

Мы изучили понятия: односторонняя поверхность и топология. Рассмотрев некоторые топологические объекты, мы убедились в их разнообразии. К топологическим объектам относятся: бутылка и поверхность Клейна, кольца Борромео, невозможные фигуры и тела, а так же фигуры, которые можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Проведя опыты с разрезанием ленты Мёбиуса, мы выяснили, что результат зависит от количества полуоборотов и от того, на каком расстоянии производится разрез. Систематизировав и проанализировав собранный материал по применению ленты Мёбиуса, мы убедились, что в жизни современного человека она встречается довольно часто.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Придуманы кассеты для магнитофона и видеокассеты, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время работы. В матричных принтерах красящая лента также имела вид ленты Мёбиуса для увеличения срока годности. Ленточная пила, абразивные ремни для заточки инструментов, наконец, «Американские горки» – во всём этом нашла применение лента Мёбиуса. Ричард Дэвис изобрёл устройство, которое он назвал резистор Мёбиуса. Это электронный элемент, обладающий нулевой реактивностью. В 2002 году исследователи из университета г. Хоккайдо (Япония) создали кристаллические структуры, имеющие одну поверхность, наподобие листа Мёбиуса.

Лента Мебиуса часто встречается в научной фантастике. Это рассказ А. Кларка «Стена Темноты», цикл рассказов Владислава Крапивина «В глубине Великого Кристалла», рассказ «Лист Мёбиуса» А. Дж. Дейча, повесть Э. Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы», рассказ М. Клифтона «На ленте Мебиуса», роман В. Меретукова «Лента Мёбиуса», произведения Х. Кортасара «Лента Мёбиуса» и Г. Салтупы «Лента Мёбиуса» и ещё у многих писателей есть произведения с аналогичным названием. Необычность ленты Мёбиуса вдохновляет и поэтов. В нашем поиске нам встретились не одни стихи, посвященные ленте Мёбиуса. Немало изображений ленты Мёбиуса в живописи и декоративно-прикладном искусстве, начиная от графических работ Мориса Корнелиса Эшера (1898 – 1972 г. г., Голландия), и заканчивая витражами, резьбой по дереву и т. п. Используют ленту Мёбиуса и архитекторы. Есть дачный дом в Австралии, Павильон Свежей воды в США, существует проект библиотеки в Казахстане. Лента Мёбиуса встречается в мини-скульптурах. Среди ювелирных изделий также встречается лента Мёбиуса. Широко применяют форму ленты Мёбиуса дизайнеры. Это и предметы мебели, одежды, обуви, аксессуаров, и всевозможные логотипы (например, всемирный символ переработки), и элементы ландшафтного дизайна. В мире немало памятников ленте Мёбиуса. Памятники есть в Москве, в Нижнем Новгороде, в Риге, в Белоруссии, в Казахстане, в США, в Германии, в Китае. Есть свой памятник ленте Мёбиуса и в Екатеринбурге по улице Свердлова.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Так же существует предположение, что и Вселенная наша имеет форму ленты Мёбиуса. Ещё Эйнштейн предполагал, что космический корабль, летящий всё время вперёд, когда-нибудь вернётся к месту старта, только будет уже своей зеркальной копией.

Таким образом, получается, что в жизни современного человека лента Мёбиуса встречается довольно часто.

Весь собранный материал мы оформили в виде презентации, и познакомили с ней учащихся старших классов нашей школы.

Литература

1.  , Ефремович топология. – М.: Наука, 1985. – 136 с.

Задачи на делимость чисел в ЕГЭ

А. Дергачёв

учитель первой категории
МОУ гимназия №35

Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости. Мы изучали его в 6 классе, но лишь разъясняли свойства делимости на конкретных примерах. Вопросами делимости целых чисел математики занимаются очень давно и активно. С 2001 года на территории РФ проводится новая форма государственной итоговой аттестации учащихся ЕГЭ.

Недавно я решил посмотреть, что же представляют задания ЕГЭ по математике для 11 классов. В 3-ей части содержатся задачи высокого уровня сложности (С3-С6). Именно в этой части я нашел множество задач, которые поначалу показались мне достаточно сложными. С6 – задачи на делимость. Изучив теоретический материал, я представил его в виде проекта, решив несколько задач по этой теме. Здесь представлены некоторые из них (с решением).

Задача: У натурального числа n ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Найдите n.

Решение: Для решения данной задачи необходимо представить число n как произведение нескольких простых чисел, исходя из количества его делителей. Два из делителей – это 1 и само число n (из свойств целых чисел). Предположим что n равно произведению трёх простых чисел, обозначим их x, y, z. Тогда Д(n)={1, х, y, z, xy, xz, yz, xyz}, но тогда число n имеет 8 натуральных делителей. Допустим теперь, что n равно произведению двух простых чисел, тогда Д(n)={1,x,y,xy}, то есть всего 4 делителя.

Из приведенных рассуждений получаем, что n равно произведению 3 простых чисел, два из которых одинаковые n=x²y и Д(n)={1, x, x², y, xy, x²y}. Получаем 3500=1+x+x²+y+xy+x²y=(у+1)(x²+x+1).

Заметим что у+1 число, на 1 большее простого числа т. е чётное (у+1≠3 т. к 3 не является делителем 3500), а x²+x+1 нечётное (т. к квадрат любого натурального числа, сложенный с самим числом равен чётному числу, а чётное число плюс 1 равно нечётному). Кроме того, числа у+1 и x²+x+1 натуральные, являются делителями числа 3500, при произведении которых мы получаем само число. Рассмотрим делители числа 3500 и разобьем их на пары так, чтобы при произведении делителей в паре получалось 3500. Получим:

Исключим из полученных вариантов все, которые состоят из двух чётных или нечетных чисел.

Затем исключим те варианты, в которых ни одно из чисел не равно сумме простого числа и единицы.

Остаётся всего 3 пары, затем способом подбора (подставления) значений в уравнение 3500=(у+1)(x²+x+1), мы исключаем 2 пары (в 2 из 3 оставшихся уравнениях мы не получаем х – простое число). Остаётся пара 3500=7500. Получаем у+1=500, откуда у=499, а x²+x+1=7; приводим квадратное уравнение получаем x²+x-6=0, тогда Д=25, корни уравнения равны -3; 2. Значит х=2 (т. к х - простое число), откуда n=x²y=2²499=1996

Ответ: n=1996

Задача: Некоторое двухзначное число на 19 больше суммы квадратов его цифр и на 44 больше удвоенного произведения его составляющих цифр. Найдите это число.

Решение: Представим число как , тогда , откуда

.

Допустим , тогда , откуда и . Так как – цифра, то , а искомое число 72.

Если же , то система не имеет решений.

Ответ: 72.

Разностные уравнения

Автор:
МОУ СОШ № 51
Руководитель:
вторая категория

Математика изучает абстрактные математические объекты, напрямую не связанные с материальным миром. В то же время она является могучим средством познания явлений внешнего мира, исследуя их математические модели. При моделировании реальных процессов и изучении их изменения с ростом времени используют непрерывные и дискретные математические модели. Математическая модель представляет собой приближенное описание некоторого класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. В нашем исследовании мы рассматривали дискретные математические модели.

Пусть - числовая характеристика состояния объекта в n-й момент измерения. Будем предполагать, что величина полностью определяется состоянием объекта в предыдущий момент измерения и не зависит от n. Приходим к следующему разностному уравнению: =f( ), n=0,1,2 (*).

Рассмотрим динамику численности биологической популяции, а именно, семейства лососевых рыб. Пусть А – коэффициент размножения, В – величина отлова, С – ограниченность ресурсов: запаса пищи и пространства, тогда получаем следующее разностное уравнение с кубической функцией последования: где .

Исследуем разностное уравнение с функциями последования Для этого сначала найдем неподвижные точки (1-циклы) разностного уравнения с функцией последования

и

2-циклы разностного уравнения с функцией последования

2-циклы разностного уравнения с функцией последования :

Проведем интерпретацию результатов моделирования. Будем рассматривать лишь такие значения разностного уравнения (1), что

При и , в этом случае разностное уравнение имеет одну неподвижную точку х=0, которая является неустойчивой, следовательно, решения разностного уравнения возрастают. Значит, когда коэффициент размножения превышает величину отлова и ресурсы постоянно возрастают, популяция неограниченно увеличивается.

Если и неподвижная точка х=0 является устойчивой и все решения разностного уравнения притягиваются к ней, а, значит, стремятся к нулю. То есть происходит уменьшение запасов пищи и пространства, популяция начинает уменьшаться, но при появляется 2-цикл, значит, популяция испытывает двухлетние колебания численности, которые являются стабильными при .

, решения разностного уравнения опять стремятся к устойчивой неподвижной точке х=0. То есть коэффициент размножения меньше величины улова и запас ресурсов постоянно уменьшается. В этом случае популяция вымирает.

решения разностного уравнения удаляются от неустойчивой неподвижной точки х=0 и вливаются в 2-цикл. Таким образом, начинает увеличиваться объем пищи и пространства, тогда популяция постепенно стабилизируется и при появляется 2- цикл, который является устойчивым при.

В природе эта ситуация выглядит следующим образом: идущих на нерест лососей со всех сторон подстерегают опасности – хищные птицы, медведи, браконьеры, но даже пройдя через эти преграды, лососи погибнут после нереста. Свою икру самка откладывает в горных реках, и только через пару лет, что и показывает 2-цикл, молодое потомство лососей скатывается назад в море. Выйдя в море, лососи порой уходят на тысячи километров от устья рек, где появились на свет. Так проходит несколько лет, пока инстинкт не позовет их обратно в реки.

«Золотое сечение» в архитектуре

Руководитель: ,
учитель математики высшей категории
МОУ СОШ № 000

Теория отношений и пропорций была создана древними греками. Впрочем, скорее всего золотая пропорция была заимствована Пифагором у древних египтян, которые знали её задолго до Пифагора. Ещё Фалес Милетский (6 в. до н. э.), находясь в Египте, вычислял высоты пирамид, измеряя их тень и сравнивая с тенью стержня, взятого за единицу длины, т. е. пользовался пропорцией.

В нашей работе ««Золотое сечение» в архитектуре» мы изучили историческое возникновение понятия решения задач на «золотое сечение» и рассмотрели применение теории пропорциональности в искусстве и архитектуре с античных времён и эпохи Возрождения до современности.

Золотое сечение используется практически всюду: строительство, архитектура, фотография, искусство, кинематограф и другие области. Многочисленные исследования показали, что на точке «золотого сечения» бывает кульминация в поэтических, драматургических и музыкальных произведениях. Можно услышать его в общей композиции произведений и в соотношении его частей. Удивительно то, что золотое сечение присутствует в совершенно различных цивилизациях, отдалённых друг от друга тысячелетиями: в усыпальнице Хеопса в Древнем Египте и в храме Парфенона в Древней Греции, в храме Покрова на Нерли, в Адмиралтействе Санкт-Петербурга, в ультрасовременных сооружениях. Мы обнаруживаем золотое сечение в музыкальных шедеврах Баха, Моцарта, Вагнера, Шопена, Глинки и в поэтических произведениях от Пушкина, Лермонтова до Вознесенского.

Мы считаем, что начиная с античных времён и по сей день математика, архитектура, искусство неразрывно связаны и нельзя заниматься чем-либо одним, не касаясь другого. Материалы нашего исследования могут быть полезны как учащимся, интересующимся математикой, так и учащимся, интересующимся МХК при знакомстве с произведениями античной культуры и эпохи Возрождения.

Вневписанные окружности

Руководитель: ,
учитель математики первой категории
МОУ СОШ № 000

Сегодня школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержательной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появляется глубокое и всестороннее изучение треугольника. Треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения – никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

На уроках геометрии мы знакомимся с окружностями, вписанными и описанными около треугольника. А что вы можете сказать о вневписанных окружностях? Наверное, о них даже не всем известно. Существует ли связь между различными видами окружностей? Именно эти вопросы определили тему реферата.

Результатом проведённого исследования являются 9 свойств вневписанных окружностей, которые в реферате приведены с подробным доказательством. В них выражены соотношения между элементами треугольника и различными видами окружностей (вписанных, описанных, вневписанных). Например, свойство 5. В нём говорится, о том, что точки, в которых вписанная и вневписанная окружности касаются стороны треугольника, симметричны относительно середины этой стороны. Или свойства 3 и 4, в которых формулами описана взаимосвязь между радиусами всех трёх вневписанных окружностей треугольника и радиусами вписанной и описанной окружностей этого треугольника.

Свойство 3. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и учетверённого радиуса описанной окружности.

Свойство 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности.

Свойства №2, №3 и № 5 доказаны мной самостоятельно. Например, свойство № 3.

Свойство 3.Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 2D

Доказательство. Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:

S = rp, r = S/p, S = abc/4R, R = abc/4S.

ra = S/(p – a), rb = S/(p – b), rc = S/(p – c).

Значит, ra + rb + rc – r = S/(p – a) + S/(p – b) + S/(p – c) – S/p = S (p(p – b)(p – c) + p(p –-a)(p – c) + p(p – a)(p – b) – (p – a)(p – b)(p – c))/(p(p – a)(p – b)(p – c)) = S(abc/S2) = abc/S = 4R = 2D. Таким образом, ra + rb + rc = r + 2D.

Во второй части работы показано применение свойств вневписанных окружностей для решения задач. Всего мной решено 15 задач. Можно отметить, что решение некоторых из них с применением свойств вневписанных окружностей более рационально. В заключение могу сказать, что этот проект имеет для меня большое значение. Он помог мне не только улучшить и систематизировать свои знания в области геометрии, но и выйти на новый уровень изучения этой науки.

Оригами

Руководитель: ,
учитель математики первой категории
МОУ СОШ № 74

Оригами – самобытное японское искусство создания моделей путем сгибания листа бумаги. Для изготовления фигурок необходимо знать условные знаки, которые составляют своеобразную «азбуку оригами». Она содержит различные стрелки и линии, показывающие как нужно сложить на данном этапе лист бумаги.

Складывание фигур оригами начинается с базовых форм – это основы классических и авторских фигур. Базовые формы можно разделить на четыре группы: простые, средние, сложные и блинчатые. Из одной базовой формы могут получаться различные фигуры.

При изготовлении фигур из бумаги возникают такие математические задачи, как деление стороны квадрата и прямого угла на различное количество равных частей. Для решения этих задач требуются знания по геометрии: понятия равных углов и отрезков, биссектрисы угла, равностороннего треугольника, свойств этих фигур и др. Важную роль в решении этих задач играет теорема Хага: Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу, и стороны, прилегающей к нему, делит сторону в отношении один к двум.

В работе мы рассмотрели способы деления стороны квадрата на 4, 5, …, 10 частей и построение углов в 30, 60 и 15 градусов.

Искусство оригами так развилось, что существуют различные техники и направления складывания фигур. Особое место в работе уделяется модульному оригами. Это увлекательная техника – создание объёмных фигур из одинаковых модулей. Она придумана в Китае. Целая фигура собирается из множества частей. Каждый модуль складывается по правилам классического оригами из одного листа бумаги, а затем модули соединяются путем вкладывания их друг в друга. Для изготовления таких фигур может потребоваться от четырех до семисот и более модулей.

Почему 2×2 = 10 ?

Е. Носова
Руководитель:
Учитель математики
МОУ лицей № 000

В современной науке и технике используются различные системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и, конечно же, десятичная. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления в большинстве случаев удобнее непозиционных. Система счисления — это совокупность правил чтения и записи чисел. Принятая нами система счисления называется позиционной десятичной системой счисления. В ней за основание нумерации принято число 10 и соответственно этому имеется 10 различных знаков — цифр для записи чисел. Если за основание принять другое число, то получим другую систему счисления: восьмеричную, если за основание принять число 8; троичную, если за основание принять число 3, и т. д. Приведем правило перевода числа из двоичной системы в десятичную и обратно:

Разложим число, записанное в двоичной системе счисления на разрядные слагаемые, аналогично тому, как мы это делаем в десятичной системе.

110112 ==24+23+21+20=16+8+2+1=2710

Чтобы десятичное число 27 перевести в систему счисления с другим основанием, нужно проделать обратную процедуру, то есть разделить число на основание системы счисления. Остатки от деления, записанные в обратном порядке, дадут нам нужное число.

35=2044 35=11223 35=507

89=11214 89=100223 89=1557.

Для того, чтобы выполнять действия в других системах счисления мы используем тот же алгоритм, что и в десятичной системе счисления.

-21435 3345 1304

34526 + 3426 42346

2123 +1203 +2013 20103

1012 х 1012 + 101 101_ 110012

Тексты в различных системах счисления

Данный текст покажется странным тем, кто будет читать его в десятичной системе счисления.

Сегодня 110 февраля года. Я, Лиза Носова, учусь в 110 классе МОУ лицея №. Моя отметка по математике 101. Количество рефератов, которые я защищала в этом году -10. В нашем классе 101010 учеников.

Этот текст написан в двоичной системе счисления.

А вот как будет выглядеть этот текст в троичной системе счисления. Сегодня 20 февраля года. Я, Лиза Носова, учусь в 20 классе МОУ лицея № 000. Моя отметка по математике 12. Количество рефератов, которые я защищала в этом году -2. В нашем классе 222 ученика.

А вот так будет он выглядеть в пятеричной системе счисления.

Сегодня 11 февраля 31020 года. Я, Лиза Носова, учусь в 11 классе МОУ лицея № 000. Моя отметка по математике 10. Количество рефератов, которые я защищала в этом году -2. В нашем классе 101 ученик.